Oraux ENS,X,Mines,Centrale 2024 de la RMS
Réponses
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t'es en prépa ?
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49 faire comme dans la preuve de gb
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Les équations fonctionnelles avec des $x$ et des $y$ sont plus dans le style de ce qu'on trouve dans les exercices olympiques.
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Bonjour à tous et à toutes. Pour l'exo 170, comment démontrer la non dérivabilité en $0$ avec une méthode autre que de considérer la suite $2^{-n}$ et vérifier que $\frac{f(2^{-n})}{2^{-n}}\to +\infty$Lorsque notre cher Nico, le professeur, intervient dans une question d'analyse, c'est une véritable joie pour les lecteurs..
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Pour le 49 (sens nilpotent $\Rightarrow$ $M$ et $2M$ semblables), c'est très facile avec la réduction de Jordan. Mais cette dernière est totalement hors-programme et je ne vois pas vraiment d'autre moyen de procéder.
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C'est jouable avec les équations différentielles, mais c'est complètement introuvable.Il suffit en effet de trouver une matrice $B$ telle que $e^t M=e^{tA} M e^{-tB}$ pour tout réel $t$.Cela revient à trouver $B$ telle que $M=BM-MB$, et ce dernier point peut s'obtenir par une méthode d'orthogonalité pour la trace (image de l'application $B \mapsto MB-MB$ égale à l'orthogonal du commutant de $M$).
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gebrane a dit :Bonjour à tous et à toutes. Pour l'exo 170, comment démontrer la non dérivabilité en $0$ avec une méthode autre que de considérer la suite $2^{-n}$ et vérifier que $\frac{f(2^{-n})}{2^{-n}}\to +\infty$
@ gebrane il n'y a pas exo 170 dans le fichier. C'est quel exo tu fais référence?merci
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Je pense qu'il parle du 710.
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Oui. C'est le 710Lorsque notre cher Nico, le professeur, intervient dans une question d'analyse, c'est une véritable joie pour les lecteurs..
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Pour le 710, b) : utiliser une équation fonctionnelle dont $f$ soit solution.
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Bonne idée jhonLorsque notre cher Nico, le professeur, intervient dans une question d'analyse, c'est une véritable joie pour les lecteurs..
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On m'a demandé en mp d'expliciter l idée de Jhon, en calculant $f(2x)$ on trouve sauf erreur, l'équation$$f(2x)=2f(x)-2\sin(x)\forall x\in\R$$ ou encore
$$2\frac{f(2x)}{2x}=2\frac{f(x)}x-2\frac{\sin(x)}x\forall x\in\R^*$$
donc si $f$ était dérivable en $0$ de dérivée finie $l$ alors $2l=2l-2$ impossible
Etanche, cette fonction est dérivable en quels points ?Lorsque notre cher Nico, le professeur, intervient dans une question d'analyse, c'est une véritable joie pour les lecteurs.. -
D'après l'équation fonctionnelle, elle est dérivable en $x$ si et seulement si elle est dérivable en $2x$. De plus, comme elle est $2\pi$ périodique, elle est dérivable en $x$ si et seulement si elle est dérivable en $x+2\pi$.Comme elle n'est pas dérivable en $0$, on en déduit, qu'elle n'est pas dérivable en $\dfrac{p}{2^n}\pi$ quel que soit $(p,n)\in \Z^2$ (qui forme un ensemble dense dans $\R$). Ailleurs, par contre, je n'en sais rien.Édit : un coup d'œil à https://en.wikipedia.org/wiki/Weierstrass_function nous dit qu'elle n'est dérivable nulle part. C'est un résultat dû à Hardy.
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BingoLorsque notre cher Nico, le professeur, intervient dans une question d'analyse, c'est une véritable joie pour les lecteurs..
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Exo 3
la valuations 2-adique de H(n) est $-k$ si $2^k \leq n \leq 2^{k+1}$
Le 32 facile d’accès a fait une vidéo
https://www.youtube.com/watch?v=WyYTSWPJ8gE -
Pour le 222 y a les fonctions identiquement nulles ou $f(x)=exp(c.x^2)$ avec $c$ à préciser.Peut-être que notre ami Chaurien a déjà une solution dans sa bibliothèque.
===Le 122 est connu sous le nom du théorème de Jensen cours analyse complexe.
Avez-vous des idées pour le 103 ? Une solution ? Merci -
Bonjour,
pour le 222 : évaluer en $0$ donne les deux valeurs possibles de $f(0)$.
a) Le cas où $f(0)=0$ ne requiert que l'hypothèse de continuité en $0$.
b) Pour le cas où $f(0)=1$, dériver la formule et évaluer le résultat obtenu en $0$ montre que $f'(0)=0$ ; ensuite, on itère benoîtement la formule de récurrence et l'on conclut par un p'tit DL des familles. -
Etanche , le 103 est le lemme de Van der Corput, je pense que je l'ai intégré dans le fil sur
Cesàro , mais je n'ai pas le temps pour vérifier
Lorsque notre cher Nico, le professeur, intervient dans une question d'analyse, c'est une véritable joie pour les lecteurs.. -
C'est bizarre quand même car pour moi, le lemme de Van Der Corput concerne $\frac{1}{N} \sum_{n = 1}^N z_n \overline{z_{n+h}}$ ce qui n'est pas la même chose que $\frac{1}{N} \sum_{n = 1}^N z_n z_{n+h}$. Il doit y avoir une erreur d'énoncé.
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En regardant bien il manque le barreLorsque notre cher Nico, le professeur, intervient dans une question d'analyse, c'est une véritable joie pour les lecteurs..
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Je pense pour ma part qu'il manque la conjugaison dans l'énoncé... On le saura à la parution des solutions ou bien si un rédacteur de la revue nous donne directement l'info ici.En attendant, je n'ai pas trouvé de mention de Van Corput dans ce filVoici quelques posts intéressant de Tao à ce sujet.
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Le 98 est méchant
L'ensemble $M = \{ln(s_n) , n\ge 1\}$ est un sous semi-groupe de $(\mathbb{R^{+}}, +)$ donc $G=M-M = \{x-y, x,y \in M\}$ est un sous-groupe de $(\mathbb{R}, +)$.
Si $G$ est dense dans $\mathbb{R}$, il est clair que $M$ est dense au voisinage de + l'infini et comme $(ln(s_n))$ est croissante on a $ln(s_{n+1})- ln(s_n) \rightarrow 0$ en l'infini.
Sinon $G=a\mathbb{Z}$, $a>0$. Quitte à diviser par $a$ supposons $G= \mathbb{Z}$ : $M$ est donc une partie stable par somme de $\mathbb{N^*}$. C'est un résultat difficile mais classique que $M = k\mathbb{N^*} \cap \llbracket n_0, +\infty \rrbracket$.
Donc apcr $ln(s_{n+1})- ln(s_n)=k$ i.e. $s_{n+1}/s_n \rightarrow e^k$ -
Par contre le 102 est facile, avec un Vandermonde.Dans 103 bibix et gebrane signale qu’il manque une conjugaison. Tel qu’il est proposé dans le fichier de la RMS
a-t-on quand même le résultat demandé ? Si non, proposer un contre exemple.Pour le 50 est-ce que $A$ est bien dans $GL(n,R)$ ? Ou dans $M(n,Z)$, $GL(n,Z)$ ? -
Salut Etanche, tu pourrais détailler le 102 avec Vandermonde ? Merci !
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J'y ai réflechi personnellement et en effet rien de très facile.
Posons $V_n = (z_i^{j+n})_{1\le i,j\le m }$ $u_n = \sum a_k z_k^n$. Il est clair que pour tout $n$ :
$$ V_n \cdot \left(\begin{array}{c}a_1\\a_2\\...\\a_m\end{array}\right) = \left(\begin{array}{c}u_{n+1}\\u_{n+2}\\...\\u_{n+m}\end{array}\right)$$
Or les $z_i$ étant deux a deux distincts $V_n$ est inversible pour tout $n$ car son determinant est $V(z_1,...,z_m)\prod z_i^{n+1}$ non-nul (les $z_i$ sont de module $1$) Donc pour tout $n$ :
$$ \left(\begin{array}{c}a_1\\a_2\\...\\a_m\end{array}\right) = V_n^{-1} \cdot \left(\begin{array}{c}u_{n+1}\\u_2\\...\\u_{n+m}\end{array}\right)$$
Les coefficients de $V_n^{-1}$ restent bornés tandis que $\left(\begin{array}{c}u_{n+1}\\u_{n+2}\\...\\u_{n+m}\end{array}\right)$ tend vers $0$ avec $n$.Par continuité du produit matriciel on obtient à la limite $ \left(\begin{array}{c}a_1\\a_2\\...\\a_m\end{array}\right) = 0$
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On peut appliquer Cesaro à la 102 me semble-t-ilLorsque notre cher Nico, le professeur, intervient dans une question d'analyse, c'est une véritable joie pour les lecteurs..
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@gebrane comment ?
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Zebila tu veux les détails où des indications ?Lorsque notre cher Nico, le professeur, intervient dans une question d'analyse, c'est une véritable joie pour les lecteurs..
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Ah oui et s'il vous plaît ne publiez pas les réponses que je mets ici à la RMS car je vais les envoyer moi et je passerais alors pour un tricheur.
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@gebrane des indications stp
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\[\text{Soit}\, u_n = \sum_{k=1}^m a_k z_k^n, \quad z_k \in \mathbb{U}, \quad z_k \text{ distincts}, \quad \text{et} \quad u_n \xrightarrow{n \to \infty} 0.\]
La chose la plus dure est de montrer que
\[\frac{1}{N} \sum_{n=N}^{2N} |u_n|^2 \to_{N\to +\infty} \sum_{k=1}^m |a_k|^2.\]
Mais par hypothèse \( u_n \to 0 \) implique que \( |u_n|^2 \to 0 \). Cela signifie par Cesaro que la moyenne quadratique de \( |u_n|^2 \) sur n'importe quel intervalle \( [N, 2N] \) tend également vers \( 0 \) d où $$\sum_{k=1}^m |a_k|^2 =0$$
Si tu réussis tu publies aussi cette méthode à ton nomLorsque notre cher Nico, le professeur, intervient dans une question d'analyse, c'est une véritable joie pour les lecteurs.. -
Waw d'où sort ce raisonnement monstrueux ?
Ok je vais relève le défi haha -
Je suis un fan de Cesaro, mais pour la preuve de Vandermonde il faut demander une autorisation à etanche c'est son idéeLorsque notre cher Nico, le professeur, intervient dans une question d'analyse, c'est une véritable joie pour les lecteurs..
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@ gebrane et zebilamouche aucun problème, vous pouvez utiliser l’idée de Vandermonde si vous souhaitez envoyer vos solutions.
Personne ne pointera qu’il y a triche ou pas, ce n’est pas un examen.
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Je ne vais rien envoyer, j'offre la méthode à Zebila. Elle est rayonnante dans ce forumLorsque notre cher Nico, le professeur, intervient dans une question d'analyse, c'est une véritable joie pour les lecteurs..
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Le 274 l’auteur cette approche est le mathématicien Don Zagier, one sentence proof publié dans AMM février 1990
https://people.mpim-bonn.mpg.de/zagier/files/doi/10.2307/2323918/fulltext.pdf
Des commentaires sur cette preuve géniale
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@gebrane je crois avoir trouvé le point clé était que si $z$ est un complexe de module $1$ différent de $1$ $\frac{1}{N} \sum_{n=N}^{2N} z^n$ tend vers $0$
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En développant les modules et par interversion :
$$ \frac{1}{N} \sum_{n=N}^{2N} |u_n|^2 - \sum_{k=1}^m |a_k|^2 = \dfrac{1}{N} \sum_{k=1}^m |a_k|^2 +
\sum_{k\neq l} a_k \overline{a_l} \dfrac{1}{N} \sum_{n=N}^{2N} (z_k/z_l)^n$$
Le premier terme tend vers $0$ avec $N$ Quant au second fixons $k<l$ Le complexe $z=z_k/z_l$ est de module $1$ et différent de $1$ donc $\sum_{n=N}^{2N} (z_k/z_l)^n$ tend vers $0$ avec $N$ Par opérations on a le résultat voulu. -
Oui tu as bien compris Zebila et puisque je suis un farceur j'ai considéré $\frac{1}{N} \sum_{n=N}^{2N} |u_n|^2$ au lieu simplement de $ \frac{1}{N} \sum_{n=1}^{N} |u_n|^2$ pour t'impressionner et me paraître pour quelqu'un de profond
$$|u_n|^2 = u_n \overline{u_n} = \left( \sum_{k=1}^m a_k z_k^n \right) \left( \sum_{\ell=1}^m \overline{a_\ell} \overline{z_\ell^n} \right) = \sum_{k=1}^m \sum_{\ell=1}^m a_k \overline{a_\ell} z_k^n \overline{z_\ell^n}.$$ Prenons la moyenne quadratique :
\[\frac{1}{N} \sum_{n=1}^N |u_n|^2 = \frac{1}{N} \sum_{n=1}^N \sum_{k=1}^m \sum_{\ell=1}^m a_k \overline{a_\ell} z_k^n \overline{z_\ell^n}.\]
$$\sum_{k=1}^m \sum_{\ell=1}^m a_k \overline{a_\ell} \sum_{n=1}^N z_k^n \overline{z_\ell^n}= \underbrace{\sum_{k=1}^m |a_k|^2 \cdot N}_{\text{Contributions diagonales}}+ \underbrace{\sum_{k=1}^m \sum_{\substack{\ell=1 \\ \ell \neq k}}^m a_k \overline{a_\ell}\sum_{n=1}^N (z_k \overline{z_\ell})^n}_{\text{Contributions non diagonales}}.$$
Lorsque notre cher Nico, le professeur, intervient dans une question d'analyse, c'est une véritable joie pour les lecteurs.. -
Oui ne t'en fais pas j'ai fait mes calculs avec les moyennes classiques haha
Par contre ce qui me reste en travers de la gorge, c'est pourquoi ce raisonnement fonctionne...
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@ zebilamouche ça ressemble aux sommes dans Vandercoput que gebrane a posté plus haut.
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Je suis d'accord mais bon, est ce que l'un implique l'autre ?
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Tu te demandes pourquoi ce raisonnement fonctionne ? Donc il y a un passage qui te bloqueLorsque notre cher Nico, le professeur, intervient dans une question d'analyse, c'est une véritable joie pour les lecteurs..
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Non absolument pas mais plutôt d'où cette idée de moyenne quadratique vient
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Par contre le 113 inégalité de Muirhead, juste aberrant dans un oral qui plus est PLSR
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La 103 a inspiré mes neurones ( 103 vient juste après la 102)Zebilamouche a dit :Non absolument pas mais plutôt d'où cette idée de moyenne quadratique vientLorsque notre cher Nico, le professeur, intervient dans une question d'analyse, c'est une véritable joie pour les lecteurs.. -
Pour le 102, il me semble qu'on a déjà évoqué un résultat similaire dans un autre fil.On prend $P\in \C[X]$ quelconque. On peut déduire de l'hypothèse que $\sum_{k=1}^m a_k P(z_k)z_k^n$ tend vers $0$ quand $n$ tend vers $+\infty$.Il suffit de choisir pour $P$ un polynôme de Lagrange pour obtenir $a_j z_j^n$ tend vers $0$ quand $n$ tend vers $+\infty$, donc $a_j=0$, pour tout $j$ entre $1$ et $m$.J'ai retrouvé le fil
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