variations d'une fonction

courage
Modifié (November 2024) dans Collège/Lycée
je trouve un probléme dans la determination de variations de $f(x)=x+\sqrt{-x^2+2x}$ sur $]0;2[$
$f'(x)= 1-\frac{x-1}{\sqrt{-x^2+2x}}$



\begin{align*}
 &f'(x)=0\\
        &\Leftrightarrow&\frac{x-1}{\sqrt{-x^2+2x}} =1\\
          &\Leftrightarrow&x-1 = \sqrt{-x^2+2x}\\
         &\Leftrightarrow &x^2-2x+1=-x^2+2x\\
          &\Leftrightarrow&2x^2-4x+1=0\\
       
\end{align*}

je cherche les solutions et je trouve que $f'(x)<0$ sur $[\frac{2-\sqrt{2}}{2}; \frac{2+\sqrt{2}}{2}]$
et $f'(x)>0$ sur $[\frac{2+\sqrt{2}}{2}; 2[$ et $]0; \frac{2-\sqrt{2}}{2}]$
mais le prof a trouvé le contraire:
$f'(x)>0$ sur $[\frac{2-\sqrt{2}}{2}; \frac{2+\sqrt{2}}{2}]$et $f'(x)<0$ sur $[\frac{2+\sqrt{2}}{2}; 2[$ et $]0; \frac{2-\sqrt{2}}{2}]$
car il a utilisé $-2x^2+4x-1=0$
je suis perdu, faut il utiliser $-2x^2+4x-1=0$ ou $2x^2-4x+1=0$ pour moi c'est pareil mais quand il sagit des signes c'est différent ?
Est ce quelqu'un pourra me clarifier les choses?





















Réponses

  • bd2017
    Modifié (November 2024)
    Bonjour
    Une chose est certaine c'est que tu as faux. L'autre est que, si ton professeur a effectivement trouvé ce que tu dis, alors il a faux aussi.
    La raison de ton erreur est que tu as écrit des  équivalences à l'équation $f'(x)=0$ alors qu'il n'y pas du tout équivalence.

    Je te laisse corriger et pour info  $f'$ ne s'annule qu'une fois sur ]0,2[  et non deux fois.  

     
  • Bonjour

    le numérateur de ta dérivée est $\sqrt{x(2-x)}-x+1$
    il s'annule si $\sqrt{x(2-x)}=x-1$ équation qui nécessite x supérieur ou égal à 1

    donc l'intervalle à considérer est [1; 2]
    dans lequel f'(x) s'annule 1 seule fois pour $x=1+\frac{1}{\sqrt{2}}$

    il s'agit d'un sommet (tu le vérifies avec le signe de f'(x) si x=1 puis si x = 2)

    Cordialement
  • Math Coss
    Modifié (November 2024)
    Voici ce qui se passe.
    Il ne faut pas penser que $A=\sqrt{B}$ équivaut à $A^2=B$. On a en revanche l'équivalence \[A=\sqrt{B}\iff\begin{cases}A^2=B\\A\ge0.\end{cases}\]
    PS : explicitation du graphique : en bleu la fonction $x\mapsto x-1$ ; en orange avec des traits continus la fonction $x\mapsto\sqrt{2x-x^2}$ ; en orange avec des pointillés, son opposée $x\mapsto-\sqrt{2x-x^2}$.
    Ici $A=x-1$, $B=-x^2+2x$ ; l'équation $A=\sqrt{B}$ possède une seule solution (l'intersection bleu-orange continu), l'équation $A^2=B$ en a deux (s'ajoute l'intersection bleu-orange pointillé).
  • biely
    Modifié (November 2024)
    Et j’ajouterais que c’est une erreur très classique sur ce genre d’équation: Première erreur: utiliser des équivalences à mauvais escient. Deuxième erreur classique: procéder par implication et vérifier que la solution appartient au ’’domaine de définition de l’équation’’ (terme que je n’aime pas ou qui demanderait à être défini clairement) et non que la solution vérifie l’équation (erreur commise par ce prof par exemple) ). ’
    ’Domaine de définition’’ qui est d’ailleurs de mon point de vue totalement inutile dans le cas d’implications (et sans doute aussi dans le cas d’équivalences mais il y aura peut-être débats comme ici .https://les-mathematiques.net/vanilla/index.php?p=discussion/comment/349585"}#Comment_349585"}..)
    ’’Auparavant le monde était dirigé par des intelligents. C’était cruel. Les intelligents forçaient les imbéciles à apprendre. C’était difficile pour les imbéciles. Aujourd'hui le monde est dirigé par des imbéciles. C’est juste, car les imbéciles sont beaucoup plus nombreux. Aujourd'hui les intelligents apprennent à s’exprimer afin que les imbéciles puissent comprendre. Si un imbécile ne comprend pas c’est un problème d’intelligents. Auparavant souffraient les imbéciles. Aujourd'hui souffrent les intelligents. La souffrance diminue car les intelligents sont de moins en moins nombreux.’’
    Mikhaïl Jvanetski.


  • je comprends maintenant avec la condition $x\geq1$ il y a une seule solution sur $[1;2[$
    mais je suis perdue entre  quel équation utiliser $-2x^2+4x-1=0$ ou $2x^2-4x+1=0$, les deux équations donnent même racines mais au niveau du tableau du signe c'est différent pour moi j'ai $a=2$ et pour le prof $a=-2$!!! on a ds tableaux de variations différents
  • courage a dit : 
    mais je suis perdue

    Je confirme : tu devrais aller voir ton prof directement. Tu confonds manifestement équation et inéquation et la présence de la racine carrée ajoute un problème de logique supplémentaire.
    Bon courage !
  • Bonjour Courage.

    Ton problème est d'utiliser une méthode incorrecte. la résolution de l'équation f'(x)=0 ne te donne pas le signe de f'. Ça te donne seulement les valeurs de x pour lesquelles le signe n'a pas d'importance, puisque 0 est à la fois positif et négatif.
    Tu doit traiter l'inéquation $f'(x) \ge 0$ par exemple, qui te donnera l'ensemble des valeurs où la dérivée est positive, et par complément celles où la dérivée est négative.
    Ça va donner ça :
    $$\begin{align*}  &f'(x)\ge 0\\         &\Leftrightarrow&\frac{x-1}{\sqrt{-x^2+2x}} \le 1\\           &\Leftrightarrow&x-1 \le \sqrt{-x^2+2x}\\                  \end{align*}$$
    Car on a multiplié les deux membres par le nombre positif $\sqrt{-x^2+2x}$.
    À toi de continuer, mais évidemment, on ne peut pas simplement élever au carré, on n'a pas de règle simple pour les inéquations. Mais le second membre étant positif (quand il existe), si $x-1 \le 0$, l'inéquation est automatiquement vérifiée. Et si $x-1>0$, on a deux membres positifs, et on connait le sens de variation de la fonction "carré".

    Bon travail !



  • Juste une remarque: à partir de la forme ’’de base’’ de la dérivée on pouvait (devait) voir dès le début qu’elle était positive pour 0<x<1  (somme de positifs). Il ne restait que le cas 1<x<2 à étudier. C’est la même chose que la méthode de gerard0 mais psychologiquement c’est parfois plus compliqué à gérer pour un élève de partir sur une inéquation dans un cas comme celui-ci sur l’intervalle de départ. 
    ’’Auparavant le monde était dirigé par des intelligents. C’était cruel. Les intelligents forçaient les imbéciles à apprendre. C’était difficile pour les imbéciles. Aujourd'hui le monde est dirigé par des imbéciles. C’est juste, car les imbéciles sont beaucoup plus nombreux. Aujourd'hui les intelligents apprennent à s’exprimer afin que les imbéciles puissent comprendre. Si un imbécile ne comprend pas c’est un problème d’intelligents. Auparavant souffraient les imbéciles. Aujourd'hui souffrent les intelligents. La souffrance diminue car les intelligents sont de moins en moins nombreux.’’
    Mikhaïl Jvanetski.

  • JLapin
    Modifié (November 2024)
    On peut se contenter de résoudre l'équation $f'(x)=0$ à condition d'avoir à disposition le théorème des valeurs intermédiaires : si la quantité dont tu cherches le signe ($f'$, ou le numérateur) est continue, entre deux points d'annulation, elle possède un signe constant strict. Il suffit alors de calculer une valeur particulière pour établir ce signe $+$ ou $-$ et finir de remplir le tableau de signe de la dérivée.
    C'est une méthode assez efficace, assez visuelle (une fois qu'on a fait figurer les zéros dans le tableau de signe, il n'y a plus qu'à remplir des cases avec des $+$ ou des $-$) mais qui ne correspondra peut-être pas aux prescriptions de ton professeur.
    Tu es en quelle classe au fait ?

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