Une conjecture reliant deux nombres premiers consécutifs $p_{n+1}$ et $p_n$

Emphyrio

Il existe de nombreuses conjectures sur les nombres premiers certaines mieux assises que d'autres

Ainsi parmi les plus connues on a  :

 (pn+1- pn) < √pn (1) et la conjecture d'Andrica : √pn+1 - √pn < 1 (2)

De la conjecture d'Andrica on tire √pn+1 < (1 + √pn) soit pn+1 - pn < 2√pn + 1 (3)

On remarquera que les conjectures (1) et (3) sont compatibles mais la conjecture (1) est plus stricte que la conjecture (3)

Neanmoins, si on essaye de relier directement la conjecture (1) et (2) on obtient une inégalité fausse !

En effet (pn+1 - pn) peut s'écrire  : (√pn+1- √pn)(√pn+1 + √pn) dès lors si la conjecture (1) est vraie on déduit : (√pn+1- √pn)< √pn/(√pn+1 + √pn)) < 1/2 

Or cette inégalité est à l'évidence fausse puisque : √11 - √7 > 1/2

Etonnament si l'on propose une conjecture moins stricte que (1) on peut lever la contradiction et obtenir une conjecture plus stricte que la conjecture d'Andrica !

En effet, si l'on propose la conjecture (pn+1- pn) <  √pn+1 (4) alors on peut déduire directement

(√pn+1 + √pn ) < √pn+1/(√pn+1 + √pn)< √(2pn)/ 2(√pn) puisque pn+1 < 2pn 

Soit  : (√pn+1 - √pn)< √2/2 (5) on remarquera que cette fois on a bien : √ 11- √ 7 < √2/2

La conjecture (5) est plus stricte que celle d'Andrica mais (1) (2) (3) (4) et (5) sont toutes compatibles entre elles.

lourrran

Faisons plus simple.
La conjecture 1 est fausse pour les petits nombres : $11 -7$ n'est pas inférieur à $\sqrt{7}$ ; pas besoin de combiner avec la conjecture 2 pour arriver à une erreur.
J'imagine que la formulation exacte de la conjecture n°1 précise que cette inégalité serait vraie à partir d'un certain rang.

Emphyrio

Vous avez raison, il faut considérer les n grands pour la relation (1) mais remarquez que pour ma démonstration, j'ai utilisé la conjecture (4) moins stricte que (1) et remarquez encore que la relation (5) semble vraie pour tout n > 0

Mes propositions de conjectures sont plutôt les relations (4) et (5) dès lors les valeurs de n pour lesquelles elles semblent vraies sont plus faibles.

Emphyrio

Dans les faits, j'aurais pu commencer mon post en introduisant directement le conjecture (5) sans invoquer la conjecture (1)

Ainsi de  (√pn+1 - √pn)< √2/2 (5) on tire  (√pn+1) < (√pn) + √2/2) supposée vraie pour tout n > 0 avec p1 = 2

Dès lors de (5) on déduit : (pn+1 - pn)  < √(2pn) + 1/2 avec n > 0 relation équivalente mais légerement puis stricte que (3) et on a bien :
(11 - 7) < √14 + 1/2 

De même puisque : pn+1 - pn =  (√pn+1- √pn)(√pn+1 + √pn) si on tient (5) pour vraie alors :

(pn+1 - pn ) <  (√2/2)(√pn+1 + √pn) (6) relation vraie pour tout n > 0 Or (√pn+1 + √pn) < 2√(pn+1) 

Et donc  (pn+1 - pn ) < (√2/2)(2√(pn+1) < √(2)√(pn+1) (7) pour tout n > 0

on remarque que (7) et (4) différent d'un facteur √2 et vous remarquez cette fois qu'on a bien (11 - 7) < √2* √pn+1 < √22

lourrran

Toutes ces formules sont difficilement lisibles. Je les réécris :
Conjecture (1) : $p_{n+1}-p_{n} < \sqrt{p_n}$
Conjecture (2) :   $\sqrt{p_{n+1}}-\sqrt{p_{n}}<1$

Conjecture (3) (= la conjecture 2, après quelques transformations) : $p_{n+1} - p_n < 2\sqrt{p_n} + 1$ 
Conjecture (4) (proposée par Emphyrio) : $p_{n+1}-p_{n} < \sqrt{p_{n+1}}$ 
Conjecture (5) (proposée par Emphyrio) : $\sqrt{p_{n+1}}-\sqrt{p_{n}}<\frac{\sqrt2}{2}$
Conjecture (6) (proposée par Emphyrio) : la même que la 5, en appliquant l'identité remarquable $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$
Conjecture (7) (proposée par Emphyrio) : $p_{n+1}-p_{n} < \sqrt{2} \sqrt{p_{n+1}}$ 

Bon, maintenant qu'on a tout ça de façon bien lisible sous les yeux, on dit quoi ?

La conjecture 7 est une variante de la conjecture 1. Elle a l'avantage d'être vraie pour les petits nombres premiers ... mais on s'en fout. Quand on analyse les nombres premiers, c'est dans le but de 'prédire' leur comportement pour les très grands nombres. Et donc remplacer la conjecture (1) par la conjecture (7), qui est beaucoup moins forte. ça n'a pas grand intérêt.
Par ailleurs, faire des conjectures, c'est facile, démontrer ces conjectures, c'est une autre histoire !

Par exemple, une conjecture qui me vient à l'esprit maintenant, à l'heure de l'apéro : je conjecture que pour tous les nombres premiers, on a : $p_{n+1}-p_{n} < 10+\sqrt {\sqrt{p_n}}$ (8)
Pour des nombres premiers de l'ordre de 1000, cette conjecture est beaucoup plus forte que toutes les conjectures ci-dessus. Et évidemment, plus on attaque des nombres 'grands', plus l'écart entre cette conjecture (8) et toutes les conjectures précédentes est grand.
Je fais cette conjecture (8). Mais à partir du moment où je ne la démontre pas ... quel intérêt ?  

Fin de partie

Une conjecture sur les nombres premiers assez grands sans préciser exactement ce qu'on entend par "assez grand" est une truanderie intellectuelle.  Si je trouve un contre-exemple, on m'objectera qu'il n'est pas assez grand et il y a peu de chance que j'arrive à réfuter une telle conjecture en fournissant une suite infinie de nombres premiers qui ne satisfont pas à cette conjecture (on n'a pas de formule utilisable qui donne le n-ième nombre premier)

Emphyrio

Lourran, j'ai du mal avec votre raisonnement en effet, cela revient à dire que les conjectures sont inutiles, si oui, pourquoi sont elles si nombreuses en mathématiques ?

La conjecture (5) que je propose, semble vraie pour tout n et donne directement la relation (4) soit : 
(pn+1 - pn)  < √(2pn) + 1/2 par extension valable elle aussi pour tout n > 0 ce n'est pas trivial.

Très vite, c'est à dire pour n > 4 on a : pn+1 < pn + √2*√(pn)

Par ailleurs, vous confirmez que la conjecture (1) permet d'estimer le comportement pour les grands n tels que :
(pn+1- pn) < √pn avec n > 0 si vous accordez de l'utilité à (1) pour les grands n alors (pn+1- pn) < √pn+1 est vraie pour un rang n nettement plus faible puisque moins stricte.

Or, comme je l'ai montré la relation (4) peut servir de preuve pour (5) à partir d'une certaine valeur de n (ici faible). Dès lors il suffit de vérifier (5) pour toutes les valeurs plus petites que n pour tenir cette preuve et donc prouver (4) pour tout n > 0.

En effet, avec (1) et (4), on devient sûr de ne pas avoir une mauvaise surprise pour une ou plusieurs valeurs de n infiniment grandes qui violeraient (5).

On tient alors une conjecture (5) plus stricte que celle d'Andrica (1) qui mène à (4) plus stricte que : pn+1 - pn < 2√pn + 1 (3) bien connue chez les mathématiciens notamment parmi ceux qui s'intéressent aux nombres premiers.

En ce qui concerne votre conjecture, elle est probablement vraie à partir d'un certain rang n mais je me garderai bien de préciser lequel. Cela dit, comme vous, je peux parachuter une autre conjecture encore plus stricte pour vous impressionner soit : pn+1 < pn*(1+1/n) (8) quand n > No c'est à dire : pn+1 - pn < pn/n (9) quand n > No

En y réflechissant, je me demande si cette conjecture n'est pas déjà démontrée ou démontrable a l'aide du théorème sur l'infinité de nombres premiers ayant un écart d'une fraction quelconque.


Ps : Si on peut démontrer (9) alors, je pense qu'on peut démontrer toute une serie de conjectures sur les nombres premiers notamment celles de Cramèr, de Legendre et d'Oppermann parmi d'autres.

lourrran

Je ne dis pas que les conjectures sont inutiles. Je pense que les conjectures qui sont des variantes minimes de conjectures existantes sont inutiles.
Prenons la conjecture de Goldbach, qui est une conjecture très célèbre sur les nombres premiers : tout nombre premier pair (sauf 2) peut s'écrire comme somme de 2 nombres premiers.
Quand on fait des simulations sur ordinateur, on constate que pour des nombres $n$ de l'ordre de 1 Million, ou 1 milliard, ou 1000 milliards, il y a en fait des milliers de couples de nombres premiers $(p_1, p_2)$ tels que $p_1+p_2$ donne $n$.
La conjecture est donc '''ridiculement''' faible. Elle dit qu'il y a au moins 1 couple qui convient, et on constate qu'en vrai, il y en a des milliers.
Mais la conjecture reste extrêmement intéressante par son caractère historique, et par le fait que même si on constate informatiquement qu'il y a des milliers de couples, on reste incapable mathématiquement de démontrer que c'est vrai pour n'importe quel nombre premier pair.

Il y a une autre conjecture que j'aime bien sur les nombres premiers, c'est la conjecture de Proth-Gilbreath...  Cette conjecture est originale, (ce n'est pas une variante d'une autre conjecture), et c'est pour ça qu'elle a un intérêt.

La densité des nombres premiers, on a plein de résultats sur le sujet ; on a en particulier le théorème des nombres premiers qui donne une estimation du nombre de nombres premiers inférieurs à $n$.
Donc toute conjecture sur l'écart entre 2 nombres premiers consécutifs risque fort d'être plus ou moins redondante avec ce théorème, ou pire, fausse.

En particulier, concernant ta dernière conjecture (9) : $p_{n+1}-p_{n}<\frac{p_n}{n}$, j'ai de bonnes raisons de penser qu'elle est fausse : 
- pour des nombres premiers de l'ordre de 100Millions, on trouve des contre exemples où le premier terme est 10 fois plus grand que le 2ème.
- pour des nombres premiers plus grands, de l'ordre de 400 Millions, l'écart augmente, on trouve des contre exemples où le premier terme est quasiment 15 fois plus grand que le 2ème (le 23163297ème nombre premier est 436273009 , le suivant est 436273291, le premier terme de ton inégalité est 14.972 fois plus grand que le 2ème terme)

Emphyrio

Sans vouloir polémiquer, je pense que (9) est vraie même si vous dites qu'il y a des contre-exemples pour certaines grandes valeurs de n mais j'ai deux objections : 

Premièrement, est-on totalement sûr de n'avoir pas manqué un premier et d'avoir bien mesuré pn+1 - pn et pas pn+k - pn avec k >1 (failles dans la méthode de criblage, erreurs voir bugs etc...).

Ma deuxième objection est plus forte, comment être sûr que le No dont j'ai parlé n'est pas énormement plus grand que les valeurs de n des "contre-exemples" dont vous parlez ?

Reprenons, avec (9) on aurait : pn+1- pn <= pn/n avec n > No et ln(No) >> 1 et même pourquoi pas ln(ln(No)) >> 1

Or, on trouve dans la littérature que (pn/n) tend vers ln(n) + ln(ln(n)) (10) quand n >> 1

Et donc si (9) est vraie on trouve : pn+1 - pn <= ln(n) + ln(ln(n)) quand n >> 1 (11)

On déduit de (11) des conclusions très intéressantes !

On voit que (pn+1-pn) diverge comme ln(n) mais comme [(pn+1-pn) - ln(n)] diverge en +l'infini en cas égalité cela signifierais que c'est compatible avec la loi des grands nombres qui donne pn+1 - pn = ln(n) mais que pn+1 - pn pourrait s'éloigner considérablement de la valeur moyenne ln(n) donnée par la loi des grands nombres pour un infinité de cas de valeur n. C'est un résultat démontré.

On remarque aussi : (pn+1- pn)/ln(n)^2 tend vers zéro quand n tend vers +l'infini ce qui est aussi un résultat connu

Je pense qu'il convient de réfléchir de bien plus près à (11).


Ps : Attention, même avec les grands nombres dont vous avez parlés quand on raisonne avec ln(n) et ln(ln(n)) ces nombres ne sont plus aussi impressionnants ! 

lourrran

1) j'ai beaucoup de mal à lire tes formules, ce serait bien que tu fasses l'effort d'écrire les formules en latex 

2) j'ai très confiance dans la liste des premiers que j'utilise.

3) quand $n$ grandit (je viens de regarder différents échantillons jusqu'à $p_n$ de l'ordre de 2 Milliards, la tendance continue, on retrouve d'autres cas où le nombre est 14 fois trop grand, et de plus en plus de cas où le nombre de gauche est 12 ou 13 fois trop grand. On ne se rapproche pas de 1, au contraire.  

4) tu parles de la majoration connue $\frac{p_n}{n} < ln(n)+ln(ln(n))$ ; tu remarqueras que sur l'exemple que je donnais, $p(n)/n)$ est compris entre ln(n) et $ln(n)+ln(ln(n))$ ; les résultats  connus sont vrais pour $n$ très grand, mais en plus, ils ont la bonne idée d'être vrais (et de donner des estimations précises) pour des nombres 'à échelle humaine'.

5) tu dis que si ta conjecture est vraie, elle va permettre de tirer des conclusions intéressantes. Dis toi que justement, les conjectures qui permettent de tirer des conclusions intéressantes, soient elles ont déjà été faites par bien d'autres avant toi, soit elles sont fausses.

6) hier, je n'ai pas réfléchi , et je t'ai dit que j'avais de bonnes raisons de penser que ta conjecture était fausse. En fait, c'est évident qu'elle est fausse.
Les résultats connus nous disent, que en moyenne, $p_{n+1}-p_n$ est de l'ordre de $\frac{p_n}{n}$
En moyenne... et comme il y a des variations autour de cette moyenne, (il y a par exemple une infinité de nombres premiers jumeaux), il y a forcément des couples $(p_n, p_{n+1})$ où la différence  $p_{n+1}-p_n$ sera plus grande que $\frac{p_n}{n}$

Par exemple, pour rester sur le même ordre de grandeur que l'exemple précédent, pour des nombres premiers de l'ordre de 436 Millions, pour n=23160000, l'écart entre $p_n$ et $p_n+5000$ est de $97 260$, et la somme des $\frac{p_n}{n}$ est assez proche de ce nombre, elle est d'environ $94 173$. C'est conforme aux résultats connus (en moyenne, l'écart entre 2 nombres premiers consécutifs est de ... ).

Emphyrio

Étonnant relisez le bas de mon dernier post, il est dit la même chose, (pn+1 - pn) tend en moyenne vers ln(n) mais l'écart par rapport à la moyenne peut être très grand un nombre Infini de fois. C'est à cause de la présence de ln(ln) qui n'a pas de borne. Ainsi l'écart par rapport à la moyenne ln(n) donnée par la loi des grands nombres peut être aussi grand que l'on souhaite à cause de la présence de ln(ln(n)).

lourrran

Non...  tu fais totalement fausse route
pn+1 - pn tend vers ln(n)  : NON 
mais l'écart type peut être très grand un nombre Infini de fois.  Ca veut dire quoi ? Pourquoi utiliser le mot "écart-type", alors que tu parles de l'écart ? 
C'est à cause de la présence de ln(ln) ... Non, non, définitivement non.

Emphyrio

Ok je vois.. vous avez decidé de ne plus réfléchir ? moi j'ai écris pn+1 - pn tend vers ln(n) ?? 

Vous avez pris une faute d'inattention pour tout balayer d'un revers de main, je voulais dire pn/n tend vers ln(n)

Bien sûr on a toujours pn+1 - pn <= pn/n mais pas (pn+1 - pn) < ln(n) !!

J'ai dis qu'en moyenne on sait que (pn+1 - pn) tend vers ln(n) d'après la loi des grands nombres ! bien sûr que l'écart à la moyenne peut être très grand. On appelle cela le mérite et non l'ecart-type, en effet, plus adapté aux répartitions Gaussiennes.

J'ai écris, pn+1- pn <= (p/n) < ln(n) + ln(ln) quand n >> 1 cela aussi c'est connu. Attention pn/n c'est pas ln(n), c'est plus grand et cela peut même tendre vers plus l'infini car ln(n) < (pn/n) < ln(n) + ln(ln(n) c'est classique. 

Pn+1 - Pn <= (Pn/n), cela ne veut pas dire Pn+1 - Pn <= ln(n) mais (Pn+1 - Pn) <= ln(n)+ lnln(n) ainsi (Pn+1 - Pn) peut être bien plus grand que ln(n).

Vous dites, on peut trouver des pn et pn+1 pour lesquels pn+1 - pn >> ln(n) et bien oui et même une inifinité, il suffit d'avoir ln(ln(n) >> 1 il y en a bien une infinité croyez-moi.

Si vous avez du mal à suivre, je vais l'écrire mathématiquement pour aider la compréhension :
Lim [(Pn+1 - Pn) - ln(Pn)] <= lim[ln(ln(n))] or lim[ln(ln(n))] tend vers +l'infini quand n tend vers +l'infini

Désolé mais la "contradiction" que vous avez évoquée disparait...

lourrran

J'ai dis qu'en moyenne on sait que (pn+1 - pn) tend vers ln(n) d'après la loi des grands nombres

Soit...  Mathématiquement, rigoureusement, ça ne veut rien dire. Parler de la loi des grands nombres pour essayer de faire 'scientifique', c'est ridicule.  Mais admettons, ça reste faux, mais c'est moins faux que les trucs précédents. 

 On appelle cela le mérite et non l'ecart-type

Ah???  le mérite ?  j'ai beau chercher, j'ai l'impression que tu es le seul à employer le mot "mérite" dans ce contexte.

J'ai écris, pn+1- pn <= (p/n) < ln(n) + ln(ln) quand n >> 1 cela aussi c'est connu. 

Je tente de rectifier les fautes de frappe, et je garde la partie utile : $p_{n+1}-p_n \le ln(n)+ln(ln(n))$ quand $n$ est au delà d'un certain rang.
Problème, c'est peut-être connu, mais c'est faux. 

 je vais l'écrire mathématiquement pour aider la compréhension : Lim [(Pn+1 - Pn) - ln(Pn)] <= ... 

Mathématiquement, Lim [(Pn+1 - Pn) - ln(Pn)] n'existe pas. Donc il n'est ni inférieur ni supérieur à tout ce que tu veux.

Je reviens sur cette phrase : 

Lourran, j'ai du mal avec votre raisonnement en effet, cela revient à dire que les conjectures sont inutiles, si oui, pourquoi sont elles si nombreuses en mathématiques ?

Toutes les conjectures qui apportent quelque chose, celles qu'on retient, elles ont été faites par des gens qui avaient un top-niveau en maths. Un niveau très très loin au-dessus de ton niveau ou même de mon niveau.

Emphyrio

Non j'ai écris  : pn+1−pn≤ pn/n < ln(n)+ln(ln(n))  rien d'autre et j'ai admis que pour l'instant  pn+1− pn≤ pn/n (11) est une conjecture quand n >> 1 Ln(n) >> 1 et probalement quand on a aussi ln(ln(n)) >> 1

j'ai utilisé : (pn/n)< ln(n)+ln(ln(n)) quand n >>> 1

Voir l'encadrement suivant, déterminé par Dusart en 1999 :

En quoi la relation : pn/n < ln(n)+ln(ln(n))  qd n >> 1 est fausse  ? voir Dussar 1999

Vous dites que ce que j'ai écrit est faux parce que vous avez décrété que (pn+1− pn) ≤ pn/n (11) quand n >>>1 est fausse mais vous ne l'avez pas démontré hormis de vagues "contre-exemples" discutables et de forts écarts avec la valeur moyenne ln(n) ce que (11) permet.

lourrran

Bon, je pense que ce sera mon dernier message dans cette discussion.  
1) Si tu faisais l'effort d'écrire lisiblement (en latex en particulier pour les formules mathématiques), ça t'obligerait à corriger certaines de tes erreurs.
2) Tu dis : dites moi encore ...   ... Délire, Ai-je dit quelque part ce truc ? Pourquoi dirais-je ce truc ? Pourquoi le dirais-encore , alors que je ne l'ai pas dit ?
3) Ta conjecture (11) est clairement fausse, comme démontré précédemment.
4) L'univers des nombres premiers est un univers envoutant. J'ai vu plein de gens avec des profils comme le tien (beaucoup de lacunes en maths) qui s'imaginent pouvoir découvrir je ne sais quoi sur les nombre premiers. J'en ai vu plein. Et je crois que je n'ai jamais vu aucun de ces pseudo-chercheurs reconnaître qu'ils faisaient totalement fausse route.

Emphyrio

Si je n'écris pas en latex comme mentionné c'est que je ne sais pas encore comment faire sinon j'aurais déjà repris mes formules mais j'y travail voir ci-dessous...

 avec n >> 1

On déduit  :

 

Ne serait-ce pas équivalent à la relation (11) quand n tend vers +l'infini ?

Ps : Vous ne connaissez pas mon niveau en math ni moi le votre...

lourrran

Je pense que personne ne va s'immiscer dans la discussion, et donc je vais te montrer où est ton erreur.
$ \dfrac{ln(n+1) + ln(ln(n+1)}{ln(n)} $  tend vers $1+\varepsilon(n)$ quand $n$ tend vers l'infini : la formulation est maladroite, mais ok.
$\dfrac{p_{n+1}}{p_n} \times \dfrac{n}{n+1}$ est inférieur à ce $ \dfrac{ln(n+1) + ln(ln(n+1)}{ln(n)} $ , ok.
Tu en conclues que $\dfrac{p_{n+1}}{p_n} \times \dfrac{n}{n+1}$  est inférieur à 1 à partir d'un certain rang. Et ce passage là est faux.

Prenons un exemple plus simple.
Tu dis que si on a une première série de nombres qui tend vers 1, et une autre série de nombres, systématiquement inférieurs à ceux de la première série, cette 2ème série de nombre serait inférieure à 1 à partir d'un certain rang.

Prenons $u_n=  1+\frac{1}{n}$
Si je reprends ta formulation , cette suite tend vers $1+\varepsilon(n)$ quand $n$ tend vers l'infini
Je considère maintenant $v_n=  1+\frac{1}{n^2}$ , ou mieux $v_n=  1+\frac{1}{(n+1)^2}$
Pour tout $n$, on a bien $v_n<u_n$ (à partir d'un certain rang)
Et donc, si je fais le même raisonnement que toi, on aurait $v_n < 1$ quand $n$ tend vers l'infini.
Et c'est facile de vérifier que c'est faux.

Calembour

Il existe des formules explicites exactes pour les nombres premiers comme celle que l'on trouve ici qui simule la formule du crible :  
https://fr.m.wikipedia.org/wiki/Formules_pour_les_nombres_premiers

Est-ce que à partir de ce type de formules exactes (qui je le reconnais, sont assez lourdes), il ne serait pas possible d'en déduire des choses sur la suite $(p_{n+1} - p_n )$ des différences entre deux nombres premiers consécutifs ?

Emphyrio

Oui il facile de montrer avec cet exemple que c'est faux mais il est mal choisi.

Reprenons Un < 1 + 1/n  et Vn  < 1+ 1/(n*n)

La suite Vn décroît et tend vers 1 comme les Un et on a effectivement Vn < Un

J'ai donc Vn+1 - Vn  < Un les Vn joueraient le rôle des Pn ici mal puisque les Pn forment une suite croissante

On remarquera que ici que Vn+1 - Vn tend vers zéro  < 1

Avec les Pn+1 - Pn à minima on pn+1- pn > 1

1 < pn+1 - pn < pn/n < ln(n) + lnln(n) Dussard 1999 qd n>> 1

J'ai bien compris que vous tentiez de refuter (11) mais sans preuve formelle

J'ai aussi remarqué que vous ne contestez pas le rapport :

((Pn+1)/Pn)* n/(n+1) < [ln(n+1) + lnln(n+1)]/ln(n) qd n>>1 (12)

Demandez à Chatgpt ce rapport tend vers 1 qd n >>1 je parle du deuxième terme de l'inégalité

gerard0

"Demandez à Chatgpt ..."

Argument nul quand il s'agit de maths, ChatGPT n'en fait pas et n'a pas été correctement "éduqué" sur le sujet, sa base de travail contient autant de calculs faux que de vrais.

"J'ai bien compris que vous tentiez de refuter (11) mais sans preuve formelle" Erreur de compréhension. Il ne s'agit pas de réfuter le résultat, mais la preuve. À partir du moment où une méthode de preuve ne fonctionne pas systématiquement, elle ne prouve rien.

Mais, Emphyrio, tu es bien trop faible en maths pour comprendre directement. On le voit bien quand tu écris cette ânerie : 

"Et cela tend vers 1+eps(n) quand n tend vers +l'infini".

Lourrran a eu la gentillesse d'essayer de te montrer où ton raisonnement est fautif en passant sur ton incompétence crasse, tu aurais pu avoir l'humilité d'essayer de comprendre. Non, tu te penses tellement au dessus des autres que tu réponds "il facile de montrer avec cet exemple que c'est faux mais il est mal choisi." (avec une énorme faute de français au départ).

On peut en conclure que tu ne sais pas ce que sont les maths, que tu ne changeras pas d'idée, que c'est inutile de te répondre : On ne fait pas boire un âne qui n'a pas soif.

Emphyrio

Charmant et après on s'étonne que de plus en plus de monde se détourne des mathématiques.

Je ne comprends pas que vous ne puissiez pas relier la relation de Dussard au rapport (12) c'est simple pourtant.

Pas besoin de ChatGPT pour voir que cela tend vers 1 quand n tend vers l'infini, il le voit alors pourquoi pas vous ?

Vous attaquez la forme pour ne pas avoir à réfléchir sur le fond voilà tout.

gerard0

"de plus en plus de monde se détournent des mathématiques". Possible, mais surtout de plus en plus d'incompétents se présentent sur les forums prétendant en faire ...

Emphyrio

Alors pourquoi ne prouvez vous pas que mes conjectures et démonstrations sont fausses ?

Pour mémoire : pn+1/pn < pn^(1/ln(pn)) et pn+1< pn(1+ 3/n) pour tout n>0

Rappel : pn et pn+1 sont les deux nombres premiers consécutifs de rang n

Ps : J'oubliais, il y a aussi pn+1/pn < pn^(1/pn) avec pn > 101 je ne défends plus aucune autre de mes précédentes conjectures devenues soit trop faibles soit fausses à cause de chatGPT.

lourrran

A chaque fois qu'on te démontre que ton travail est faux, hop, tu refais une nouvelle conjecture, toujours aussi fausse, toujours avec les mêmes erreurs, toujours sans écouter les conseils, toujours sans respecter le langage mathématique.
Conclusion : pour éviter que tu écrives de nouvelles conjectures fausses, on te laisse croire que ce que tu écris est bon.

gerard0

Je n'ai pas de temps à perdre avec quelqu'un qui justifie ses preuves par ChatGPT tout en écrivant ailleurs "chatGPT c'est surtout un perroquet et un mixeur de contenus ". Et qui n'a jamais accepté de présenter de façon correcte ses "conjectures et démonstrations".

Emphyrio

Exactement c'est d'ailleurs pourquoi j'ai renoncé à l'utiliser pour lui faire valider mes démonstrations puisqu'il a laissé passer une limite fausse inutile pour une de mes démonstrations qui présente de toutes les façons trop de contre-exemples sauf à imaginer une trop grande valeur de n à partir de laquelle la conjecture pn+1/pn < n^1/n reviendrait vraie. (d'ailleurs ne la défendant plus je suis prêt à l'effacer)

Ps : Je regrette que vous soyez plus attaché à la forme qu'au fond car il n'est pas rare en mathématiques qu'une preuve succincte soit établie puis proposée avant qu'une seconde plus exhaustive et formelle soit établie et officiellement reconnue par tous.

gerard0

"il n'est pas rare en mathématiques qu'une preuve succincte soit établie puis proposée avant qu'une seconde plus exhaustive et formelle soit établie et officiellement reconnue par tous."

Non, et c'est même parfois le contraire. Une première preuve, longue et complexe est donnée, puis on en trouve des plus courtes, souvent parce que l'ensemble des mathématiques a progressé et qu'on peut s'appuyer sur des propriétés nouvelles et générales. Et "une preuve succincte" est une preuve ou pas. donc si c'est une preuve, elle est exhaustive et formelle.

"plus attaché à la forme qu'au fond" ?? Le fond, en maths, est de la forme. Il y a ce qui est démontré (formellement) et le reste. À très haut niveau, des mathématiciens professionnels définissent des conjectures, car eux connaissent "l'état de l'art".

Ailleurs, des amateurs, parfois incompétents, proposent des "conjectures" qui n'ont en général aucun intérêt mathématique. Pourquoi perdre son temps ... Lis la rubrique Shtam, tu verras qu'il y en a plein, qui n'ont souvent ni preuve, ni réfutation.

Emphyrio

lourrran a dit :

A chaque fois qu'on te démontre que ton travail est faux, hop, tu refais une nouvelle conjecture, toujours aussi fausse, toujours avec les mêmes erreurs, toujours sans écouter les conseils, toujours sans respecter le langage mathématique.
Conclusion : pour éviter que tu écrives de nouvelles conjectures fausses, on te laisse croire que ce que tu écris est bon.

gerard0 a dit :

"il n'est pas rare en mathématiques qu'une preuve succincte soit établie puis proposée avant qu'une seconde plus exhaustive et formelle soit établie et officiellement reconnue par tous."

Non, et c'est même parfois le contraire. Une première preuve, longue et complexe est donnée, puis on en trouve des plus courtes, souvent parce que l'ensemble des mathématiques a progressé et qu'on peut s'appuyer sur des propriétés nouvelles et générales. Et "une preuve succincte" est une preuve ou pas. donc si c'est une preuve, elle est exhaustive et formelle.

"plus attaché à la forme qu'au fond" ?? Le fond, en maths, est de la forme. Il y a ce qui est démontré (formellement) et le reste. À très haut niveau, des mathématiciens professionnels définissent des conjectures, car eux connaissent "l'état de l'art".

Ailleurs, des amateurs, parfois incompétents, proposent des "conjectures" qui n'ont en général aucun intérêt mathématique. Pourquoi perdre son temps ... Lis la rubrique Shtam, tu verras qu'il y en a plein, qui n'ont souvent ni preuve, ni réfutation.

Veuillez consulter la mise à jour de mon profil peut-être comprendrez vous mieux ma démarche, mes conjectures et même certaines de mes carrences avec le formalisme auquel vous êtes si attachés avant même de vous intéresser au fruit de mes conjectures.

Ps: je suis désolé mais je n'ai toujours pas compris en quoi ma dernière démonstration est fausse, même si je reconnais une faiblesse avec l'approche de la valeur pour pn+1 - pn en moyenne plus faible que ln(pn). J'ai expliqué pourquoi je pense qu'elle demeure vraie au delà de pn = 101 malgré tout. Quand au deux dernières conjectures, j'affirme qu'elles sont vraies pour tout n>0, j'ai une preuve mathématiques dont je suis désormais sûr, il vous suffirait de trouver un seul contre exemple pour que je renonce à intervenir et à vous présenter des excuses.

biguine_equation

Il faut vraiment faire lire les messages de ce sous-forum aux étudiants des facs de médecine qui se destinent à la psychiatrie. Sérieusement !
Par-delà la diversité des délires (j’ai résolu Goldbach, Riemann ou Syracuse), il y a une unité de comportements. Le message ci-dessus en est un exemple frappant: si vous ne me comprenez pas, c’est parce que vous ne vous intéressez pas à ma biographie.
Combien de fois a-t-on pu lire:« Veuillez consulter la mise à jour de mon profil » ?
Comme si c’était un préalable pour faire des maths !

biguine_equation

Le profil type du résolveur compulsif de conjectures est toujours le même :
Il est persécuté par ce qu’il appelle la « science officielle ». 

On ne s’intéresse pas assez à lui.

Thierry Poma

Emphyrio : bonjour. Je t'invite à faire un effort pour écrire une bonne partie des messages en LaTex. Est-ce possible ? Je félicite ceux qui s'y attarde. Je n'ai pas le courage de les lire, ni de les corriger.

Emphyrio

biguine_equation a dit :

Le profil type du résolveur compulsif de conjectures est toujours le même :
Il est persécuté par ce qu’il appelle la « science officielle ». 

On ne s’intéresse pas assez à lui.

MDR au contraire, je demande seulement la preuve que c'est faux mais pas la preuve que le formalisme académique n'a pas été respecté 😂

Ps : j'espère qu'il est clair pour tous que je ne parles plus de la conjecture de l'en-tête, j'ai expliqué que certaines de mes conjectures sont devenues trop faibles et/ou possiblement fausses à cause de l'usage trop confiant de chatGPT, je renonce donc à les défendre sauf les trois plus récentes en particulier pn+1/pn  < pn^(1/ln(n)) et pn+1 = pn(1 + 3/n) avec n>0.

 

Vassillia

biguine_equation a dit :

Il faut vraiment faire lire les messages de ce sous-forum aux étudiants des facs de médecine qui se destinent à la psychiatrie. Sérieusement !

Oui mais toujours la même question, dans le but d'analyser les shtamers qui ne peuvent pas s’empêcher de proposer tout et n'importe quoi ? ou dans le but d'analyser les matheux qui ne peuvent pas s’empêcher de répondre car eux savent ?

Pour les premiers, sans être psychiatre, il n'est pas bien difficile d'identifier un manque de reconnaissance. Or plus il y a d’intérêt, même négatif, plus cela permet d'avoir une reconnaissance. Un bad buzz est toujours un buzz ! Et effectivement cela renforce le sentiment de persécution tout en se sentant supérieurement informés pour les éventuels complotistes (je ne pense pas qu'ils le soient tous).

Bref, si vous voulez aider les shtamers, une fois constaté l'échec d'un dialogue constructif, le mieux me semble être de les ignorer, ils se lasseront et avec un peu de chance (enfin beaucoup de chance) trouveront autre chose pour combler leur besoin de reconnaissance.

Emphyrio

Ok j'ai compris peu importe que mes conjectures soit vraies ou fausses puisque votre opinion est déjà faite, j'annonce officiellement que je ne proposerai plus de conjecture définitivement et que je présenterai même des excuses aux membres avant de disparaitre du site si de surcroît un contre exemple de nombre premier ne respectant pas mes deux dernières conjectures était présenté.

Vassillia

Tu m'as mal comprise, peu m'importe que tu proposes des conjectures, que tu disparaisses du site, que tu présentes des excuses... donc fais ce que tu veux. Quoi qu'il en soit, cela ne suffira pas à ce que je m’intéresse à tes histoires mais c'était bien tenté, cela fonctionnera peut-être sur d'autres.