Formule approchée du 9e siècle pour calculer l'aire des polygones réguliers

ib_al_banna

Bonjour,

Qui parmi vous peut me donner en langage symbolique cette formule approchée pour calculer l'aire des polygones réguliers (pentagone, décagone, octogone, nonagone), la formule consiste à élever la somme de tous les côtés au carré et à diviser par 12, je cherche la formule dans sa forme symbolique. Je vous met le texte comme contexte afin de mieux comprendre ma demande, il y'a deux formules dans ce texte, je cherche à savoir laquelle consiste à élever la somme de tous les côtés au carré et à diviser par 12, si aucune des deux ne l'a représente, pouvez-vous en respectant à la lettre ce qui est écrit dans ce bref texte me reproduire la formule en question en utilisant des symboles modernes.

Merci à vous j'attend vos réponses

jelobreuil

Bonjour,

Aucune des formules qui apparaissent sur cet extrait n'est celle que tu cherches. La voici, avec les symboles utilisés dans ton livre : $S = (na_n)²/12$.

Pour l'hexagone, cela donne, si $c$ représente la longueur du côté, $S = 3c²$, ce qui est effectivement une valeur approchée,  en excès de 15 %, car la formule exacte est $S = 3c²\sqrt3/2$ ...

lourrran

La phrase est un peu ambigüe.

A priori, l'interprétation normale, c'est  :
Calculer la somme des côtés, puis élever au carré puis diviser par 12 : $\dfrac{(\Sigma a_i )^2 }{12}$
Mais cette formule est visiblement fausse : le périmètre d'un polygone ne suffit pas pour en déduire sa surface.

On peut aussi interpréter ainsi, en poussant un peu beaucoup :
Calculer la somme des carrés des côtés, puis diviser par 12 : $\dfrac{\Sigma a_i ^2 }{12}$
Mais c'est quasiment aussi évident que c'est faux.

Edit : je n'avais pas vu qu'on parlait de polygones réguliers !

nicolas.patrois

Les polygones sont réguliers, pas quelconques.

ib_al_banna

jelobreuil a dit :

Bonjour,

Aucune des formules qui apparaissent sur cet extrait n'est celle que tu cherches. La voici, avec les symboles utilisés dans ton livre : $S = (na_n)²/12$.

Pour l'hexagone, cela donne, si $c$ représente la longueur du côté, $S = 3c²$, ce qui est effectivement une valeur approchée,  en excès de 15 %, car la formule exacte est $S = 3c²\sqrt3/2$ ...

Ta réponse semble parfaite, on ma donné une formule assez semblable à la tienne, il y'a juste une différence sur le premier symbole comme tu peux le voir, selon toi quelle symbole doit être utilisé dans le contexte du texte d'Ibn Yasin, plutôt (An) ou plutot (S) ?  

jelobreuil

Je pense que, puisque l'on utilise un indice $n$ pour le côté, il est plus logique d'utiliser aussi cet indice pour la surface, soit $A_n$, en conformité avec le terme "aire" utilisé dans ce paragraphe.

La différence entre les deux termes est que le mot "aire" renvoie toujours, du moins en maths, à une mesure, alors que le mot "surface" est plus général et peut désigner une face d'un objet quelconque : pour un cylindre, on peut par exemple parler d'une "surface cylindrique", mais si l'on veut exprimer la grandeur de cette surface, on utilisera l'expression "aire latérale du cylindre" ...

Bien cordialement, JLB

ib_al_banna

Donc, en lisant le texte tu considère que la représentation symbolique la plus proche de la formule d'Ibn Yasin, c'est celle-là mais en changeant seulement (An) par (S) ? Il y'a aucun oublie ? 

jelobreuil

Bonjour,

Je ne comprends pas vraiment ta question sur un éventuel oubli ... 

J'avais utilisé le symbole "S" parce que je le voyais utilisé dans la photo que tu as postée, mais il ne faut pas que tu fasses une fixation la-dessus ! Comme je te l'ai dit plus haut, je pense que si Ibn Yassin écrivait sa formule aujourd'hui, celle-ci aurait sans nul doute l'écriture que tu montres dans ton dernier message, avec $A_n$.

J'avoue que j'aimerais bien, pour mieux comprendre ton "problème" et pouvoir te répondre de la façon la plus pertinente possible, savoir dans quel cadre tu poses ces questions ... Que cherches-tu exactement à savoir, et pourquoi et dans quel but ?

Bien cordialement, JLB

 

ib_al_banna

c'est très bien, je voulais seulement m'assuré qu'il y a aucun oublie de symbole, car je vais reprendre ta formule en changeant seulement S par An, je cherche à connaitre la contribution de mathématiciens anciens en traduisant leurs formules par des formules moderne.

jelobreuil

Ah oui, je vois ... C'est une approche historique ? Un travail de recherche personnel ? De quelle ampleur, tant dans le temps que dans l'espace, je veux dire du point de vue géographique ?

ib_al_banna

Pour être plus précis, je fais une enquête historique en histoire des sciences pour occident Musulman (Maghreb) sur des œuvres inédite et encore inconnu du grand public, je suis en contacte avec des historiens des sciences comme Ahmed Djebbar, mais ils ne répondent pas toujours aux mails, c'est la raison pour laquelle je dois me débrouiller en cherchant des informations ailleurs.

jelobreuil

Merci beaucoup de ces précisions, @ib_al_banna ! Cela m'intéresse fort, et je suis tout disposé à te répondre si tu as d'autres questions. Mais poses-les plutôt dans le sous-forum "Histoire des mathématiques", car c'est là leur place logique !

Bien amicalement, JLB

ib_al_banna

jelobreuil a dit :

Merci beaucoup de ces précisions, @ib_al_banna ! Cela m'intéresse fort, et je suis tout disposé à te répondre si tu as d'autres questions. Mais poses-les plutôt dans le sous-forum "Histoire des mathématiques", car c'est là leur place logique !

Bien amicalement, JLB

Très bien, je n'y manquerai pas, en tout cas merci à toi pour ton aide. Après, ma question n'était pas de nature historique, c'était une question de niveau collège-lycée je pense.

jelobreuil

Bonjour, 

Oui, bien sûr, le niveau était juste, mais c'est plutôt le cadre général qui importe, ici l'histoire des sciences, des mathématiques en l'occurrence ... Et puis, il s'agissait bien d'un problème "historique", non ? 

Bien amicalement, JLB 

ib_al_banna

jelobreuil a dit :

Bonjour, 

Oui, bien sûr, le niveau était juste, mais c'est plutôt le cadre général qui importe, ici l'histoire des sciences, des mathématiques en l'occurrence ... Et puis, il s'agissait bien d'un problème "historique", non ? 

Bien amicalement, JLB 

Oui tu as raison, dis-moi lorsque dans le texte il est demandé d'élever la somme de tout les cotés au carré, cela signifie additionné les cotés ?

jelobreuil

Bonsoir, @ib_al_banna

Oui, on additionne les longueurs de tous les cotés, puis on élève cette somme au carré. 

Mais comme il s'agit de polygones réguliers, c'est-à-dire dont les côtés sont tous égaux les uns aux autres, autrement dit, ont tous la même longueur, il suffit, pour obtenir cette somme, de multiplier cette longueur par le nombre de côtés. C'est ce que signifie le "$(na_n)$" de la formule, où $n$ représente le nombre de côtés et $a_n$ la longueur d'un côté. Note que cette somme des longueurs des côtés est appelée "périmètre" du polygone.

Bien amicalement, JLB

ib_al_banna

jelobreuil a dit :

Bonsoir, @ib_al_banna

Oui, on additionne les longueurs de tous les cotés, puis on élève cette somme au carré. 

Mais comme il s'agit de polygones réguliers, c'est-à-dire dont les côtés sont tous égaux les uns aux autres, autrement dit, ont tous la même longueur, il suffit, pour obtenir cette somme, de multiplier cette longueur par le nombre de côtés. C'est ce que signifie le "$(na_n)$" de la formule, où $n$ représente le nombre de côtés et $a_n$ la longueur d'un côté. Note que cette somme des longueurs des côtés est appelée "périmètre" du polygone.

Bien amicalement, JLB

Merci pour ton aide précieuse.

ib_al_banna

jelobreuil a dit :

Bonsoir, @ib_al_banna

Oui, on additionne les longueurs de tous les cotés, puis on élève cette somme au carré. 

Mais comme il s'agit de polygones réguliers, c'est-à-dire dont les côtés sont tous égaux les uns aux autres, autrement dit, ont tous la même longueur, il suffit, pour obtenir cette somme, de multiplier cette longueur par le nombre de côtés. C'est ce que signifie le "$(na_n)$" de la formule, où $n$ représente le nombre de côtés et $a_n$ la longueur d'un côté. Note que cette somme des longueurs des côtés est appelée "périmètre" du polygone.

Bien amicalement, JLB

Bonjour,


J'ai reçu une réponse d'un historien des mathématiques (Bakir Farhi) plusieurs semaines après que je lui ai soumis la même question que sur ce post, il me dit la chose suivante "La formule à laquelle vous faites référence (Surface = somme de tous les côtés, au carré, divisé par 12) est de toute façon incorrecte. Elle ne peut même pas être utilisée comme approximation". Pourquoi dit-il cela ?

jelobreuil

Bonsoir @ib_al_banna

Tout simplement parce que la valeur que donne cette formule est beaucoup trop éloignée de la valeur réelle de la surface considérée !

Je t'ai donné plus haut l'exemple de l'hexagone régulier : l'erreur commise avec cette formule est d'environ 15 % en excès ... Autrement dit, pour une surface réelle de 100 m², cette formule donne une surface calculée de 115 m² : tu imagines sans peine les problèmes que ce genre d'erreur poserait dans une vente de terrain ou d'appartement, par exemple ... Accepterais-tu de payer le prix de 115 m² pour un terrain de 100 m² ?

Pour le décagone régulier, le calcul de son aire avec cette formule donne une valeur en excès de 8,3 % : c'est encore trop fort pour être utilisable en pratique ... 

Bonne soirée, bien amicalement, JLB

 

Ludwig

Bonsoir,

On peut montrer que : $$A_n=\frac{na_n^2}{4\tan(\pi/n)}\sim \frac{(na_n)^2}{4\pi}-\frac{\pi a_n^2}{12}-\frac{\pi^3a_n^2}{180n^2}.$$

La formule initiale consiste donc à approximer $4\pi$ par $12.$

jelobreuil

Bonsoir @Ludwig,

Je t'avoue ne pas très bien comprendre ta conclusion, car s'il n'y avait que cette approximation, l'erreur relative sur l'aire ne devrait-elle pas être constante ?

Bien amicalement, JLB

Ludwig

Pourquoi constante ? Je crois qu'ici l'essentiel est qu'elle tende vers $0$ lorsque $n$ tend vers l'infini.

Ludwig

On peut imaginer que cette formule a été obtenue en approximant le polygone régulier par son cercle circonscrit : $na_n=2\pi r$ donne $\pi r^2=\frac{(na_n)^2}{4\pi}.$

jelobreuil

Bonjour Ludwig,

Ah oui, en effet, cela tombe bien ... Et en effet, cela explique bien ce que tu écris, que l'erreur tende vers 0 quand n tend vers l'infini, et qu'elle soit donc assez importante pour les petites valeurs de n, celles auxquelles se limitait Ibn Yasin, soit 5, 6, 8, 9 et 10.

Bien amicalement, JLB

ib_al_banna

jelobreuil a dit :

Bonjour Ludwig,

Ah oui, en effet, cela tombe bien ... Et en effet, cela explique bien ce que tu écris, que l'erreur tende vers 0 quand n tend vers l'infini, et qu'elle soit donc assez importante pour les petites valeurs de n, celles auxquelles se limitait Ibn Yasin, soit 5, 6, 8, 9 et 10.

Bien amicalement, JLB

Oui mais n'est-ce pas le principe d'une formule approximative que de donner un résultat proche mais pas exacte ? Et, il est écrit dans l'image que j'ai posté au tout début de se post (passage lacunaire), cela signifie quoi exactement, que le copiste du manuscrit s'est trompé ou qu'il a oublié de donner la suite de la formule ?

jelobreuil

Bonsoir ib_al_banna

Non, ce n'est pas du tout cela : cette mention "passage lacunaire" signifie que le manuscrit était incomplet, probablement  parce que soit le support (parchemin ou papier) était détérioré au point de présenter quelques trous, soit le manuscrit était devenu illisible (encre décolorée, grattage ou autre incident) en quelques endroits de ce passage, ce qui fait qu'en effet, le copiste n'a pas pu reproduire une formule éventuellement présente dans le manuscrit original.

Par ailleurs, j'attire ton attention sur le fait que la formule donnée pour le diamètre $D$ du cercle circonscrit à un polygone régulier de $n$ côtés de longueur $a_n$, $D = 4A_n/na_n$, relève de la même approximation de la valeur de $\pi$, que l'on considère égale à $3$ au lieu de $3,1416$. Et bien entendu, tu as raison, une formule approximative ne peut que donner un résultat approximatif, donc inexact, quoique plus ou moins proche du résultat exact. Et c'est ce caractère plus ou moins proche que l'on quantifie en "pourcentage d'erreur" par excès ou par défaut, comme je le faisais plus haut en précisant "15 % en excès".

Bien cordialement, JLB 

ib_al_banna

Tu pense que concernant la formule, l'historien a un peu exagéré en disant "Elle ne peut même pas être utilisée comme approximation" en sachant que la formule est partielle à cause de la détérioration du manuscrit.

jelobreuil

Bonjour, @ib_al_banna,

Non, je pense qu'il a voulu dire que, maintenant, personne n'utiliserait cette formule pour calculer la valeur de l'aire d'un polygone régulier, même une valeur approximative ! Il faut bien se dire que, à l'époque où ces formules ont été établies, elles n'avaient pas seulement un intérêt théorique, elles avaient aussi un intérêt pratique, comme la mesure d'une aire ou d'un volume donné, c'est-à-dire de la surface ou du volume d'un objet particulier, et l'on ne disposait pas de techniques et d'instruments de mesure aussi précis que maintenant ... 

Bien cordialement, JLB  

ib_al_banna

jelobreuil a dit :

Bonjour, @ib_al_banna,

Non, je pense qu'il a voulu dire que, maintenant, personne n'utiliserait cette formule pour calculer la valeur de l'aire d'un polygone régulier, même une valeur approximative ! Il faut bien se dire que, à l'époque où ces formules ont été établies, elles n'avaient pas seulement un intérêt théorique, elles avaient aussi un intérêt pratique, comme la mesure d'une aire ou d'un volume donné, c'est-à-dire de la surface ou du volume d'un objet particulier, et l'on ne disposait pas de techniques et d'instruments de mesure aussi précis que maintenant ... 

Bien cordialement, JLB  

Oui je suis d'accord avec toi, je pense qu'il parle d'aujourd'hui, mais pour l'époque peut-être était-elle intéressante, surtout qu'elle nous est rapporté par un autre mathématicien nommé Ibn Fitra et vivant en Al-Andalus, Ibn Yasin vivait au Maghreb.

jelobreuil

Oui, sans doute était-il plus facile de se rappeler cette formule plutôt que la "bonne" formule, dans la mesure où les divers aide-mémoire, livres et autres supports, dont nous disposons maintenant n'existaient pas, et ceux qui existaient étaient rarissimes ... En outre, encore fallait-il pouvoir les lire ... Donc, je pense que cette formule, aisée à retenir, a pu servir à pas mal de monde et pendant pas mal de temps ...  

ib_al_banna

merci encore pour ton intérêt et ta disponibilité.

gerard0

Attention à ne pas sur-interpréter :  La formule a pu servir, mais sans éléments historiques, rien ne prouve qu'elle a effectivement servi.

Cordialement.

jelobreuil

Bonjour, @gerard0,

Bien sûr, cette formule "a pu servir", et personne ne saura jamais si elle a effectivement servi, à moins que l'on ne découvre un jour un tel témoignage dans un vieux grimoire oublié au fin fond d'une réserve poussiéreuse et retrouvé à la faveur d'un grand déblayage ! Car ceux qui s'en sont éventuellement servi n'en ont pas laissé de traces ... Et d'abord, qui étaient-ils, et pourquoi et dans quels but et contexte auraient-ils eu besoin de s'en servir ? Autant de questions qui, très probablement, demeureront à jamais sans réponse ... Si jamais certains calculateurs praticiens ont utilisé cette formule, ils avaient sans doute d'autres préoccupations plus immédiates que celle de le signaler à la postérité !

Bien cordialement, JLB

gerard0

Bien vu !

ib_al_banna

La formule a effectivement été retrouvé dans une copie d'un manuscrit du 10e siècle de l'auteur d'Al-Andalus Ibn Fitra, il nous indique qu'elle n'est pas de lui mais d'un autre mathématicien originaire du Maghreb appelée Ibn Yasin. Nous avons donc une preuve que cette formule a traversé le détroit de Gibraltar, du sud vers le nord, et a été utilisé par au moins un autre mathématicien.

jelobreuil

Merci, @ib_al_banna, de ces précisions et de cette reproduction, mais je me permets d'y mettre un petit bémol : tu dis que cette formule "a été utilisée par au moins un autre mathématicien", mais pour en faire quoi ? Sans vouloir te vexer, je pense que cet autre mathématicien, Ibn Yassin ou Abu Jaffar, n'a probablement fait que la transcrire dans ses écrits, sans en faire un usage pratique autre que le calcul d'un exemple ... 

Comme il est question dans cet article de "la science des mesurages" et de "la science des héritages", je puis imaginer que cette formule ait pu être effectivement utilisée, en dépit de son imprécision et de sa limitation à cinq polygones réguliers, par exemple pour déterminer la surface de tout ou partie d'un champ ou d'une propriété foncière, dans un contexte de partage entre héritiers, ou bien par un architecte pour calculer grossièrement la surface nécessaire pour une construction octogonale ... Mais quant à en être certain, là, c'est une autre paire de manches !

Bien amicalement, Jean-Louis B.

PS : je vais demander que cette discussion soit déplacée dans la section "Histoire des mathématiques".

lourrran

A cette époque, les distances étaient mesurées en pas ou en pieds ou coudées ou toises ou autres mesures pas très précises. Le mètre actuel n'existait pas.
Une distance entre 2 arbres pouvait être mesurée à 80 pas par un individu, ou 85 pas par un autre. Donc l'imprécision sur la formule de calcul de la surface n'était pas rédhibitoire, elle n'était pas vraiment pire que l'imprécision sur les mesures de longueurs.
A priori, une mesure de longueur avec 5% d'imprécision était considérée comme honnête.

jelobreuil

Merci, @Lourran, pour ce rappel bienvenu, je n'y avais pas du tout pensé, je dois l'avouer !

Il serait intéressant de savoir quelles étaient les mesures de longueur utilisées dans l'aire arabo-musulmane à l'époque considérée ... @Ibn__al_Banna, peux-tu nous en dire plus là-dessus ? Merci d'avance !

Bien cordialement, JLB

lourrran

En cherchant différents éléments, j'ai vu à plusieurs reprises le nom de Marc Moyon comme spécialiste de cette époque / cette région. En particulier : https://www.researchgate.net/publication/301695251_Ibn_Luyun_at-Tujibi_1282-1349_un_nouveau_temoin_de_la_science_du_mesurage_en_Occident_musulman