Que signifie $dB_t$ ?

Sn

Bonjour,

Plaçons nous dans le cadre des équations différentielles stochastiques (EDS).

Considérons

$dX(t) = \mu dt + \sigma dB(t)$

Est-ce que cette EDS à une signification intrinsèque, ou bien est-ce simplement une notation symbolisant une équation avec des intégrales stochastiques.

En effet, je me demande cela car le mouvement brownien $(B_t)$ n'étant jamais dérivable, je ne vois pas le sens de $dB_t$ si ce n'est pas simplement une notation.

Bien cordialement,

Area 51

Certes, mais le brownien possède une moyenne, une variance et une variation quadratique. Il ne faut pas voir le $d$ comme une "dérivée" mais une notation, e.g. $dW_t \, dW_t = dt$.

Positif

C’est toujours spécifié dans les livres de cours : 

$dX_t = \mu(t, X_t) dt + \sigma (t, X_t) d B_t$ est une notation pour condenser l'égalité : 
\[ X_t - X_0 = \int_0^t \mu(s, X_s) ds + \int_0^t \sigma(s, X_s) d B_s \]

L'intégrale stochastique ayant, elle, un sens.

Sn

Merci !