Fonction indicatrice et indépendance mutuelle

OShine

Bonjour,

On dispose du résultat suivant qui a été démontré : 
Proposition 17 : 
Soit $(X_1, \cdots, X_n)$ un $n$-uplet de variables aléatoires sur $(\Omega,P)$, mutuellement indépendantes.
Si pour tout $i \in [|,n|]$, la fonction $f_i$ est définie sur $X_i(\Omega)$, les variables aléatoires $f_1(X_1), \cdots, f_n(X_n)$ sont mutuellement indépendantes.

Je bloque sur le résultat suivant.
Soit $X_1, \cdots, X_n$ des variables aléatoires indépendantes et de même loi à valeurs dans $E$ et $x$ un élément de $E$.
D'après la proposition 17, les variables $1_{ | \{X_1 =x \} }$, ..., $1_{ | \{X_n =x \} }$ sont également indépendantes.

Je n'ai pas compris qui sont les $f_i$ ici.
Je sais que $1_{ | \{X_1 =x \} } (\omega) = \begin{cases}  1 \ \text{si} \ \omega \in \{ X_1 =x \} \\ 0 \ \text{sinon} \  \end{cases}$
Mais je ne comprends pas qui est $f_1$ pour écrire $f_1(X_1)$.

Merci d'avance.

bd2017

Bonjour  $\forall i, f_i=1_{\vert\lbrace x\rbrace}$

OShine

Merci mais comment on exprime $\forall i \ f_i(X_i)$ ? 

Je n'ai pas compris pourquoi ton $f_i$ fonctionne.
Je ne comprends pas pourquoi $f_i (X_i)= 1_{ | \{ X_i = x \} }$, je n'arrive pas à manipuler ces expressions. 

Thierry Poma

@OShine : bonjour.\[f_i(X_i)=f_i\circ{}X_i\]

Thierry Poma

Par ailleurs, du point de vue linguistique, le segment "la fonction $f_i$" dans l'énoncé exprime en surface un fléchage sur $f_i$ qui signifie que ce terme a nécessairement fait l'objet d'une introduction préalable, antérieure à ce fléchage. Tu dois donc savoir ce qu'est cette séquence de fonctions.

bisam

Je redis la même chose que @bd2017, mais différemment.

Les fonctions $f_i$ dont tu as besoin sont toutes égales à la même fonction qui est la fonction indicatrice du singleton ${x}$, autrement dit la fonction qui à tout élément $t$ de $E$ associe $1$ si $t=x$ et $0$ sinon.

Par définition, pour tout $\omega\in \Omega$, $f_i(X_i)(\omega)$ est un synonyme maladroit de $f_i(X_i(\omega))$ et ce dernier vaut donc $1$ si $X_i(\omega)=x$ et $0$ sinon. Par conséquent, la fonction $f_i(X_i)$ est la fonction indicatrice de l'évènement ${X_i=x}$, par définition de cette fonction indicatrice.

JLapin

bisam a dit :

Par définition, pour tout $\omega\in \Omega$, $f_i(X_i)(\omega)$ est un synonyme maladroit de $f_i(X_i(\omega))$

Maladroit signifierait qu'il est employé de façon inappropriée. Or c'est une convention probabiliste assez universelle que de noter $f_i(X_i)$ la composée $f_i\circ X_i$.

Je remplacerais donc bien "maladroit" par "conventionnel" dans ta phrase

OShine

Merci à vous c'est très clair.