Un processus qui satisfait des propriétés

posix968

Bonjour,

Je cherche à résoudre un exercice que j'ai trouvé sur les chaînes de Markov homogènes. Il s'agit d'en trouver une à valeur dans les entiers naturels et qui possède une unique classe transitoire ($\mathcal{T}$) et une unique classe récurrente ($\mathcal{R}$). Elle doit aussi respecter trois conditions : D'abord, il faut que $5$ soit dans la classe transitoire et que la probabilité conditonnée à $X_0 = 5$ que $T = \text{inf}(n \geq 0, X_n \in \mathcal{R}\}$ soit fini soit de 0.25.

Pour cette partie, la chaine de la ruine du joueur avec p bien choisi ($\frac{4^{\frac{1}{5}}}{1 + 4^{\frac{1}{5}}}$) permet de trouver un exemple qui convient.

Mais il m'est également demandé que la limite de l'espérance de $X_n$ conditionnée à $T < +\infty$ ($\mathbb{E}[X_n | T < +\infty]$) soit de $\frac{9}{4}$.

Comme cette limite est égale à $\mathbb{E}[X_{n+T} | T < +\infty]$, mon exemple précédent ne marche plus. Il faut que ma classe récurrente contienne autre chose que $0$. Je pensais qu'il ne serait pas très grave, quitte à choisir un autre $p$, de décaler ma ruine du joueur avec $0,1,2,3$ constituant mon état de ruine avec des probabilités de transitions à définir. Le problème c'est que une fois que je veux calculer l'espérance, je n'arrive pas à m'en sortir entre le conditionnement par $\{T < +\infty\}$, le fait que je me ramène à $(X_{n+T})$. J'ai pensé à choisir au départ une distribution invariante, mais je suis un peu perdu et je tourne en rond.

Il faut aussi que la limite de Var$[X_n | T < +\infty]$ soit $\frac{27}{16}$.

Estest-ce que quelqu'un a une idée à me partager ?