Livres d'introduction à la topologie générale

stfj

Bonjour

Je lis Géométrie de Michèle Audin, où celle-ci renvoie parfois à propos d' "un peu de topologie de $\mathbb R^n$", aux chapitres 1 à 4 de Topologie générale de Bourbaki, Hermann, 1971 (par exemple dans l'ex V.52 à propos du compactifié d'Alexandrov, où l'on s'intéresse aux inversions.)

1.- Quel livre conseilleriez-vous à un enseignant du Secondaire désirant s'y remettre un peu, pour une introduction à la topologie générale ?

2.- Comment réinvestir les connaissances transmises via ce livre, dans le cadre de son enseignement en collège/lycée ?

Cordialement.

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Remarque : mon livre de référence est Topologie générale, puf, 1981 de Dixmier.

DeGeer

Bonjour

J'ai bien aimé le Dixmier. Sinon, il y a le livre d'Hervé Queffélec, Topologie.

Thierry Poma

Cf. ceci, ceci, ceci, sans compter les bourbakis.

stfj

J'aime bien un livre de Sixième comme celui de Deledicq et Lassave chez cedic-Nathan, 1986, où les auteurs dès le premier chapitre de géométrie, parlent de demi-plans en lesquels une droite partage le plan, la droite étant la frontière de chacun de ces demi-plans, la connexité par arcs d'un demi-plan étant ensuite présentée comme il se doit comme une évidence à des élèves de Sixième. Pour des élèves un peu plus grands, la distinction entre disque ouvert, disque fermé, extérieur d'un disque, intérieur d'un disque fermé, ... peut aider à faire comprendre les nuances entre $$\leq,\, \geq,\,<,\,>,\,=$$

Philippe Malot

Bonjour @stfj,
Tu peux regarder celui-ci : 
https://www.apmep.fr/IMG/pdf/BR10_Le_cours_de_l_APM_III_Elements_de_topologie_Revuz_A_G_APMEP_1965.pdf
J’aime beaucoup les livres de topologie de Bourbaki pour ma part.

stfj

Merci @DeGeer,  @Thierry Poma, @Philippe Malot .

Quant au Revuz de Philippe, j'admire la qualité de la collection Queysanne-Revuz Sixième-Terminale, chez Nathan; la référence que tu me fournis m'est donc particulièrement précieuse. Merci.

Julia Paule

Pour info, ce livre m'a été déconseillé car il introduit les compacts à partir des ultra-filtres ...

Pour info encore, le livre de Michèle Audin, pour l'avoir parcouru en diagonale, ne me parait qu'un résumé des choses à savoir en géométrie, il y a peu de démonstrations, et beaucoup d'affirmations non justifiées, d'ailleurs du cours est dans des exercices qui sont tous non corrigés.

Question : comment fait-on pour libeller un lien par un titre de son choix ?

gerard0

@Julia Paule :  On tape le titre, on le surligne (comme pour le copier), puis on utilise le bouton Url.

Cordialement.

Martial

Je suis d'accord avec @Julia Paule au sujet du livre de Wagschal. Son introduction foireuse à la théorie des ensembles ne mène pas à grand-chose. Ensuite il définit effectivement les compacts à coups d'ultrafiltres, puis il démontre le théorème de Tychonoff dans le cas général... pour finalement ne s'en servir que dans le cas métrique, où il fait au maximum un produit dénombrable de compacts, et là il n'y a vraiment pas besoin de l'axiome du choix.

Thierry Poma

@Julia Paule , @Martial : bonjour. Il est donc possible que vous n'approuviez pas la position de Bourbaki, à savoir, ici, celle de Henri Cartan et André Weil (les assertions $(\mathrm{C})$, $(\mathrm{C}')$, $(\mathrm{C}'')$ et $(\mathrm{C}''')$ étant équivalentes !) :

raoul.S

Celui-ci m'a l'air pas mal.

Julia Paule

Merci gerard0. Je le faisais à l'envers.

@Thierry Poma Dans ce livre, il y a une anecdote sur la façon dont Cartan (et Weil je crois) a découvert la notion de filtre, au terme de plusieurs séances agitées, et d'un pressentiment qui s'est concrétisé subitement.

Je ne connais pas cette notion. Il me semble qu'on peut faire de la topologie sans elle, puisque visiblement, elle n'est pas immédiatement intuitive, mais ressemble plus à une construction. Je n'aime pas ces introductions de quelque chose d'intuitif à partir d'une notion imaginée bien après et pas immédiatement intuitive (quand on n'y est pas obligé), je trouve ça pas pédagogique.

agregagreg2

D'ailleurs, est-ce qu'il y a des domaines en analyse qui sont forcés d'utiliser les filtres ? J'ai l'impression que certains livres d'analyse fonctionnelle considère cela comme du prérequis, mais d'autres s'en passe largement. 

Me semble qu'Henri Cartan mentionne cette découverte des filtres dans un documentaire le concernant. 

Le livre de G. Skandalis semble très peu mentionné en général, et pourtant en le feuilletant à divers reprises, j'ai l'impression qu'il est plutôt bien calibré, avec une typo très agréable, et quelques figures. L'un des défauts possibles est qu'il n'a pas de corrigés détaillés, mais juste des indications. Mais a-t-il d'autres défauts plus gênants ? 

Math Coss

Je ne vois pas l'intérêt d'un livre de topologie générale pour comprendre les quelques allusions dans les livres de géométrie de Michèle Audin. La topologie des espaces vectoriels normés de dimension finie est beaucoup plus parlante et plus pertinente – après, bien sûr, rien n'empêche de se coltiner des espaces topologiques abstraits (on s'amusera à compter les topologies finies...) ou des filtres, hein...

raoul.S

Julia Paule a dit : 

Je ne connais pas cette notion. Il me semble qu'on peut faire de la topologie sans elle, puisque visiblement, elle n'est pas immédiatement intuitive, mais ressemble plus à une construction.

On peut en avoir une certaine intuition en remarquant que c'est une généralisation de la notion de suite.
Par exemple avec les espaces métriques on peut caractériser la continuité par les suites : si $f:E\to F$ est une application entre deux espaces métriques alors $f$ est continue en $x\in E$ ssi pour toute suite $(x_n)$ de $E$ qui converge vers $x$, la suite image $(f(x_n))$ converge vers $f(x)$.
Cette équivalence n'est plus valable dans les espaces topologiques quelconques, mais on la récupère avec les filtres. On a par exemple le résultat similaire suivant : 
si $f:E\to F$ est une application entre deux espaces topologiques alors $f$ est continue en $x\in E$ ssi pour tout filtre $\mathcal{F}$ de $E$ qui converge vers $x$, la base de filtre $f(\mathcal{F})$ converge vers $f(x)$.

Idem avec les compacts : un espace métrique $E$ est compact ssi de toute suite de $E$ on peut extraire une sous-suite qui converge. Si $E$ est un espace topologique cette équivalence n'est plus vérifiée, mais avec les filtres on la récupère. On a donc : un espace topologique séparé est compact ssi tout filtre de $E$ possède un filtre plus fin qui converge.

PS : un exemple trivial de filtre qui converge :  pour un espace topologique $X$, l'ensemble des voisinages d'un point $x$ donné, est un filtre qui converge vers... $x$.

Soc

Ce qui m'a beaucoup plu dans la topologie, c'est de mieux comprendre que certaines notions n'avaient pas nécessaire besoin d'être quantifiées. On remplace une approche quantitative par une approche qualitative. Même si ensuite on reste dans des espace métriques, cela reste intéressant d'aborder les notions sous un autre angle.

Julia Paule

Merci beaucoup @raoul.S. Je vois. C'est une façon d'introduire dans les espaces topologiques la notion qui leur fait défaut par rapport aux espaces métriques : la distance, et d'imiter les espaces métriques pour unifier (ou généraliser) encore plus les notions.

Pour la géométrie affine, cela ne sert à rien car on en reste aux espaces vectoriels normés (qui sont des espaces métriques), et on peut s'en passer pour la géométrie projective et les espaces projectifs (qui sont des espaces topologiques).

En comparaison avec les filtres pour la topologie, par exemple les tribus sont nécessaires pour définir rigoureusement la notion d'ensemble mesurable dans la théorie de la mesure : https://fr.wikipedia.org/wiki/Tribu_(math%C3%A9matiques).

Finalement à quoi servent les filtres ?

Calembour

J'avais acheté le livre "Géométrie" d'Audin à l'époque, je pensais qu'il s'agissait de la "Bible de la géométrie", mais j'ai vite déchanté quand j'ai vu qu'il s'agissait d'un recueil de résultats comme le précise Julia Paule. Depuis je ne me suis plus du tout réintéressé à la géométrie.

Je profite donc de ce topic pour demander si vous auriez un livre de géométrie à conseiller (reprenant plus ou moins les thèmes du livre d'Audin : géométrie affine, géométrie projective, coniques affines, etc.) mais avec des démonstrations complètes et suffisamment détaillées ?

raoul.S

Julia Paule a dit : 

Finalement à quoi servent les filtres ?

En topologie ça permet de faire des raisonnements comme on les ferait avec les suites, certaines démonstrations s'en trouvent simplifiées. Mais on trouve les filtres ailleurs également. Par exemple dernièrement je les ai rencontrés pour la construction (une construction) des hyperéels.

Poirot

Au-delà des applications topologiques, les filtres sont très utilisés en théorie des ensembles, via notamment la notion d'ultrafiltre. L'axiome du choix garantit l'existence d'ultrafiltres non triviaux sur n'importe quel ensemble infini et permet des constructions telles que les notions d'ultraproduit, dont les hyperréels dont raoul.S parle forment un exemple, ou encore des "mesures" à propriétés paradoxales, par exemple une mesure finiment additive sur $\mathbb N$ qui donne une masse $0$ à n'importe quelle partie finie, mais donne la masse $1$ à $\mathbb N$ tout entier !

Foys

NB: Initialement inventés par Henri Cartan pour les besoins de la topologie, les filtres et surtout les ultrafiltres ont eu une postérité considérable en logique (voir la notion d'ultraproduit par exemple).

Julia Paule

D'accord merci. Mais pour la topologie dans le cadre de la géométrie (vectorielle, affine, projective), on peut se passer des filtres. Par contre, contrairement à ce qui est dit plus haut, il faut connaître la topologie générale pour comprendre certaines démonstrations du livre de Michèle Audin (par exemple P179 où il est dit que les espaces projectifs réels et complexes de dimension finie sont des espaces topologiques compacts et connexes par arcs).

Je déconseille aussi fortement ce livre pour découvrir la géométrie. Pour rester polie, je ne dirais pas ce que j'en pense, mais je n'en pense pas moins. Par exemple, la géométrie projective est bâclée, en géométrie affine, une chose essentielle n'est pas dite, la façon d'écrire a un côté désobligeant, ... .

stfj

Il faut le lire. L'introduction est autant une introduction qu'un avertissement : "Ceci est un livre..." signifie peut-être : ceci n'est qu'un livre et ne peut remplacer un cours vivant délivré à des capétiatifs ou agrégatifs. Ce n'est pas un ouvrage qui a la prétention d'être "self-contained" comme l'abondante bibliographique à la fin le laisse déjà deviner. Par ailleurs, cette bibliographie n'est pas plaquée mais tout le long de l'ouvrage, les invites à consulter à certains moments de la lecture tel ou tel ouvrage, montrent à nouveau à quel point l'avertissement de départ doit être pris pour ce qu'il est.

La traduction par les exigeantes Editions Springer, garantit la diffusion de cet ouvrage à un public international.

Comme il a été dit plus haut, le minimum de notions topologiques utilisées, permettent justement d'éviter de perdre le lecteur et de le concentrer vers l'essentiel : ce qu'il ou elle sera amené(e) à enseigner à un jeune public dans le cadre de l'Education Nationale.

Julia Paule

Au-delà de ça, ce livre comporte des erreurs surprenantes, donc il risque d'embrouiller ses lecteurs. 

Pour n'en citer qu'une (en plus de celle que j'ai déjà signalée ici en P192) : le tableau en P87 (il est dit : "les rotations ont un unique point fixe, et pas de droite invariante" ; et les rotations d'angle nul ou d'angle plat ?). Je suis peut-être trop rigoureuse.

Et il est dit en page 2 que les nombreuses erreurs des éditions précédentes ont été corrigées ! Heureusement !

stfj

L'erreur de la page 187 que tu signales de façon pertinente, doit être mesurée à l'aune du chapitre III. GEOMETRIE EUCLIDIENNE PLANE, dans laquelle l'erreur se situe, chapitre où il est question :

- de précisions bienvenues sur ce qu'est un angle, qui aussi simples soient -elles, ont le mérite d'être fournies in extenso à l'agrégatif et au CAPESien; ainsi que la proposition très importante (en Troisième pendant un temps récent dans l'Enseignement français) sur les angles inscrits;

- la classification des similitudes jusqu'au théorème de Liouville sur les fonctions holomorphes;

- la géométrie de l'inversion et les faisceaux de cercles, avec des rappels obligés (que l'auteure regrette d'être obligée de faire) sur la puissance et l'orthogonalité; le lien avec l'espace des cycles étant clairement suggéré dès ce chapitre pour faire le lien avec les chapitres V,VI et VII.

Il est écrit page 2, "j'ai corrigé de nombreuses erreurs", pas "j'ai corrigé toutes les erreurs".

Au niveau où l'auteure place elle-même son livre, pour ma part, c'est le meilleur livre de géométrie pour enseignants du Secondaire français (où il faut bien se coltiner "ce monstre qu'on appelle espaces affine"[dixit Frenkel in [22] dans la biblio]) que je connaisse. J'ai cherché pendant longtemps à lire Géométrie de Marcel Berger([5] dans la biblio), et viens enfin de le trouver. Preuve qu'on peut faire quelques trucs avec cette scholastique dénoncée ailleurs...

jean-éric

Bonjour,

J'appris la topologie avec ce poly dont je donne un extrait. Une synthèse de trois livres dont le Dixmier.

La formation fut complète avec le poly d'exercices avec aussi un extrait.


Cordialement.

Jean-éric