Concentration des nombres premiers

mkmir

Bonjour
j'ai développé - par hasard - une fonction qui me donne, aussi loin que je pousse l'intervalle, une concentration de cet ordre des nombres premiers.
Y a-t-il une quelconque pertinence à ce résultat (auquel cas je pourrais même l'affiner quelque peu)?
PS : je suis juste un passionné de maths, et plus particulièrement de la théorie des nombres

gerard0

Bonjour.

Tu sais sans doute ce que tu as fait calculer, mais on n'est pas dans ta tête. Explique ce que tu as vu.

Cordialement.

NB : Le mot "concentration" n'est pas un mot mathématique.

mkmir

Merci pour ta réponse. 
En principe, plus les nombres sont grands, plus les nombres premiers sont éloignés les uns des autres.
Or, avec ma fonction, j'ai beau changer d'intervalle, avec des nombres astronomiques (comme tu as pu le voir sur cet exemple), j'ai toujours une présence significative de nombres premiers, proches les uns des autres. Et au pire, moins de 30 l'un de l'autre.

lourrran

Dans les intervalles que tu traites (des nombres avec 40 chiffres), il y a en gros une proportion d'environ 1% des nombres qui sont premiers. Donc, entre 2 nombres premiers consécutifs, l'écart est en moyenne de l'ordre de 100.
Si tu trouves que l'écart ne dépasse jamais 30, tu as une erreur dans ton traitement.

mkmir

Bien sûr, je sais qu'ils sont éloignés : mais la fonction que j'ai développée ne me donne que ces valeurs-là (de fait elle en élimine des millions (un peu comme la fonction carrée qui ne donne des carrés, et de plus en plus éloignés les uns des autres : par exemple le nombre 10^9 est suivi de 10^9+1, mais leurs carrés sont très éloignés, bien que successifs)

lourrran

Donc, je résume.
Tu as fait une fonction, qui fait quelque chose, plus ou moins en rapport avec les nombres premiers. Et elle peut traiter des nombres relativement grands. 
Voilà ce que nous, on sait de cette fonction. Toi, tu en sais peut-être plus, ou peut-être pas. Ce n'est pas clair.
Et tu veux savoir si cette fonction a un intérêt. 

mkmir

Tu ne m'aides pas avec tes reflexions biaisées. 
Ce que je dis est simple : j'ai une fonction (que je publierai le moment venu, ça va de soi) qui me donne une suite de nombres entiers où la présence des nombres premiers est notable. 
Et ma question est tout aussi simple : est-ce qu'une telle distribution des nombres premiers est intéressante ?

Rescassol

Bonjour,

La réponse est tout aussi simple:
Comme on ne connaît pas ta fonction, on ne sait pas ce qu'elle calcule et on ne peut pas avoir d'avis sur son intérêt éventuel.

Cordialement,
Rescassol

Math Coss

Comme on ne sait rien de cette suite... On peut faire une fonction qui affiche un ou deux nombres à 40 chiffres et renvoie 30 nombres premiers plus petits que 1000.

Entre $100\cdot10^{36}+100$ et $100\cdot10^{36}+500$ il y a six nombres premiers. Sage le détermine en 30 ms environ. Ce sont :

• 100000000000000000000000000000000000133,
• 100000000000000000000000000000000000171,
• 100000000000000000000000000000000000247,
• 100000000000000000000000000000000000259,
• 100000000000000000000000000000000000361,
• 100000000000000000000000000000000000391.
  

So?

lourrran

Ok, je comprends maintenant ce que fait la fonction : 
On a notre intervalle assez grand. 
Et la fonction va nous dire : dans ce grand intervalle, de longueur 1 milliard par exemple, voici un intervalle plus petit, de longueur 1000 par exemple, où la concentration de nombres premiers est significativement plus grande que normal.
Est-ce que ça peut être intéressant ? 
Je vais reformuler la question : qui ça peut intéresser ? 
Je pense qu'un bon matheux qui aurait ce besoin saurait trouver un algorithme pour faire ça assez rapidement.
Par contre, un 'shtameur' peut être intéressé.

mkmir

Ah je ne connaissais pas ce mot "shtameur", comme quoi je ne suis pas fort en maths.

Bref, je vous ai pourtant dit que c'est une fonction du genre f(n), avec une seule variable, où n est un entier naturel. Et qu'il n'y a aucune "condition" comme vous dites.  Je fais juste ceci avec Mathematica: 
Table[f[n], {n, 1, 20}] 
Ou tous les intervalles que je veux. 
Et toujours le résultat affiche une concentration notables de nombres premiers. 
Mais bon, merci encore

Math Coss

Garder le secret industriel sur les méthodes, c'est de bonne guerre. Garder aussi les résultats secrets, c'est incompréhensible : qui peut être intéressé par une foncction avec une description si vague/évasive ?

Romyna

Ce sont des séquences aléatoires de polynômes de degré quelconque qui se conforment au théorème de Green-Tao-Ziegler. 

Fin de partie

Quand $N$ est suffisamment grand il y a sans doute plus de nombres premiers dans l'ensemble $u_1,u_2,....,u_N$ que dans l'ensemble $1,2,..,N$ avec $u_n=n!+1$

PS:

$N$ doit vraiment être très grand pour que cela marche (si cela marche!) car j'ai testé pour $100$ et $200$ cela ne marche pas. Démontrer qu'un nombre de la forme $n!+1$ est premier devient compliqué quand $n$ est trop grand.

Fin de partie

Si on ne savait pas générer efficacement des nombres premiers très grands*, le système cryptographique RSA serait bon à mettre à la benne. 40 chiffres c'est un peu léger comme longueur pour garantir le secret.

(un nombre de 100 chiffres est factorisé en quelques secondes)

*: On sait qu'ils sont premiers avec une probabilité élevé, on ne cherche pas à montrer qu'ils sont vraiment premiers.

Romyna

Le calcul a établi : le plus grand nombre premier en octobre ! 

biguine_equation

Ce nombre premier de Mersenne a été trouvé (et sa primalité vérifiée) par un projet collaboratif appelé GIMPS (Great Internet Mersenne Prime Search).
Ce nombre ne comporte pas moins de $41 \: 024 \: 320$ chiffres soit $16 \:000 \: 000$ de plus que le précédent nombre de Mersenne premier trouvé six ans plus tôt par ce même projet GIMPS. 

biguine_equation

Sauf erreur, le projet GIMPS utilise un test de vérification du caractère premier d’un entier $n$ appelé: $\textbf{strong probable-prime base}$-$a$. Il a été associé à d’autres critères pour le rendre plus rapide.

Soit $n-1=2^sd$. L’entier $n$ est $a$-$\textbf{SPRP}$ si 
\begin{equation}
a^d \equiv 1 \pmod n \: \: \: \text{ou} \:\:\: (a^d)^{2^r} \equiv {-1} \pmod n
\end{equation}
pour un entier positif $r$ inférieur à $s$.

Tous les nombres qui échouent à ce test sont composés. Ceux qui le passent sont peut-être premiers (avec une probabilité de $3/4$ environ)…

Sur le site de Chris Caldwell, $\textbf{Prime pages}$, il y a des listes de nombres $a$-$\textbf{SPRP}$ qui sont pourtant composés. Par exemple, $2047=23.89$ est fortement pseudo premier en base $a=2$.

biguine_equation

Un premier impair passe le test $\textbf{SPRP}$ pour toutes les bases $a$.
Le pdf attaché (Jon Grantham) propose un test de vérification qui est passé par tous les nombres premiers et par les nombres composés avec une probabilité inférieure à $1/7710$.

mkmir

Romyna a dit :

Ce sont des séquences aléatoires de polynômes de degré quelconque qui se conforment au théorème de Green-Tao-Ziegler. 

Tu n'as peut-être pas lu tout ce que je dis. J'ai beau changer d'intervalles, depuis [1, 50], jusu'à des nombres astronomiques, la concentration est quasi-identique...

mkmir

Math Coss a dit :

Garder le secret industriel sur les méthodes, c'est de bonne guerre. Garder aussi les résultats secrets, c'est incompréhensible : qui peut être intéressé par une foncction avec une description si vague/évasive ?

Tu trouverais normal que j'expose ici et en public la fonction qui donne des concentrations quasi-identiques quel que soit l'intervalle, depuis [1, 100], jusqu'à des nombres astronomiques ? 
La question que je pose est simple, je ne comprends pas comment on peut ne pas la comprendre, mais c'est qu'elle ne s'adresse qu'à de vrais connaisseurs des nombres premiers /

Est-il pertinent qu'une fonction à une seule variable donne des concentrations quasi-identiques des nombres premiers quel que soit l'intervalle ?

JLapin

mkmir a dit :

Tu trouverais normal que j'expose ici et en public la fonction qui donne des concentrations quasi-identiques quel que soit l'intervalle, depuis [1, 100], jusqu'à des nombres astronomiques ? 
La question que je pose est simple, je ne comprends pas comment on peut ne pas la comprendre, mais c'est qu'elle ne s'adresse qu'à de vrais connaisseurs des nombres premiers /

Est-il pertinent qu'une fonction à une seule variable donne des concentrations quasi-identiques des nombres premiers quel que soit l'intervalle ?

Pour la première question, je ne vois pas le problème.

Pour la seconde question, effectivement, elle est assez simple : la réponse est oui.

Par exemple si $f(2n)$ renvoie le $n$-ième nombre premier et $f(2n+1)$ renvoie $2n$, alors table(f(k),k=1981987....19091809180198) retournera une liste de nombres dans laquelle 1 sur 2 est un nombre premier.

Emphyrio

C'est normal, puisque en fait, ils sont effectivement de plus en plus proches relativement parlant comme le montre la simple formule suivante : pn+1 < pn.(1 + 3/n) où pn et pn+1 sont deux nombres premiers consécutifs de rang n et ce quelque soit n > 0.
Alors on a : (pn+1 - pn) <  3(pn/n) soit (pn+1 - pn)/pn < 3/n quand n > 0 d'où l'effet de "concentration" relative...

Vérifie avec ton programme tu verras que je dis vrai. Attention, même s'ils sont de plus en plus proches relativement parlant, l'écart entre eux peut lui devenir très très grand et même tendre vers l'infini quand n tend vers l'infini. Des études plus poussées suggèrent que l'écart entre pn+1 et pn croît comme ln(n)^2.

Math Coss

Emphyrio a dit :

Des études plus poussées suggèrent que l'écart entre pn+1 et pn croît comme ln(n)^2.

Si on en croit la conjecture des nombres premiers jumeaux et si on se rappelle qu'il n'y a aucun nombre premier entre $n!+2$ et $n!+n$, on voit que l'écart entre $p_{n+1}$ et $p_n$ n'a pas de limite. Est-ce que tu ferais l'effort de donner un sens à cette phrase que je cite ?

Emphyrio

J'ai peur de mal comprendre, les termes n!  et n! + n prouvent que l'on peut toujours trouver au moins deux premiers dont l'écart vaut au moins n choisi aussi grand que l'on veut. Dans l'exemple donné on a pn+1 - pn < Cste.ln(n)^2 avec C~1. C'est une inégalité qui n'interdit pas un écart qui vaut 2 comme pour les jumeaux mais cela donne un écart maximum qui tend vers l'infini avec n.

Selon les études en cours on pense que les jumeaux sont en nombre infini mais on ne sait pas le prouver.

Remarquons toutefois que ln(n!)^2 est bien supérieur à n ce qui est conforme à la première déduction faite avec n! et n! + n

gerard0

" les termes n!  et n! + n prouvent que l'on peut toujours trouver au moins deux premiers dont l'écart vaut au moins n choisi aussi grand que l'on veut" Oui, en fait c'est n!+2 et n!+n et ça donne n-1 entiers successifs non premiers.

Toujours ton imprécision très caractéristique. Celle qui te fait écrire " l'écart entre pn+1 et pn croît comme ln(n)^2" (*) alors qu'on sait que cet écart n'est pas croissant.

Un jour peut-être te décideras-tu à apprendre un peu de mathématiques et à étudier les connaissances actuelles en théorie des nombres, entre autres la notion de "comportement asymptotique". Ce jour-là tu te diras : "j'étais lamentable !!". Pour l'instant, tu es le seul à ne pas te rendre compte.

Cordialement.

(*) très mal écrit, il faut faire l'effort de comprendre  " l'écart entre $p_n+1$ et $p_n$ croît comme ln(n)²"

Emphyrio

Attention c'est même plus compliqué car c'est l'écart max qui varie comme ln(n)^2 d'où l'inégalité.

Ainsi, ils peuvent être plus proches notamment en cas de jumeaux. Disons pour simple que l'écart moyen augmente comme ln(n)^2.

Ps : Au voisinage de n! On a plutôt n < pn+1- pn < ln(n!)^2 on remarquera ln(n!)^2 >> n

Fin de partie

@Emphyrio : c'est quoi "un écart moyen", dans ce contexte?

Fin de partie

@Emphyrio:  Pour que tu comprennes ma question, en statistiques on ne s'intéresse qu'à des suites finies, $(u_n)$ on peut donc faire la moyenne, par exemple faire la moyenne de la suite $(u_n-m)$ où $m$ est un réel fixe.

Mais comment fais-tu une telle moyenne avec une suite infinie? Comme celle des nombres premiers par exemple.

J'attire aussi ton attention sur le fait que  $\displaystyle \lim_{N\rightarrow\infty}\sum_{n=1}^N \dfrac{u_n-m}{N}$ n'existe pas toujours.

Emphyrio

Il me semble que c'est de la statistique de base si les valeurs extrêmes augmentent comme ln(n)^2 alors la valeur moyenne et les écarts par rapport à la moyenne le font aussi...

gerard0

Encore du baratin ! Tu ne définis rien, tu parles en général avec des mots dont on n'est même pas sûr que tu les emploies à bon escient.

Si tu es sérieux, retraduis ta phrase en règle mathématique correctement écrite, qu'on sache de quoi tu parles, si c'est vrai, et en quoi ça a un rapport avec le sujet.

NB : J'ai enseigné la "statistique de base" et je connais bien ses modèles probabilistes, je ne vois rien qui puisse se traduire dans la phrase que tu as écrite.

lourrran

Au PMU du coin, les arguments d'Emphyrio pourraient faire foi et en convaincre plus d'un.