exo X PC

alexisp

Soit \( N \in {M}_n(\mathbb{R}) \) nilpotente telle que \( \dim(\ker N) = 1 \). Déterminer les matrices \( B \) de \( {M}_n(\mathbb{R}) \) telles que \( B^2 = I_n + N \).

Quelques idées:

-Je pense que la solution est le ploynôme en N donné par le développement limité à rang n-1 de $\sqrt(1+x)$, au signe près

-On se ramener par conjugaison à N=J, avec J la matice avec des 1 sur l'extra diagonale.

 -I+J est cyclique on peut en déduire B est un polynôme en (I+J) donc un polynôme de J, je n'arrive pas à conclure il doit y avoir une solution simple.

JLapin

On peut effectivement vérifier que $N$ est semblable à la matrice de Jordan qui va bien, puis expliciter le commutant de cette matrice pour en déduire que $B$ est un polynôme en $N$  : $B=P(N)$ avec $P\in \R_{n-1}[X]$.

On a alors $P(N)^2=I_n+N$. En utilisant la liberté de la famille $(I_n,N,\ldots,N^{n-1})$ (ou le polynôme minimal de $N$ qui vaut $X^n$ si le programme de la filière le permet), on en déduit que $P(X)^2-1-X$ est divisible par $X^n$ puis que $|P(x)|= \sqrt{1+x}+o(x^n)$ quand $x$ tend vers $0$.

On a alors $P(0)=\pm 1$.

Si $P(0)=1$, au voisinage de $0$ on a $P(x)>0$ donc $P(x)=\sqrt{1+x}+o(x^n)$ puis $\sqrt{1+x} = P(x)+o(x^n)$.

On conclut par unicité du DL.

Si $P(0)=-1$, alors $(-P)(0)=1$ et l'on revient au cas précédent.

JLT

Sinon on peut d'abord montrer que le spectre de $B$ est de cardinal $1$ (si $B$ avait deux valeurs propres, ses deux sous-espaces propres seraient stables par $N$ et le noyau de $N$ devrait être de dimension $\geqslant 2$). On trigonalise $B$ et $N$ simultanément. Quitte à remplacer $B$ par $-B$ on peut supposer que $B$ n'a que des $1$ sur la diagonale. On montre ensuite par récurrence sur $k$ que les coefficients $b_{i,i+k}$ sont uniquement déterminés, donc $B$ est unique. Comme on a trouvé une solution avec le développement limité de $\sqrt{1+x}$, c'est la seule.

alexisp

Merci, c'est vraiment dur pour un exo PC.

JLapin

Peut-être le troisième exo d'un oral pour éviter que le candidat n'épuise la liste d'exos faisables de l'examinateur

Guego

Ou peut-être que l'énoncé d'origine n'est pas exactement celui-là non plus.

etanche

Même en PC à l’oral de l’X il y a des candidats très fort, ça doit un candidat très fort qui a eu cet exo.
Il connaissait des résultats hors programme, certainement avec démonstrations. 

Bbidule

@alexisp: sais-tu quand cet exercice a été posé ? (en 2024 ?)

canasson29

Bonjour,

il y a déjà une première solution : $B=\exp(\ln(I+N)/2).$ Ainsi que $-B.$ Et c'est tout à fait  c'était tout à fait dans le programme. Il reste à voir s'il existe d'autres solutions ...

JLapin

Il existe une fonction logarithme matriciel au programme de la filière PC ? Je n'en suis pas sûr.

canasson29

Bonjour JLapin,

j'en suis resté au temps où il y avait les systèmes différentiels linéaires. Il y a eu visiblement du sabrage depuis.

L'examinateur qui a posé l'exercice est peut-être tout aussi ignorant de ce qui est dans le programme. Ou alors l'exercice a été posé il y a longtemps.

Ceci dit, la décomposition de Jordan c'est pas connu non plus en filière PC.

JLapin

Même avec l'exponentielle de matrice à disposition, il n'est pas si simple de définir un logarithme matriciel.

Ceci étant, il s'agit ici d'une forme très très faible de "la décomposition de Jordan", que nous appelons ainsi sur ce message par commodité.

canasson29

Pour le logarithme, de manière simplifiée, en restriction aux matrices de la forme $I+N$ avec $N$ nilpotente. Eventuellement en rajoutant des conditions de norme sur $N$ pour s'assurer de la convergence. En toute généralité, c'est plus complexe, c'est certain.

alexisp

C'est un exo de la RMS, X 2022. Clairement il n'y a pas de log matriciel au programme, mais bon ce serait pas le premier exo hors programme à l'X.

canasson29

j'imagine qu'il n'y a plus d'exponentielle de matrices non plus ? De toute façon avec ta démarche et la remarque de JLT on conclut, mais ça sort des sentiers battus ! Heureusement que $N$ a une condition, sans quoi c'est plus complexe.

Bbidule

@alexisp: merci pour cette référence.

JLapin

alexisp a dit :

C'est un exo de la RMS, X 2022. Clairement il n'y a pas de log matriciel au programme, mais bon ce serait pas le premier exo hors programme à l'X.

On peut largement résoudre cet exercice avec des moyens assez élémentaires : il n'est pas interdit d'imaginer que l'interrogateur a quelques questions intermédiaires sous le coude, ou que le candidat prenne l'initiative de traiter déjà le cas où $n=2$ et ainsi, visualise une matrice nilpotente assez simple à laquelle $N$ pourrait être semblable dans le cas général.

bisam

À l'oral de Polytechnique, comme aux ENS, il n'est pas rare que l'ultime exercice serve uniquement à inciter au dialogue entre le candidat et l'examinateur.

Ici, un candidat qui commencerait par dire qu'il espère prouver que les solutions sont des polynômes en $N$ partirait, je pense, avec un bon capital de points. S'il arrive ensuite à justifier que $N$ est semblable à la matrice ayant des $1$ au-dessus de la diagonale et des $0$ partout ailleurs, il a déjà fait une grande partie du boulot.

Parfois, donner de bonnes idées sans forcément aller jusqu'au bout suffit à montrer ce que l'on vaut.