Cercles tangents

RHOM

Soient $ABC $ un triangle $O,I$ son circoncentre et son incentre;

 $A'$ l'antipode de $A$ ;   la $A$-bissectrice coupe $BC$ en $D$ et $\odot(O)$ en $E(\ne A)$;  $G$ la deuxième intersection de $A'I$ et $\odot(O)$ ; le cercle de diamètre  $ ID$ recoupe le cercle $\odot(BDE)$ en $ H$ ; soit $c$ un cercle passant par $G$ et $H$.

Montrer que

$c$ est tangent à $\odot(O) \iff  c$ est tangent à $\odot(BDE)$.

cordialement

RH HAS

Jean-Louis Ayme

Bonjour,

une preuve synthétique est possible...

Sincèrement
Jean-Louis

Bouzar

Bonjour,

Une illustration:

Amicalement

Rescassol

Bonjour,

> une preuve synthétique est possible...
Une preuve barycentrique est possible...

%  RHOM - 03 Novembre 2024 - tangent circles

clear all, clc

syms a b c real

% Notations de Conway
Sa=(b^2+c^2-a^2)/2; Sb=(c^2+a^2-b^2)/2; Sc=(a^2+b^2-c^2)/2;

A=[1; 0; 0]; B=[0; 1; 0]; C=[0; 0; 1]; % Sommets du triangle ABC
BC=[1, 0, 0]; CA=[0, 1, 0]; AB=[0, 0, 1]; % Côtés du triangle ABC

%-----------------------------------------------------------------------

syms t u v real

I=[a; b; c]; O=[a^2*Sa; b^2*Sb; c^2*Sc]; % Centres inscrit et circonscrit
D=[0; b; c]; E=[a^2; -b*(b+c); -c*(b+c)]; % Points Det E
Ap=SymetriqueBary(O,A); % Ap=[-Sb*Sc, b^2*Sb, c^2*Sc] % Point A'

% Point G
G=Barycentre([Ap I],[1 t]);
NulG=numden(Factor(Cocycliques(A,B,C,G,a,b,c)/t));
CoG=coeffs(NulG,t,'All');
G=SimplifieBary(Barycentre([Ap I],[1 -CoG(2)/CoG(1)]))
% G=[a^2*(a+b-c)*(a-b+c); b*(b-c)*(a+b-c)*(b-a+c); -c*(b-c)*(a-b+c)*(b-a+c)]

% Point H
[Obde Rbde2]=CercleTroisPointsBary(B,D,E,a,b,c)
% On trouve Obde =
% -2*a^2*c*Sc
% b*((a+b+c)*(a+b-c)*(a-b+c)*(b-a+c)+2*a^2*b*c)
% c*(a^2*(b^2+c^2) - (b^2-c^2)^2)
% et Rbde2=a^4*b^2*c^2/((b+c)^2*(a+b+c)*(a+b-c)*(a-b+c)*(b-a+c))
Oad=MilieuBary(I,D); % Oad=[a*(b+c); b*(a+2*b+2*c); c*(a+2*b+2*c)]
Rad2=Factor(Distance2(Oad,D,a,b,c)); % Rad2=a^2*b*c*(b-a+c)/(4*(b+c)^2*(a+b+c))
Ax=SimplifieBary(AxeRadicalBary(Obde,Rbde2,Oad,Rad2,a,b,c));
% Ax=[-2*b*c, c*(a-b+c), -b*(a-b+c)]
H=[u; v; -(Ax(1)*u+Ax(2)*v)/Ax(3)];
Fact=-a^2*c^2*u*(a+b+c)*(b-a+c); % Facteur de simplificartion
NulH=numden(Factor(Cocycliques(B,D,E,H,a,b,c)/Fact));
% NulH=b*(3*(b+c)*a^2 - 2*a^3 - (b+c)*(b-c)^2)*u - a^2*(a-b+c)*(b-a+c)*v
u=a^2*(a-b+c)*(b-a+c);
v=b*(3*(b+c)*a^2 - 2*a^3 - (b+c)*(b-c)^2);
H=SimplifieBary([u; v; -(Ax(1)*u+Ax(2)*v)/Ax(3)]);
% On trouve:
% H=[a^2*(a-b+c)*(b-a+c), b*(-2*a^3 + 3*a^2*(b+c) - (b+c)*(b-c)^2), c*(b+c)*(a+b-c)*(a-b+c)]

% Soit K le point d'intersecton de la médiatrice de [GH] et (AD)
Med=SimplifieBary(MediatriceBary(G,H,a,b,c));
K=SimplifieBary(Wedge(Med,Wedge(A,D)));
Nul1=Factor(det([O K G])) % Nul1=0 donc K est sur [O G]
Nul2=Factor(det([K H Obde])) % Nul2=0 donc K est sur [H Obde]
% Le cercle (K KG) est donc tangent aux deux cercles (ABC) et (BDE)

Cordialement,

Rescassol

stfj

Bonjour,

Je trouve pour l'instant $$E=-a^2:\,b^2+bc:\,bc+c^2$$ vérifié sur geogebra.

Rescassol

Bonsoir,

> $E=-a^2:\,b^2+c^2:\,b^2+c^2$
Plutôt $E=[-a^2;\space b(b+c);\space c(b+c)]$

Cordialement,
Rescassol

gipsyc

Bonjour,

Le point G, rebaptisé K ci-dessous, est également sur le cercle (AI) tangent au cercle (ID) donnant le point H (rebaptisé T).
Pour faire joli, j'ai rajouté le cerclec A-Mention (BIC) tangent aux cercles (ID) et (AI) et centré par E.

 Note : le centre du cercle par K et T tangent aux cercles (BDE) et (ABC) est sur la A-bissectrice.

Belle journée,

Jean-Pol Coulon 

Jean-Louis Ayme

Bonjour,

j'ai commencé avec un cercle de Weaver et terminé avec les théorèmes de Reim et Miquel...

Sincèrement
Jean-Louis

stfj

Bonjour

sagemath via

_____________________________

def norm(P):
    return P/(Linf*P)

def vecteur(P1,P2):
    return norm(P2)-norm(P1)

def distance2(P1,P2) :
    vec=vecteur(P1,P2)
    return vec*pyth*vec

def perp(droite,point):
    Pinf=matM*droite
    return point.cross_product(Pinf)

def simple(vec):
    if len(vec)==3:
        num=gcd([numerator(vec[0]), numerator(vec[1]), numerator(vec[2])])
        den=lcm([denominator(vec[0]),denominator(vec[1]),denominator(vec[2])])
        facteur=num/den
        vec0=factor(vec[0]/facteur)
        vec1=factor(vec[1]/facteur)
        vec2=factor(vec[2]/facteur)
        return vector([vec0,vec1,vec2])
    if len(vec)==4:
        num=gcd([numerator(vec[0]), numerator(vec[1]), numerator(vec[2]),numerator(vec[3])])
        den=lcm([denominator(vec[0]),denominator(vec[1]),denominator(vec[2]),denominator(vec[3])])
        facteur=num/den
        vec0=factor(vec[0]/facteur)
        vec1=factor(vec[1]/facteur)
        vec2=factor(vec[2]/facteur)
        vec3=factor(vec[3]/facteur)
        return vector([vec0,vec1,vec2,vec3])
 
 
def ver(P) :
    return vector([P[0]*(Linf*P),P[1]*(Linf*P),P[2]*(Linf*P),P*pyth*P])

def cercle(vec1,vec2,vec3):
    mat=transpose(matrix([ver(vec1),ver(vec2),ver(vec3)]))
    c1=det(mat[(1,2,3),:])
    c2=-det(mat[(0,2,3),:])
    c3=det(mat[(0,1,3),:])
    c4=-det(mat[(0,1,2),:])
    return vector([c1,c2,c3,c4])

def gram(cer1,cer2):
    return (cer1*matQ*cer1)*(cer2*matQ*cer2)-(cer1*matQ*cer2)^2

def solbar(vec):
    if len(vec)==3:
        vec0=vec[0].rhs()
        vec1=vec[1].rhs()
        vec2=vec[2].rhs()
        return vector([vec0,vec1,vec2])

def cercle2(centre,point):
    return invQ*ver(norm(centre))- distance2(centre,point)* vector([Linf[0],Linf[1],Linf[2],0])    

def centre(cer):  
 

    cen=matQ*cer
    return vector([cen[0], cen[1], cen[2]])
      
    
#version coordonnées barycentriques
var('a b c u v w x y z r s t' , domain='positive') #a=Distance(B,C) ; b=Distance(C,A) : c=Distance(A,B)
Sa=(b^2+c^2-a^2)/2 ; Sb=(a^2+c^2-b^2)/2 ; Sc=(a^2+b^2-c^2)/2 # notations de Conway
S=sqrt((a+b+c)*(b+c-a)*(c+a-b)*(a+b-c))/2  # S=2*aire(ABC) comme dans ETC
Linf=vector([1,1,1])
pyth=1/2*matrix([[0,-c^2,-b^2],[-c^2,0,-a^2],[-b^2,-a^2,0]]) #cercle circonscrit à ABC
matM=matrix([[a^2,-Sc,-Sb],[-Sc,b^2,-Sa],[-Sb,-Sa,c^2]]) #orthodir à multiplier par 1/S
matQ=-matrix([[a^2,-Sc,-Sb,-a^2*Sa],[-Sc,b^2,-Sa,-b^2*Sb],[-Sb,-Sa,c^2,-c^2*Sc],[-a^2*Sa,-b^2*Sb,-c^2*Sc,a^2*b^2*c^2]])/(2*S^2) #quartique de l’espace des cycles
invQ=matrix([[0,c^2,b^2,1],[c^2,0,a^2,1],[b^2,a^2,0,1],[1,1,1,0]])

A=vector([1,0,0]);B=vector([0,1,0]);C=vector([0,0,1])
AB=A.cross_product(B);BC=B.cross_product(C);CA=C.cross_product(A)
I=vector([a,b,c])
O=vector([a^2*Sa,b^2*Sb,c^2*Sc])
AI=A.cross_product(I)
D=AI.cross_product(BC)
AO=A.cross_product(O)
Ap=2*norm(O)-norm(A)
Ap=Ap/(a^2-b^2+c^2)
Ap=simple(Ap)
ApI=Ap.cross_product(I)
ApI=simple(ApI)
G=vector([x,y,z])
vec=solve ([ApI*G==0,G*pyth*G==0],x,y,z)
G=solbar(vec[1])
G=simple(G)
E=vector([-a^2,b^2+b*c,c^2+b*c])
mID=norm(I)+norm(D)
bleu=simple(cercle(B,D,E))
rouge=simple(cercle2(mID,I))
M=vector([u,v,w ])
vec=solve ([rouge*ver(M)==0,bleu*ver(M)==0],u,v,w)
H=solbar(vec[0])
H=simple(H)
M=vector([r,s,t])
c=simple(cercle(G,H,M))
cerABC=simple(cercle(A,B,C))
print(factor( gram(c,cerABC) -gram(c,bleu)/a^2))
_______________________________________________________________

fournit le résultat selon lequel une première condition de deux cercles tangents équivaut à la deuxième condition, comme annoncé dans OP.

$\square$

On obtient même les coordonnées du centre du cercle avec 

_____________________________

centreBDE=centre(bleu)
OG=O.cross_product(G)
HcentreBDE=H.cross_product(centreBDE)

centreCercleBitangent=OG.cross_product(HcentreBDE)
centreCerleBitangent=simple(centreCercleBitangent)
print(centreCercleBitangent)

_____________________________

$$1/2*((a^2 - b^2 - c^2)*(a + b - c)*(a - b - c)*a^2*(b - c)*b - (a^2 - b^2 + c^2)*(a + b - c)*(a - b + c)*a^2*b^2)*((a + b - c)*(a - b + c)*(b + c)*(2*a^2*(b + c)*b*c/((a + b + c)*(a + b - c)*(a - b + c)*(a - b - c)) + (a^2 - b^2 - c^2)*a^2*(b + c)/((a + b + c)*(a + b - c)*(a - b + c)*(a - b - c)) - (a^2 - b^2 + c^2)*a^2*b/((a + b + c)*(a + b - c)*(a - b + c)*(a - b - c)))*c + (a - b + c)*(a - b - c)*a^2*(2*a^2*b*c^2/((a + b + c)*(a + b - c)*(a - b + c)*(a - b - c)) - (a^2 - b^2 + c^2)*(b + c)*b*c/((a + b + c)*(a + b - c)*(a - b + c)*(a - b - c)) - (a^2 + b^2 - c^2)*(b + c)*c^2/((a + b + c)*(a + b - c)*(a - b + c)*(a - b - c)))) + 1/2*((a^2 - b^2 - c^2)*(a - b + c)*(a - b - c)*a^2*(b - c)*c + (a^2 + b^2 - c^2)*(a + b - c)*(a - b + c)*a^2*c^2)*((a - b + c)*(a - b - c)*a^2*((a^2 - b^2 - c^2)*a^2*b/((a + b + c)*(a + b - c)*(a - b + c)*(a - b - c)) - (a^2 - b^2 + c^2)*(b + c)*b^2/((a + b + c)*(a + b - c)*(a - b + c)*(a - b - c)) - (a^2 + b^2 - c^2)*(b + c)*b*c/((a + b + c)*(a + b - c)*(a - b + c)*(a - b - c))) - (2*a^3 - 3*a^2*b + b^3 - 3*a^2*c - b^2*c - b*c^2 + c^3)*b*(2*a^2*(b + c)*b*c/((a + b + c)*(a + b - c)*(a - b + c)*(a - b - c)) + (a^2 - b^2 - c^2)*a^2*(b + c)/((a + b + c)*(a + b - c)*(a - b + c)*(a - b - c)) - (a^2 - b^2 + c^2)*a^2*b/((a + b + c)*(a + b - c)*(a - b + c)*(a - b - c)))), -1/2*((a^2 - b^2 + c^2)*(a - b + c)*(a - b - c)*(b - c)*b^2*c + (a^2 + b^2 - c^2)*(a + b - c)*(a - b - c)*(b - c)*b*c^2)*((a - b + c)*(a - b - c)*a^2*((a^2 - b^2 - c^2)*a^2*b/((a + b + c)*(a + b - c)*(a - b + c)*(a - b - c)) - (a^2 - b^2 + c^2)*(b + c)*b^2/((a + b + c)*(a + b - c)*(a - b + c)*(a - b - c)) - (a^2 + b^2 - c^2)*(b + c)*b*c/((a + b + c)*(a + b - c)*(a - b + c)*(a - b - c))) - (2*a^3 - 3*a^2*b + b^3 - 3*a^2*c - b^2*c - b*c^2 + c^3)*b*(2*a^2*(b + c)*b*c/((a + b + c)*(a + b - c)*(a - b + c)*(a - b - c)) + (a^2 - b^2 - c^2)*a^2*(b + c)/((a + b + c)*(a + b - c)*(a - b + c)*(a - b - c)) - (a^2 - b^2 + c^2)*a^2*b/((a + b + c)*(a + b - c)*(a - b + c)*(a - b - c)))) + 1/2*((a^2 - b^2 - c^2)*(a + b - c)*(a - b - c)*a^2*(b - c)*b - (a^2 - b^2 + c^2)*(a + b - c)*(a - b + c)*a^2*b^2)*((a + b - c)*(a - b + c)*(b + c)*c*((a^2 - b^2 - c^2)*a^2*b/((a + b + c)*(a + b - c)*(a - b + c)*(a - b - c)) - (a^2 - b^2 + c^2)*(b + c)*b^2/((a + b + c)*(a + b - c)*(a - b + c)*(a - b - c)) - (a^2 + b^2 - c^2)*(b + c)*b*c/((a + b + c)*(a + b - c)*(a - b + c)*(a - b - c))) + (2*a^3 - 3*a^2*b + b^3 - 3*a^2*c - b^2*c - b*c^2 + c^3)*b*(2*a^2*b*c^2/((a + b + c)*(a + b - c)*(a - b + c)*(a - b - c)) - (a^2 - b^2 + c^2)*(b + c)*b*c/((a + b + c)*(a + b - c)*(a - b + c)*(a - b - c)) - (a^2 + b^2 - c^2)*(b + c)*c^2/((a + b + c)*(a + b - c)*(a - b + c)*(a - b - c)))), -1/2*((a^2 - b^2 + c^2)*(a - b + c)*(a - b - c)*(b - c)*b^2*c + (a^2 + b^2 - c^2)*(a + b - c)*(a - b - c)*(b - c)*b*c^2)*((a + b - c)*(a - b + c)*(b + c)*(2*a^2*(b + c)*b*c/((a + b + c)*(a + b - c)*(a - b + c)*(a - b - c)) + (a^2 - b^2 - c^2)*a^2*(b + c)/((a + b + c)*(a + b - c)*(a - b + c)*(a - b - c)) - (a^2 - b^2 + c^2)*a^2*b/((a + b + c)*(a + b - c)*(a - b + c)*(a - b - c)))*c + (a - b + c)*(a - b - c)*a^2*(2*a^2*b*c^2/((a + b + c)*(a + b - c)*(a - b + c)*(a - b - c)) - (a^2 - b^2 + c^2)*(b + c)*b*c/((a + b + c)*(a + b - c)*(a - b + c)*(a - b - c)) - (a^2 + b^2 - c^2)*(b + c)*c^2/((a + b + c)*(a + b - c)*(a - b + c)*(a - b - c)))) - 1/2*((a^2 - b^2 - c^2)*(a - b + c)*(a - b - c)*a^2*(b - c)*c + (a^2 + b^2 - c^2)*(a + b - c)*(a - b + c)*a^2*c^2)*((a + b - c)*(a - b + c)*(b + c)*c*((a^2 - b^2 - c^2)*a^2*b/((a + b + c)*(a + b - c)*(a - b + c)*(a - b - c)) - (a^2 - b^2 + c^2)*(b + c)*b^2/((a + b + c)*(a + b - c)*(a - b + c)*(a - b - c)) - (a^2 + b^2 - c^2)*(b + c)*b*c/((a + b + c)*(a + b - c)*(a - b + c)*(a - b - c))) + (2*a^3 - 3*a^2*b + b^3 - 3*a^2*c - b^2*c - b*c^2 + c^3)*b*(2*a^2*b*c^2/((a + b + c)*(a + b - c)*(a - b + c)*(a - b - c)) - (a^2 - b^2 + c^2)*(b + c)*b*c/((a + b + c)*(a + b - c)*(a - b + c)*(a - b - c)) - (a^2 + b^2 - c^2)*(b + c)*c^2/((a + b + c)*(a + b - c)*(a - b + c)*(a - b - c)))))$$

Cordialement

https://www.geogebra.org/classic/mteetmnb