$\mathbb{C}^{*}$ n'est pas simplement connexe

Twil

Bonjour, 

Je me demandais pourquoi, sur le site https://agreg-maths.fr/lecons/annee/2024 , le développement  "$\mathbb{C}^*$ n'est pas simplement connexe" trouvait un recasage (5 étoiles) dans la leçon 203-Notion de compacité.
Merci d'avance à ceux qui pourront m'aider.

Cordialement

Foys

Ce résultat intuitivement évident est en fait conséquence de résultats techniques assez longs à mettre en place.

Etant donné $k\in \{0,1\}$ on désigne par $E_k$ l'ensemble des fonctions $f$ qui sont $\mathcal C^k$ de $[0,2\pi]$ dans $\C^{\times}$ et telles que $f(0) = f(2\pi)$ (édité). L'application $W: f \in E_1 \mapsto \frac 1 {2i \pi} \int_{0}^{2  \pi} \frac{f'(t)}{f(t)} dt$  est 

1°) en fait à valeurs dans $\Z$

2°) Prolongeable à $E_0$ en une application à valeurs dans $\Z$ et qui est invariante par homotopie.

On a $W(t \mapsto e^{int}) = n$ pour tout $n\in \Z$; en particulier $t \mapsto e^{it}$ et $t \mapsto 1$ ne sont pas homotopes. ($W(f)$ s'appelle parfois "nombre d'enroulements" (édité) de $f$ autour de $0$, "winding number" chez les anglos saxons. Cf par exemple William Fulton, Algebraic Topology).

gebrane

Il y a des auteurs malins qui rendent ce résultat trivial en prenant la définition 8 de ce document 

Foys

@gebrane on peut aussi remarquer ce que dit l'auteur en question dans son exemple 6.

Quand tout est admis, tout est trivial c'est vrai mais l'initiateur du fil se place dans une démarche de préparation d'agreg et devant un jury de ce genre de concours il est dans l'intérêt du candidat d'être plus prudent que ça...

gebrane

@Foys

Le prix à payer est de bien préparer une preuve du théorème 10 du document joint. Les jurys seront émerveillés s'ils reçoivent cette définition accompagnée d'une preuve bien élaborée du théorème 10.
Non ?     Non pertinent

Twil

Bonjour à vous deux, et merci pour vos réponses.

En fait ma démo passe par le lemme de Goursat, par le théorème de Cauchy et par l'existence de primitive sur un ouvert (les difficultés sont ici). Ayant ces outils en poche on peut s'en sortir il me semble, en calculant l'intégrale de $z\mapsto\frac{1}{z}$ sur le cercle.
Mais ma question n'était pas sur comment démontrer ce résultat mais plutôt où est-ce qu'intervient la compacité ? En effet avec ma démo elle n'intervient à aucun moment. 
@Foys si j'ai bien compris tu définis les lacets et les degrés de ces derniers et je pense que nos démos se croisent à un moment. Je ne suis pas sûr d'avoir tout saisi sur ce que tu as écris dans "ta démo" mais je ne vois pas trop où intervient la compacité si ce n'est dans $[0;2\pi]$
@gebrane de même pour le document que tu joins je ne vois pas où intervient la compacité si ce n'est dans $[0;2\pi]$ encore.

Cordialement

jelobreuil

@Foys Bonjour

Cette discussion me passe largement au-dessus de la tête, et je n'interviens, par déformation professionnelle, que pour proposer, pour l'expression anglaise "winding number", la traduction "indice d'enroulement", parce qu'en français bien compris, "nombre" réclame "d'enroulements".

Bon, mais moi, ce que j'en dis, hein ... Ce n'est que le point de vue d'un béotien en la matière ...

Bien amicalement, Jean-Louis B.

gebrane

Twil dans cette preuve on utilise la compacité de [0,1] et H[0,1] https://agreg-maths.fr/uploads/versions/5774/C étoile n'est pas simplement connexe.pdf

Twil

@gebrane
yep, je connais cette preuve de CloudSea. Effectivement on utilise que l'image d'un compact par une application continue est compacte. Cependant, pour moi, le développement n'a pas sa place dans cette leçon si "le seul" résultat que l'on utilise est ce dernier. Du moins pas un recasage 5 étoiles. Merci à tous pour vos réponses.
ps : @jelobreuil effectivement, on utilise aussi le terme "indice" en français. 
Bon dimanche. 

lesmathspointclaires

@Foys $f(0)=f(1)$ ? 

Twil

@lesmathspointclaires
il voulait dire $f(0)=f(2\pi)$.

Etienne91

J'ai regardé rapidement la preuve de CloudSea mais j'ai l'impression qu'il utilise la compacité trois fois : 
- l'image d'un compact par une fonction continue est un compact
- théorème de Heine
- recouvrement d'un compact par un nombre fini d'ouverts

Les recasages (et le nombre d'étoiles) sur agreg-maths sont indiqués par les utilisateurs qui mettent en ligne, il faut les prendre avec des pincettes (parfois le niveau de recasage est en effet exagéré, c'est peut-être le cas ici, mais pour le niveau de recasage il faut aussi voir le plan de la leçon et comment le développement y est intégré). Sachant tout de même que la leçon sur la compacité n'est pas "compacité" mais "utilisation de la compacité" (donc on peut être tenté d'intégrer des résultats qui n'ont rien à voir avec la compacité mais qui justement l'utilisent pour démontrer des résultats d'autres domaines).

En revanche, les recasages dépendent aussi de la démonstration : ici le recasage est indiqué si tu choisis la preuve rédigée par Cloudsea. Si dans ta preuve de ce résultat tu n'utilises pas la compacité, alors comme la simple connexité de $\mathbb{C}^*$ n'est pas un résultat de compacité, en effet tu ne peux pas l'utiliser dans cette leçon

lesmathspointclaires

Avec le théorème de Jordan il y a une preuve rapide, non? (Toute suite décroissante de compacts simplement connexes contenant $0$ est un compact contenant $0$)

Twil

Bonsoir, 

@Etienne91, en effet nous sommes bien d'accord. Merci pour la réponse.
@lesmathspointclaires je ne connais pas ce théorème sorry.

Cordialement

lesmathspointclaires

@Twilhttps://fr.wikipedia.org/wiki/Théorème_de_Jordan

CloudSea

Bonjour @Twil !

On m'a dit que tu avais des questions sur mon dev et que tu en avais fait un post. Je viens donc te répondre avec un compte fraichement créé cet aprem.

On est d'accord, la non simple connexité de $\mathbb C^\ast$ c'est pas un résultat de compacité. Donc faut pas le présenter dans la leçon compacité si la preuve qu'on donne ne la fait pas intervenir. Dans ma version de la preuve, la compacité apparait aux endroit suivants :
- La compacité de $K = H([0, 1]^2)$ permet d'introduire $r$ et de travailler sur des boules incluses dans Omega

- L'existence des $\tilde \gamma_s$ est une conséquence du théorème de Heine
- On utilise encore la continuité uniforme de $H$ (et donc Heine) pour introduire $\delta$
- Et on utilise enfin la continuité uniforme de $\tilde \gamma_s$ (toujours Heine) pour construire la subdivision $0 = t_0 < \cdots < t_n = 1$

Je suis d'accord que c'est pas toujours très très explicite, et j'avoue j'ai peut être abusé sur les 5 étoiles sur agreg math. Après un des dev très très recasé dans cette leçon c'est le théorème Weierstrass qui utilise Heine juste une fois à la fin, donc je pense que c'est largement safe de présenter la simple connexité de $\mathbb C^\ast$ sous cette forme.

Enfin, comme dit précédemment les étoiles sur agreg maths sont à prendre avec une pincée de sel. Par exemple le recasage des formes normales de Smith dans la leçon diagonalisation fait débat. Fais comme tu le sens le plus important c'est de savoir défendre ton recasage le jour j si  jamais il est litigieux.

Bonne journée à toi, hésite pas si ma rédaction n'est pas très claire et que tu as des questions je me rendrais disponible

Twil

Salut @CloudSea,

Très sympa, d'avoir pris le temps pour tout ça.
Oui en effet, je suis bien d'accord avec les arguments avancés et merci pour les conseils du coup.

Pas de souci je te contacterai sur ce site si je retombe sur un de tes développements.

Bonne fin de journée et bonne continuation.