$(\mathfrak{P}(E),\,\subseteq)$, majorants

Sarah41

Bonjour, 
Je suis tombée sur cet exemple dans le livre "Les mathématiques du CAPES, Ecrit et oral", de Jean-Marc Garnier : 
"Dans (P(E), inclusion), soit deux sous-ensembles X et Y de E et A = {X , Y}.
Alors, A est majorée par tout ensemble contenant X et Y. Le plus grand et le plus petit élément de A est A."

Je ne comprend pas la phrase mise en gras : d'après ce que j'ai compris, un majorant de A doit être un élément de P(E), donc un sous-ensemble de E, comme E.
Cela ne peut pas être A car c'est un ensemble de deux ensembles.

J'ai essayé de me créer un exemple avec :
E = {1, 2, 3}, X = {1,2} et Y = {1,3}
Un majorant de A est un ensemble qui doit contenir tous les éléments de X et de Y au moins : forcément E.
Les minorants de A sont l'ensemble vide et le singleton {1}.
Il n'y a pas de plus grand élément ni de plus petit élément puisque {1,2} n'est pas inclus dans {1,3} et inversement. 

Je me suis aussi demandé si A n'était tout simplement pas l'ensemble contenant les éléments de X et de Y mais cela contredirait le fait que A est une partie non vide de l'ensemble ordonné P(E) (et non un élément de P(E)).

J'espère trouver une réponse ici, merci !
 

DeGeer

Bonjour

Dans la cadre de la théorie des ensembles au programme du CAPES, la phrase en gras est fausse car un ensemble ne peut pas être un élément de lui-même.

Georges Abitbol

C’est probablement une erreur… « contenant $X$ et $Y$ » pouvant être compris dans deux sens (i.e. contenant comme élément ou comme partie, ce qui illustre un problème de choix de terminologie), je pense que l’auteur s’est emmêlé les pinceaux.

@DeGeer : ah bon ? Curieux. C’est une hypothèse inutile pour la plupart des maths au CAPES (je dis plupart mais je n’en vois en fait aucun contre-exemple). Voir wiki. C’est cependant un indice judicieux : si dans des maths au CAPES, il y a des ensembles qui sont éléments d’eux-mêmes, mieux vaut parier sur une erreur d’énoncé.

Foys

Pour la présence d'axiome de fondation au capes il faudrait voir s'il y a un texte réglementaire.

Je rappelle (ou donne) l'astuce qui permet d'invalider AF. Soit $F$ une formule à deux variables libres $x,y$ qui établit une "bijection de l'univers sur lui-même", autrement dit telle qu'on peut démontrer le théorème suivant: $(\forall x \exists ! y, F) \wedge (\forall y \exists ! x, F)$.

Pour tous $a,b$ on pose $a \tilde{\in} b:= \exists x \exists y, b = x \wedge a \in y$ (informellement: $a$ appartient à l'image de $b$ par la bijection de classe $F$).

Alors lorsqu'on prend n'importe quel axiome $A$ de ZF hors fondation, l'énoncé obtenu en remplaçant partout $\in$ par $\tilde{\in}$ est un théorème de ZF (exo!  ce n'est pas dur).

Donc on a construit en changeant le sens de $\in$ une nouvelle structure qui satisfait ZF et qui pour des choix judicieux de $F$, viole l'axiome de fondation (en effet, la notion de "bijection de l'univers dans lui-même" a l'air impressionnante mais on en obtient en permutant un nombre fini d'ensembles, par exemple $\emptyset$ et $\{\emptyset \}$: formellement une $F$ qui échange seulement $\emptyset$ et $\{\emptyset\}$ s'écrit $(\neg V(x) \wedge \neg W(x) \wedge x = y) \vee (V(x) \wedge W(y)) \vee (W(x) \wedge V (y))$ où $V(t):= \forall s, \neg s \in t$ et $W(t):= \forall s, (s \in t \Leftrightarrow V(s))$. Pour ce choix de bijection on peut trouver $a$ tel que $a \tilde{\in} a$; cf solution ci-après).

$a$ n'est rien d'autre que  $\emptyset$ !!