$(\mathfrak{P}(E),\,\subseteq)$, majorants

Sarah41
Modifié (2 Nov) dans Fondements et Logique
Bonjour, 
Je suis tombée sur cet exemple dans le livre "Les mathématiques du CAPES, Ecrit et oral", de Jean-Marc Garnier : 
"Dans (P(E), inclusion), soit deux sous-ensembles X et Y de E et A = {X , Y}.
Alors, A est majorée par tout ensemble contenant X et Y. Le plus grand et le plus petit élément de A est A."

Je ne comprend pas la phrase mise en gras : d'après ce que j'ai compris, un majorant de A doit être un élément de P(E), donc un sous-ensemble de E, comme E.
Cela ne peut pas être A car c'est un ensemble de deux ensembles.

J'ai essayé de me créer un exemple avec :
E = {1, 2, 3}, X = {1,2} et Y = {1,3}
Un majorant de A est un ensemble qui doit contenir tous les éléments de X et de Y au moins : forcément E.
Les minorants de A sont l'ensemble vide et le singleton {1}.
Il n'y a pas de plus grand élément ni de plus petit élément puisque {1,2} n'est pas inclus dans {1,3} et inversement. 

Je me suis aussi demandé si A n'était tout simplement pas l'ensemble contenant les éléments de X et de Y mais cela contredirait le fait que A est une partie non vide de l'ensemble ordonné P(E) (et non un élément de P(E)).

J'espère trouver une réponse ici, merci !
 

Réponses

  • Bonjour
    Dans la cadre de la théorie des ensembles au programme du CAPES, la phrase en gras est fausse car un ensemble ne peut pas être un élément de lui-même.
  • C’est probablement une erreur… « contenant $X$ et $Y$ » pouvant être compris dans deux sens (i.e. contenant comme élément ou comme partie, ce qui illustre un problème de choix de terminologie), je pense que l’auteur s’est emmêlé les pinceaux.

    @DeGeer : ah bon ? Curieux. C’est une hypothèse inutile pour la plupart des maths au CAPES (je dis plupart mais je n’en vois en fait aucun contre-exemple). Voir wiki. C’est cependant un indice judicieux : si dans des maths au CAPES, il y a des ensembles qui sont éléments d’eux-mêmes, mieux vaut parier sur une erreur d’énoncé.
  • Foys
    Modifié (2 Nov)
    Pour la présence d'axiome de fondation au capes il faudrait voir s'il y a un texte réglementaire.

    Je rappelle (ou donne) l'astuce qui permet d'invalider AF. Soit $F$ une formule à deux variables libres $x,y$ qui établit une "bijection de l'univers sur lui-même", autrement dit telle qu'on peut démontrer le théorème suivant: $(\forall x \exists ! y, F) \wedge (\forall y \exists ! x, F)$.
    Pour tous $a,b$ on pose $a \tilde{\in} b:= \exists x \exists y, b = x \wedge a \in y$ (informellement: $a$ appartient à l'image de $b$ par la bijection de classe $F$).
    Alors lorsqu'on prend n'importe quel axiome $A$ de ZF hors fondation, l'énoncé obtenu en remplaçant partout $\in$ par $\tilde{\in}$ est un théorème de ZF (exo!  ce n'est pas dur).
    Donc on a construit en changeant le sens de $\in$ une nouvelle structure qui satisfait ZF et qui pour des choix judicieux de $F$, viole l'axiome de fondation (en effet, la notion de "bijection de l'univers dans lui-même" a l'air impressionnante mais on en obtient en permutant un nombre fini d'ensembles, par exemple $\emptyset$ et $\{\emptyset \}$: formellement une $F$ qui échange seulement $\emptyset$ et $\{\emptyset\}$ s'écrit $(\neg V(x) \wedge \neg W(x) \wedge x = y) \vee (V(x) \wedge W(y)) \vee (W(x) \wedge V (y))$ où $V(t):= \forall s, \neg s \in t$ et $W(t):= \forall s, (s \in t \Leftrightarrow V(s))$. Pour ce choix de bijection on peut trouver $a$ tel que $a \tilde{\in} a$; cf solution ci-après).
    $a$ n'est rien d'autre que  $\emptyset$ !!

    Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
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