Problème de valeurs propres

bestM

Bonjour,

quelqu'un a-t-il une idée pour résoudre cet exercice :

Soit $A=\left(a_{i j}\right) _{\substack{1 \leqslant i \leqslant n \\ 1 \leqslant j \leqslant n}}$ une matrice de $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$. On suppose que $A$ admet une valeur propre $\lambda$ telle $\operatorname{dim} E_\lambda(A) \geqslant 2$.Montrer que $\lambda$ est valeur propre de $B=\left(a_{i j}\right) \underset{\substack{1 \leqslant i \leqslant n-1 \\ 1 \leqslant i \leqslant n-1}}{ }$

D'avance merci pour votre aide,

bM

bd2017

Bjr

Soit $X=(x_1,...,x_n)^t$ et  $Y=(y_1,...,y_n)^t $  deux vecteurs propres indépendants  pour la v.p $\lambda$

Si par exemple  $x_n=0$  alors  $X'=(x_1,....,x_{n-1})^t $ est un un v.p  de $B$  pour la v.p $\lambda.$ 

Si $x_n\neq0 $  et $y_n\neq 0,$  on applique ce qui précède  au vecteur  $y_n X - x_n Y$ 

marco

Le rang de $A - \lambda I_n$ est la taille de la plus grande sous-matrice carrée inversible.
Si $\lambda$ n'est pas valeur propre de $B$, $B- \lambda I_{n-1}$ est inversible, et c'est une sous-matrice carré de $A- \lambda I_n$, donc le rang de $A- \lambda I_n$ est $\geq n-1$, donc $\dim \ker (A- \lambda I_n) \leq 1$. Contradiction.

Heuristique

Bonjour,

Autre méthode : la matrice $A-\lambda I_n$ est de rang au plus $n-2$ donc aucun de ses blocs de taille $n-1$ n'est inversible. En particulier, son bloc en haut à gauche $B-\lambda I_{n-1}$ ne l'est pas.

bestM

Merci beaucoup.

bM