Propriétés et manipulation des chaînes de Markov

Ch4rstz

Bonsoir,

Je suis un peu confus quant aux manipulations que l'on peut faire sur les chaînes de markov.

Quand on les définit, on associe souvent à la proposant suivante l'idée que le futur ne dépend que du présent et pas du passé :

$\mathbb{P}(X_{n+1} = x_{n+1} | X_n = x_n, \ldots, X_0 = x_0) = \mathbb{P}(X_{n+1} = x_{n+1} | X_n = x_n)$

J'aimerais savoir si je peux dire les choses suivantes (et comment le prouver) :

1. Pour tout $A_0,...,A_{n+1}$ tel que $\mathbb{P}(A_0,\ldots,A_{n+1}) > 0$, on a : $\mathbb{P}(X_{n+1} \in A_{n+1} | X_n \in A_n, \ldots, X_0 \in A_0) = \mathbb{P}(X_{n+1} \in A_{n+1} | X_n \in A_n)$
2. $\mathbb{P}(X_{n+m} = x_{n+m}, \ldots, X_{n+1} = x_{n+1} | X_n = x_n, \ldots, X_0 = x_0) = \mathbb{P}(X_{n+m} = x_{n+m}, \ldots, X_{n+1} = x_{n+1} | X_n = x_n)$
3. Et si 2) est vrai, dans l'esprit de 1) $\mathbb{P}(X_{n+m} \in A_{n+m}, \ldots, X_{n+1} \in A_{n+1} | X_n \in A_n, \ldots, X_0 \in A_0) = \mathbb{P}(X_{n+m} \in A_{n+m}, \ldots, X_{n+1} \in A_{n+1} | X_n \in A_n)$

Pour la 1), la difficulté ne vient pas de $A_{n+1}$, je peux supposer sans perte de généralité que c'est un singleton. Comme l'espace des états est dénombrable (notons le $I$) on peut décomposer les événements en issues. J'écris donc :

$\mathbb{P}(X_{n+1} =j | X_n \in A_n, \ldots, X_0 \in A_0)$  comme une somme indexée par $(y_0,...y_n) \in A_0 \times A_1 \times \ldots \times A_n$ et je sépare les probabilités conditionnelles sans oublier les coefficients de correction :

$\sum_{y_i \in A_i} \mathbb{P}(X_{n+1} = j | X_{n} = y_n, \ldots, X_0 = y_0) \times \frac{\mathbb{P}(X_{n} = y_n, \ldots, X_0 = y_0)}{\mathbb{P}(X_n \in A_n, \ldots, X_0 \in A_0)}$

Là je peux utiliser la propriété initiale :

$\sum_{y_i \in A_i} \mathbb{P}(X_{n+1} = j | X_{n} = y_n) \times \frac{\mathbb{P}(X_{n} = y_n, \ldots, X_0 = y_0)}{\mathbb{P}(X_n \in A_n, \ldots, X_0 \in A_0)}$. Puis je rentrer toutes les sommes sauf celle sur $y_n \in A_n$ ce qui laisse un coefficient de correction de la forme : $\frac{\mathbb{P}(X_0 \in A_0, \ldots,  X_{n-1} \in A_{n-1}, X_n = y_n)}{\mathbb{P}(X_n \in A_n, \ldots, X_0 \in A_0)}$

Mais pour conclure il faut que je montre que le "coefficient de correction" est : $\frac{\mathbb{P}(X_n = y_n)}{\mathbb{P}(X_n \in A_n)}$. Je n'arrive pas à le montrer / je ne vois pas pourquoi ce serait vrai.

Lucas

Bonjour,

Effectivement la 1) n'est pas vraie en toute généralité. Comme contre-exemple tu peux regarder la marche aléatoire symétrique sur Z, avec $A_n=\{-n,n\}$ et $A_{n+1}=n+1$.