L'injection canonique de $ E $ dans $ E'' $

L2M

Bonsoir,
Je m'intéresse à l'injection canonique \( J : E \to E'' \) dans le contexte des espaces de Banach. J'ai compris que cette injection est définie par \[ J_x(f) = \langle f, x \rangle \quad \text{pour tout } f \in E'. \]
Pourquoi $J$ est-elle injective ?
Merci d'avance pour votre aide !

raoul.S

Car si tu prends un $x\in E$ non nul quelconque, alors il existera toujours une forme linéaire continue $f\in E'$ telle que $\langle f, x \rangle \neq 0$. Donc $\ker J=\{0\}$. Pour le montrer il faut utiliser le théorème de Hahn-Banach . 

En résumé tu définis $f$ sur $Vect(x)$ en posant $f(x):=1$ par exemple, puis grâce au théorème de Hahn-Banach tu obtiens un prolongement continu de $f$ à $E$ entier.

L2M

Merci raoul.S