Un triangle et deux triangles indirectement semblables.

gipsyc

Bonjour,

Soient

• un △ABC quelconque

            sa A-hauteur AHa

• un triangle △DAB quelconque extérieur au précédent

            sa D-hauteur DP

            un point X quelconque sur cette hauteur

• le triangle △EAC indirectement semblable au précédent, extérieur au △ABC

            sa E-hauteur EQ

            son point Y image de X par cette similitude

• DY ∩ EX = K

Lemme

• K s'aligne avec la A-hauteur AHa

Cordialement,

Jean-Pol Coulon 

gipsyc

J'avais posté cet exercice comme généralisation d'un exercice de Yura Biletski :

lesmathspointclaires

Joli généralisation !

Rescassol

Bonsoir,

%  Gipsyc - 01 Novembre 
% Un triangle et deux triangles indirectement semblables

clear all, clc

syms a b c S real

% Notations de Conway
Sa=(b^2+c^2-a^2)/2; Sb=(c^2+a^2-b^2)/2; Sc=(a^2+b^2-c^2)/2;
Sab=Sa*Sb; Sbc=Sb*Sc; Sca=Sc*Sa;

S2=Sab+Sbc+Sca; % 4 fois le carré de l'aire (donc S2=4*S^2)
% (a+b+c)*(a+b-c)*(a-b+c)*(b-a+c) = 4*S2 = 16*S^2

A=[1; 0; 0]; B=[0; 1; 0]; C=[0; 0; 1]; % Sommets du triangle ABC
BC=[1, 0, 0]; CA=[0, 1, 0]; AB=[0, 0, 1]; % Côtés du triangle ABC

%-----------------------------------------------------------------------

% Similitude indirecte de centre A envoyant B sur c

Op=[Sb+2*i*S; Sa-2*i*S; -c^2]; % Ombilic Ω+
Om=[Sb-2*i*S; Sa+2*i*S; -c^2]; % Ombilic Ω-

Mat=CollineationBary(A,B,Op,Om,A,C,Om,Op);
Mat=collect(FactorT(Mat),S);
Mat=c^2*SimplifieBary(subs(Mat,S^2,S2/4))
% On trouve Mat = 
% [c^2,   0, c^2-b^2]
% [  0,   0,     b^2]
% [  0, c^2,       0]

%-----------------------------------------------------------------------

syms t u v w real

D=[u; v; w]; % Un point D quelconque
% Les triangles ABD et ACE sont indirectement semblables
E=SimplifieBary(Mat*D); % E = [b^2*w-c^2*(u+w), -b^2*w, -c^2*v]
Ha=[0; Sc; Sb]; % Pied de la A-hauteur dans le triangle ABC
P=ProjectionOrthogonaleBary(D,AB,a,b,c); % P=[c^2*u+Sb*w; c^2*v+Sa*w; 0]
Q=ProjectionOrthogonaleBary(E,CA,a,b,c); % Q=[c^2*u+Sb*w, 0, c^2*v+Sa*w]

X=SimplifieBary(Barycentre([D P],[1 t])); % Un point quelconque X de (DP)
Y=SimplifieBary(Mat*X);

DY=SimplifieBary(Wedge(D,Y)); % Droite (DY)
EX=SimplifieBary(Wedge(E,X)); % Droite (EX)
K=SimplifieBary(Wedge(DY,EX)); % Point K

Nul=Factor(det([A Ha K]))
% On trouve Nul=0 donc c'est gagné

Cordialement,
Rescassol

Rescassol

Bonjour,

De plus, la conique passant par $B,C,P,Q,K$ a son centre sur la médiane $(AM)$ du triangle $ABC$.

Cordialement,
Rescassol