Partie multiplicative

lesmathspointclaires

$f: \mathbb N \to \mathbb N$  croissante injective
tel que $f(\mathbb N)$ est stable par multiplication.

Montrer que $n \mapsto f(n+1)/f(n)$ converge quand $n$ tend vers l'infini.

JLapin

Si $f(2n) = 2^n$ et $f(2n+1)=4^n$, $f(\N)$ est stable par multiplication mais $\dfrac{f(2n+1)}{f(2n)}$ tend vers $+\infty$ tandis que $\dfrac{f(2n+2)}{f(2n+1)}$ tend vers $0$.

D'où vient ton énoncé apparemment faux ?

Ca me fait vaguement penser à une propriété des quasi-morphismes de groupes. Voir l'introduction ci-dessous

https://theses.hal.science/tel-00263607/document

lesmathspointclaires

Merci, JLapin, j'ai oublié de préciser que $f$ est croissante^^...je corrige

JLapin

Strictement croissante plutôt ?

lesmathspointclaires

JLapin a dit :

Si $f(2n) = 2^n$ et $f(2n+1)=4^n$, $f(\N)$ est stable par multiplication mais $\dfrac{f(2n+1)}{f(2n)}$ tend vers $+\infty$ tandis que $\dfrac{f(2n+2)}{f(2n+1)}$ tend vers $0$.

D'où vient ton énoncé apparemment faux ?

Ca me fait vaguement penser à une propriété des quasi-morphismes de groupes. Voir l'introduction ci-dessous

https://theses.hal.science/tel-00263607/document

C'est un copain qui m'a dit qu'il séchait sur cette question et qu'il n'avait qu'une solution très compliquée d'un collègue à lui

john_john

Bonjour à tous,
sous deux formes équivalentes, on trouve cet énoncé à l'oral des ENS et à celui de l'X en 2024.

lesmathspointclaires

@john_john intéressant... si personne ne trouve tu pourras donner un lien ?

JLapin

lesmathspointclaires a dit :

$f: \mathbb N \to \mathbb N$ croissante
tel que $f(\mathbb N)$ est stable par multiplication.

Montrer que $n \mapsto f(n+1)/f(n)$ converge quand $n$ tend vers l'infini.

C'est encore faux. $f(2n)=f(2n+1)=2^n$ fournit un contre-exemple.

J'espère que l'énoncé posé à l'X ou aux ENS n'était pas vraiment équivalent à celui-ci

lesmathspointclaires

Strictement croissante

lesmathspointclaires

@JLapin J'ai précisé en edit, merci. 

john_john

Bonjour, lesmathspointclaires,
voici l'énoncé que j'ai vu passer : on ordonne de façon strictement croissante en une suite $(s_n)$ une partie infinie de $\N^*$ laissée stable par le produit. Montrer que $s_{n+1}/s_n$ admet une limite.

Je pense qu'il faut disjoindre deux cas :
1) Tous les $s_n$ sont puissances d'un même nombre premier $p$, auquel cas la limite est une puissance de $p$.
2) Parmi les diviseurs premiers des $s_n$, il y en a au moins deux distincts, auquel cas la limite est $1$. Il suffit de le montrer lorsque la partie est de la forme $\{p^mq^n\}$, où $p$ et $q$ sont premiers et où $(m,n)$ décrit $\N\times\N$, en utilisant le fait que le sous-groupe de $\R$ formé des éléments de la forme $m\ln p+n\ln q$ est dense. En effet, si la propriété est vraie pour une suite extraite de $(s_n)$, elle l'est aussi pour $(s_n)$.

john_john

Je devrai sans doute préciser davantage, mais je suis peu disponible actuellement ; il y un festival du film italien à 30 km de chez moi

lesmathspointclaires

Bien vu, belle intuition pour la disjonction !

lesmathspointclaires

En fait on peut faire un (léger?) raccourci en ne supposant pas $f$ à valeurs entières, c'était une fausse difficulté ! J'ai fait un pdf peut-être un poil trop détaillé...

lesmathspointclaires

Certaines tournures du pdf sont un peu pédantes pour plaisanter avec mon ami, j'ai d'ailleurs enlevé quelques blagues potaches ^^

lesmathspointclaires

@john_john, c'est grosso modo la même idée, d'ailleurs avec les $ln$ tu t'affranchis de la restriction anxiogène de l'image à $\mathbb N$. Ils ont donc très probablement compliqué le problème à dessein ! 

john_john a dit :

Je devrai sans doute préciser davantage, mais je suis peu disponible actuellement ; il y un festival du film italien à 30 km de chez moi

Si près!!  : go ! ("si, prego")
J'ai fait trop de bonnes blagues ce matin, il fallait que j'en fasse une nulle

john_john

 une nulle

Non è cosi brutta !

lesmathspointclaires

Sei troppo indulgente d@n Giovani-Giovani!

raoul.S

Giovani----> Giovanni

lesmathspointclaires

raoul.S a dit :

Giovani----> Giovanni

Pourquoi tant de $n$?🤣

raoul.S

O Dio...