Un cercle et un triangle particuliers

jelobreuil

Bonne nuit de Samain à tous !

La configuration est bien connue et classique, dans laquelle deux triplets de droites concourantes donnent naissance, par six de leurs neuf points d'intersection, à un troisième (réduit aux segments verts sur la figure suivante) :  

Or, si l'on considère un triangle ABC, ses trois médiatrices et ses trois médianes, on obtient bien une telle configuration :

Ce point N est sans doute répertorié dans ETC.

On trace maintenant le cercle passant par les trois points G, N et O, et on considère (sur la partie de figure agrandie)  les deuxièmes points d'intersection de ce cercle avec les médiatrices et les médianes de ABC, ainsi que les deux triangles qu'ils forment :   

  

On constate que l'un de ces deux triangles, celui relatif aux médiatrices de ABC, est semblable à ce dernier, et que l'autre n'en est pas très loin ...

Mais quand le triangle de base est obtusangle, la situation est un peu plus claire, en ce sens que ce deuxième petit triangle est nettement plus loin d'être semblable à ABC ...

Le problème est donc de démontrer cette similitude indirecte, et si possible, d'en identifier le centre.

Autre question, le cercle et son centre figurent-ils dans ETC ?

Bien amicalement, Jean-Louis B.

Bouzar

Bonsoir jelobreuil,

J'utilise les coordonnées barycentriques.

Le triangle de référence ABC :  $\quad A,B,C\simeq\left[\begin{array}{c} 1\\ 0\\ 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{c} 0\\ 1\\ 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{c} 0\\ 0\\ 1 \end{array}\right].$

(O) le cercle circonscrit à ABC : $\quad c^2 x y + b^2 x z + a^2 y z=0.$

Le centre du cercle circonscrit $O$ : $\quad O \simeq\left[\begin{array}{c} a^2 (-a^2 + b^2 + c^2)\\ b^2 (a^2 - b^2 + c^2)\\ c^2 (a^2 + b^2 - c^2)\end{array}\right].$

Le centre de gravité $G$ : $\quad G\simeq\left[\begin{array}{c} 1\\ 1\\ 1\end{array}\right].$

Les points $A_1,A_2,B_1,B_2,C_1,C_1$  :  $\quad A_1,A_2,B_1,B_2,C_1,C_2\simeq\left[\begin{array}{c} -a^2 + b^2+ c^2\\ c^2\\ c^2\end{array}\right],\left[\begin{array}{c} a^2 - b^2 - c^2\\ -b^2\\ -b^2\end{array}\right],\left[\begin{array}{c} -c^2\\ -a^2 + b^2 - c^2\\ -c^2 \end{array}\right],\left[\begin{array}{c} a^2\\  a^2 - b^2 + c^2\\ a^2\end{array}\right],\left[\begin{array}{c} -a^2\\  -a^2\\  -a^2 - b^2 + c^2\end{array}\right],\left[\begin{array}{c} b^2\\ b^2\\ a^2 + b^2 - c^2 \end{array}\right].$

Le point $N\simeq\left[\begin{array}{c} b^2 + c^2\\ a^2 + c^2\\a^2 + b^2\end{array}\right]$ est dans ETC le point $X(141)$ complément du point de Lemoine $X(6).$

On trace maintenant le cercle passant par les trois points $G, N$ et $O$.

Une équation barycentrique du cercle $\odot(GNO)$ est :

$c^2 x y + b^2 x z +
 a^2 y z + (x + y +
    z) (\dfrac{-(-a^8 + 4 a^6 b^2 - 4 a^2 b^6 + b^8 + 4 a^6 c^2 -
        5 a^4 b^2 c^2 - a^2 b^4 c^2 + 2 b^6 c^2 - a^2 b^2 c^4 +
        2 b^4 c^4 - 4 a^2 c^6 + 2 b^2 c^6 + c^8) x}{
     12 (a^2 - b^2) (a^2 - c^2) (a^2 + b^2 + c^2)} - \dfrac{(-a^8 +
       4 a^6 b^2 - 4 a^2 b^6 + b^8 - 2 a^6 c^2 + a^4 b^2 c^2 +
       5 a^2 b^4 c^2 - 4 b^6 c^2 - 2 a^4 c^4 + a^2 b^2 c^4 -
       2 a^2 c^6 + 4 b^2 c^6 - c^8) y}{
    12 (a^2 - b^2) (b^2 - c^2) (a^2 + b^2 + c^2)} + \dfrac{(a^8 +
       2 a^6 b^2 + 2 a^4 b^4 + 2 a^2 b^6 + b^8 - 4 a^6 c^2 -
       a^4 b^2 c^2 - a^2 b^4 c^2 - 4 b^6 c^2 - 5 a^2 b^2 c^4 +
       4 a^2 c^6 + 4 b^2 c^6 - c^8) z}{
    12 (a^2 - c^2) (-b^2 + c^2) (a^2 + b^2 + c^2)})=0.$

Le carré de son rayon est :

$R^2= \small \dfrac{U.V.W}{144 (a - b)^2 (a + b)^2 (a - c)^2 (a - b -
     c) (b - c)^2 (a + b - c) (a + c)^2 (a - b + c) (b + c)^2 (a + b +
      c) (a^2 + b^2 + c^2)^2}$

avec :

$U =a^6 - 3 a^4 b^2 - 3 a^2 b^4 + b^6 - 3 a^4 c^2 + 15 a^2 b^2 c^2 - 3 b^4 c^2 - 3 a^2 c^4 - 3 b^2 c^4 + c^6 $

$V = a^6 - a^4 b^2 - a^2 b^4 + b^6 - a^4 c^2 + 3 a^2 b^2 c^2 - b^4 c^2 - a^2 c^4 - b^2 c^4 + c^6$

$W =a^{10} - a^8 b^2 - a^2 b^8 + b^{10} - a^8 c^2 +
     a^6 b^2 c^2 + a^2 b^6 c^2 - b^8 c^2 + a^2 b^2 c^6 - a^2 c^8 - b^2 c^8 + c^{10}.$

Le centre de ce cercle est $\Omega\simeq\left[\begin{array}{c} p\\ q\\ r\end{array}\right]$ avec :

$p=(b - c) (b + c) (-7 a^10 + 7 a^8 (b^2 + c^2) +
    a^6 (8 b^4 + 17 b^2 c^2 + 8 c^4) + (b^2 - c^2)^2 (b^6 -
       3 b^4 c^2 - 3 b^2 c^4 + c^6) -
    8 a^4 (b^6 + 4 b^4 c^2 + 4 b^2 c^4 + c^6) -
    a^2 (b^8 - 13 b^6 c^2 - 16 b^4 c^4 - 13 b^2 c^6 + c^8)) $

$q=-(a -
     c) (a + c) (a^10 - a^8 (b^2 + 5 c^2) +
    a^6 (-8 b^4 + 13 b^2 c^2 + 4 c^4) - (b^2 - c^2)^2 (7 b^6 +
       7 b^4 c^2 - b^2 c^4 - c^6) +
    4 a^4 (2 b^6 - 8 b^4 c^2 + 4 b^2 c^4 + c^6) +
    a^2 (7 b^8 + 17 b^6 c^2 - 32 b^4 c^4 + 13 b^2 c^6 - 5 c^8)) $

$r= (a -
    b) (a + b) (a^10 - a^8 (5 b^2 + c^2) +
    a^6 (4 b^4 + 13 b^2 c^2 - 8 c^4) + (b^2 - c^2)^2 (b^6 + b^4 c^2 -
       7 b^2 c^4 - 7 c^6) +
    4 a^4 (b^6 + 4 b^4 c^2 - 8 b^2 c^4 + 2 c^6) +
    a^2 (-5 b^8 + 13 b^6 c^2 - 32 b^4 c^4 + 17 b^2 c^6 + 7 c^8)).$

A suivre

Amicalement

jelobreuil

Merci beaucoup, Bouzar !

Concernant ce point X(141), existe-t-il un moyen de relier sa définition, complément du point de Lemoine,  à cette construction ? J'entends, une relation de type purement géométrique, qui ne reposerait pas sur l'identification par coordonnées ?

Bien amicalement, Jean-Louis B.

jelobreuil

Bonjour à tous,

En fait, on retrouve ces phénomènes pour tout triplet (associé aux médiatrices) de céviennes concourantes, y compris les bissectrices, mais à l'exception des hauteurs, car dans ce cas, le point de concours L des segments verts est le milieu de OH (point central  commun de trois parallélogrammes), autrement dit le centre N du cercle d'Euler, et le cercle ONH devient la droite d'Euler ...