Matrice de passage

Justosee

Bonsoir,

Un petit exercice tout simple pour comprendre les matrices de passage.

Soit E un ev de dim 4. On se donne 2 bases B=(e1,e2,e3,e4) la base canonique et B'=(f1,f2,f3,f4) ou f1=(1,0,1,0) f2=(0,1,0,0) f3=(0,0,1,0) f4=(1,0,-1,1)
B' est une base de E (c'est montré auparavant). On me demande de définir M(B,B')(id), après avoir exprimé e1,e2,e3,e4 dans B' je trouve la matrice suivante.

M(B,B')(id)=(1,0,-1,0)(0,1,0,0)(0,0,1,0)(-1,0,2,1)

Merci d'imaginer les vecteurs donnés en ligne en colonnes)

Vous confirmez? Merci

JLapin

Tu peux vérifier toi-même ton résultat avec ta calculatrice ou wolframalpha (en inversant la matrice de la base $B'$ dans la base $B$).

https://www.wolframalpha.com/input?i=inverse+matrix

Sinon, ton espace $E$, c'est $\mathbb{K}^4$ en fait.

Justosee

Oui pour K4...Bon avec wolframalpha mon résultat semble faux. Mais c'est la première fois que je l'utilise. Pourtant je suis assez sûr de mon raisonnement. Je vois pas ce qui fonctionne pas(

Justosee

Je suis plus étudiant malheureusement juste pour le plaisir de faire travailler mes neuronnes

JLapin

Justosee a dit :

Oui pour K4...Bon avec wolframalpha mon résultat semble faux.

Moi il me semble juste :  quelle colonne te pose problème ?

stfj

Bonjour

Avec sagemath,

_____________

P=matrix([[1,0,0,1],[0,1,0,0],[1,0,1,-1],[0,0,0,1]])
print(P^-1)

_____________________

fournit

_____________

[ 1  0  0 -1]
[ 0  1  0  0]
[-1  0  1  2]
[ 0  0  0  1]

Cordialement

Justosee

Ah ben non, du coup c'est bon. ) Je sais pas pourquoi j'ai bloqué sur le -1 en exposant du wolframalpha. C'est pas mal du tout cette application. 
Merci à vous 2

Justosee

Et donc finalement la "morale de l'histoire " c'est que la matrice de passage d'une base à une autre est celle qui laisse la matrice de l'application identité invariante? Ou quelque chose comme ça ?

GaBuZoMeuBis

Bonsoir,

La matrice de passage de la base $\mathcal B$ à la base $\mathcal C$ est la matrice qui a pour colonnes les vecteurs de $\mathcal C$ exprimés dans $\mathcal B$, autrement dit c'est la matrice de l'identité dans les bases $\mathcal C$ au départ et $\mathcal B$ à l'arrivée.

Justosee

@GaBuZoMeuBis. Merci pour votre explication : en reprenant vos notations, si la base B est égale à la base C , on retrouve la matrice identité bien connue (avec des 1 sur la diagonale) ; par contre dans le cas contraire (base de départ # base d'arrivée), la matrice identité n'est plus vraiment aussi simple. C'est ça ?

JLapin

Ce n'est pas "la matrice identité", c'est la matrice de l'identité dans un couple de bases.

stfj

@Justosee, bonjour. Si votre but est de comprendre ce qu'est la matrice de passage d'une base à une autre via l'exercice dans le post original, vous vous y prenez mal. Ce type d'exercice, où l'on travaille dans un espace de dimension $4$, s'adresse à qui a déjà compris. Pour comprendre ce qu'est une matrice de passage, il faut prendre des exemples plus simples, plus visuels. Je vous propose de nous placer dans le familier plan $E:=\mathbb R^2$ ou, dit plus simplement dès la classe de Cinquième, le plan des coordonnées $(x,y)$.

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Considérons deux bases arbitraires de ce plan $$(i=(1,0) \, \&\, j=(0,1))$$ $$(u=(3,2)\,\&\,v=(2,5)$$

On a évidemment $u=3i+2j\,\&\, v=2i+5j$. Considérons alors $$1_E:E\to E$$ $$x\mapsto x$$

$1_E(u)=u\,\&\,1_E(v)=v$

Choses banales. Mais si l'on considère la matrice $P$ de $1_E$ relativement aux bases $(u,v)$ et $(i,j)$ dans cet ordre, on obtient $$P=\begin{pmatrix}3 & 2 \\ 2& 5\end{pmatrix}$$autrement dit ce que l'on appelle la matrice de passage de la base $(i,j)$ à la base $(u,v)$

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Pour bien comprendre ce qu'est cette matrice, il faut prendre un élément quelconque $X=(x,y)$ de $\mathbb R^2$ et se demander alors quelles sont ses coordonnées dans $(u,v)$. Soit $X'=(x',y')$ ces coordonnées. Et soit $M$ le point associé. On a $xi+yj=M=x'u+y'v=x'(3i+2j)+y'(2i+5j)=x'1_E(u)+y'=1_E(v)=1_E(x'u+y'v)$. Donc $$X=PX'$$ $$X'=P^{-1}X$$

________________

Prenons un exemple

$$M=4i+4j$$

$$det(P)=11$$

$$P^{-1}=\frac{1}{11}\begin{pmatrix}5 & -2 \\ -2& 3\end{pmatrix}$$D'où $$X'=P^{-1}\cdot \begin{pmatrix}4 \\4\end{pmatrix}$$D'où $$x'=\frac{12}{11}\,\&\,y'=\frac{4}{11}.\square$$

________________________

J'ai vérifié tous mes calculs avec geogebra. Vous pouvez les reprendre sans crainte d'erreur : https://www.geogebra.org/classic/z69hyqjc

JLapin

stfj a dit :

@Justosee, bonjour. Si votre but est de comprendre ce qu'est la matrice de passage d'une base à une autre via l'exercice dans le post original, vous vous y prenez mal. Ce type d'exercice, où l'on travaille dans un espace de dimension $4$, s'adresse à qui a déjà compris.

Vu que son résultat est correct, j'imagine qu'il a déjà compris des choses. En tout cas, une chose est certaine :   il sait écrire correctement la matrice de l'identité dans un couple de bases.

stfj

@JLapin , bonjour. Tu as raison. Je ne comprends rien tant que je ne visualise pas et que mes calculs traduisent ce que je vois avec mes yeux sur un écran d'ordinateur ou une feuille de papier. Mais il est vrai que c'est très personnel. Et qu'il y a de nombreuses façons de comprendre, propres à chacun; et que la mienne est sans doute limitée. Cordialement.

Justosee

Bonjour à vous 2)
Un grand merci pour vos explications en tout cas. @stfj. Je prendrais connaissance de votre développement ce soir. Là, tout de suite pas possible)

Je pratique les mathématiques pour le plaisir de la réflexion à mon petit niveau. J'évolue dans le domaine de la restauration (reconversion) car il faut bien bosser un peu...J'ai fait pas mal de math plus jeune, et envie de m'y remettre un peu mais pas beaucoup de temps libre.

C'est histoire de faire travailler ses méninges) La restauration demande de l'intelligence, mais ce n'est pas la même...

Bonne journée 

Justosee

@stfj Dans votre explication, avec le point M associé.Dans l'égalité, il faut lire M=x'1e(u)+y'1e(v)? Sinon je comprends pas 
L'application introduite 1e c'est bien L'application identité pour faire le lien avec la matrice de l'application identité, et non pas la fonction indicatrice? Ca ressemble un peu pour la notation 

Merci

stfj

De façon générale, soit $E$ un ensemble. L'application $$E\to E$$ $$x\mapsto x$$s'appelle l'application Identité de $E$ et peut être notée par exemple comme je l'ai fait plus haut $$1_E$$