Application du théorème de classification des groupes abéliens finis

LeSwaggyFlambeur

Bonjour, je cherche à comprendre comment utiliser le théorème de Kronecker sur les groupes abéliens finis, et donc à trouver la suite des facteurs invariants $(d_1,...,d_r)$ d'un groupe abélien fini (ou $d_1 \mid d_2 \mid ... \mid d_r$). Je me suis lancé dans $G=(\mathbb{Z}/5600\mathbb{Z})^{\times}$. On a que $5600=2^5\times5^2\times7$ et $\mathrm{ord}(G)=\Phi(5600)=2^7\times3\times5$
$G$ n'est pas cyclique donc $r>1$, et à l'aide du théorème des restes chinois, on trouve que l'exposant de $G$ est 120 et que c'est nécessairement la valeur de $d_r$. J'en déduis qu'il y a 4 suites de facteurs invariants possibles : (2,2,2,2,120), (2,2,4,120), (4,4,120) et (2,8,120).  Je bloque pour conclure, j'ai essayé de trouver la valeur de $r$ (qui ici ne suffit même pas nécessairement), et même pour ça je ne trouve pas de méthode pas trop fastidieuse.

Je vous remercie d'avance.

LOU16

Bonjour .

Il faut disposer de quelques informations sur la structure de $(\Z/n\Z)^{\times}$ et  de $(\Z/p^r\Z)^{\times}.$

$56000=2^5\times 5^2 \times 7.$

$G\simeq(\Z/2^5\Z)^{\times}\times(\Z/5^2\Z)^{\times}\times(\Z/7\Z)^{\times}\simeq\left [ (\Z/2\Z)\times( \Z/8\Z)\right]\times(\Z/20\Z)\times (\Z/6\Z).$

$G\simeq (\Z/2\Z)^2\times(\Z/4\Z)\times(\Z/8\Z)\times(\Z/3\Z)\times(\Z/5\Z).$

$$\boxed {G\simeq (\Z/2\Z)^2\times (\Z/4\Z)\times(\Z/120\Z).\quad  d=(2,2,4,120).}$$

LeSwaggyFlambeur

Merci beaucoup