Somme infinie de rationnels

Sneg

$\bullet$ @Fin de partie, une chance sur deux = $0,5$, ce n'est pas un réel compris entre $0$ et $1$ ? 
Mais j'ai ici d'autres chats à fouetter.

$\bullet$ On peut dire que @gerard0 a (lui aussi) le don de faire dévier les conversations de leur objectif.
Son exemple, dans lequel il compare d'une part l'ensemble des entiers naturels et d'autre part l'ensemble des puissances entières et positives de $10$ - c'est-à-dire deux ensembles infinis dénombrables pris dans toute leur étendue, et pas contenus dans un intervalle fixé - est inapproprié, en regard du problème qui nous occupe.
Je m'explique : 

Le point de départ de ce fil, c'est la somme infinie $\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+\frac{1}{5^2}\ldots$ , dont @Piteux_gore a demandé si l'on aurait pu prévoir qu'elle serait irrationnelle (plutôt que rationnelle).

Je réponds ceci : 

$\fbox{A}$ Soit il s'agit d'une série divergente : On ne peut pas donner à cette somme infinie une valeur réelle.

Dans ce cas, la question ne se pose pas de savoir si le résultat obtenu est rationnel ou irrationnel.

$\fbox{B}$ Soit il s'agit d'une série convergente : On peut donner à cette somme infinie une valeur $V$ réelle (et calculable).

Dans ce dernier cas, cette valeur $V$ peut appartenir à un intervalle $I$ de réels, borné par deux rationnels distincts.

Et, quelle que soit la largeur ou au contraire l'étroitesse de cet intervalle $I$, celui-ci contiendra : 

- une infinité dénombrable de rationnels puisque, entre deux rationnels distincts, il vient toujours s'en intercaler un troisième.
(Je rappelle que tous les rationnels sont calculables.)

- une infinité dénombrable d'irrationnels calculables. En voici une démonstration, certes artisanale :
Dans tout intervalle de réels, borné par deux rationnels distincts, il y a :
$\frac{\sqrt{2}}{1}$ $+$ ou $-$ un rationnel judicieusement choisi.
$\frac{\sqrt{2}}{2}$ $+$ ou $-$ un rationnel judicieusement choisi.

$\frac{\sqrt{2}}{3}$ $+$ ou $-$ un rationnel judicieusement choisi.
Etc.

Je rappelle que gerard0 comparait deux ensembles infinis dénombrables pris dans toute leur étendue, et pas contenus dans un intervalle fixé.
En revanche, je compare deux ensembles infinis dénombrables :
- contenus tous les deux dans un même intervalle de réels aussi étroit que l'on veut,
- et dont l'un des deux contient la valeur $V$ recherchée.
Lequel des deux la contient ?

Cette toute dernière petite question (Lequel des deux la contient ?) explique pourquoi j'ai montré mon désaccord avec JLapin qui a écrit à propos de la valeur $V$ (réelle et calculable) recherchée :

" ... , on pouvait raisonnablement parier que ce résultat soit irrationnel", 

en se justifiant par la remarque très cantorienne : 

"Comme il y a plus d'irrationnels que de rationnels, ... "

Depuis, @JLapin a fait savoir que son commentaire ne dépassait pas le statut d'une boutade.
De mon côté, c'est le plus sérieusement du monde que je pose la question suivante :
? Il y a plus d'irrationnels calculables que de rationnels dans un intervalle de réels borné par deux rationnels ?

Qu'on veuille bien me pardonner d'introduire la théorie des nombres réels calculables dans une discussion qui parle précisément ... d'un nombre réel calculable.

gerard0

Sneg,

 ta lecture est sélective, ton argumentation seulement en fonction de tes idées,  et tes idées sont très courtes ...

Je ne dévie pas les sujets, mais je ne rentre pas dans tes idées trop courtes, ce qui fait que, ne lisant pas sérieusement, tu ne vois même pas le rapport ... tant pis pour toi.

Allez, je fais un dernier effort : "Il y a plus d'irrationnels calculables que de rationnels dans un intervalle de réels borné par deux rationnels ?" cette question n'est pas assez précise pour avoir une réponse. que veut dire "plus" pour des ensembles infinis ?

Sneg

@gerard0,
Je vais répondre à ta question par une question (c’est ta spécialité, tu m’as contaminée) : 
Peux-tu répondre à la question posée au début de ce fil par @Piteux_gore ?

gerard0

Au sens propre, bien sûr que non, c'est trop imprécis. Réinterprété par JLapin, je suis d'accord avec lui.

À toi maintenant : que veut dire "plus" pour des ensembles infinis ?

Fin de partie

@Sneg; "une infinité dénombrable de chance" n'existe pas. Comment fais-tu pour faire le quotient de deux choses qui n'existent pas, peux-tu m'expliquer?

Sneg

@gerard0,

Dire d'un ensemble infini qu'il possède $\textit{plus}$ d'éléments qu'un autre ensemble infini, c'est une façon non académique de dire que ces deux ensembles ne peuvent pas être mis en bijection l'un avec l'autre.

Or, - et c'est ça qui est remarquable dans le problème qui nous occupe - un intervalle $I$ de réels borné par deux rationnels distincts peut être aussi large ou étroit que l'on veut, il contiendra simultanément : 
- une infinité dénombrable de rationnels,
- une infinité dénombrable d'irrationnels calculables.
Ces deux ensembles, puisque (infinis) dénombrables tous les deux, peuvent être mis en bijection l'un avec l'autre (dans le langage non académique déjà cité, ça se dira : "ces deux ensembles infinis possèdent $\textit{autant}$ d'éléments l'un que l'autre).

Aussi, si je ne sais rien d'autre sur un réel calculable que le fait qu'il appartienne à un quelconque intervalle $I$ de réels, alors ce réel aura pour moi $\textit{autant}$ de chances d'appartenir à l'un de ces deux ensembles qu'à l'autre.

Cela dit, tout peut changer si j'en sais davantage sur ce nombre réel.
Un exemple trivial : Si je viens à savoir que l'algorithme permettant de calculer ce réel consiste à diviser un entier par un entier non nul, je saurai instantanément que ce réel appartient à l'ensemble infini dénombrable des rationnels.

Georges Abitbol

Oui, voilà, ce réel aura « pour toi » une chance sur deux d’être rationnel, très bien (et pour nous, non)  

Sneg

@Georges Abitbol a dit : « et pour nous, non ».
Très bien, mais ce qui est affirmé sans preuve peut être nié sans preuve.

raoul.S

Sneg a dit : 

Ces deux ensembles, puisque (infinis) dénombrables tous les deux, peuvent être mis en bijection l'un avec l'autre (dans le langage non académique déjà cité, ça se dira : "ces deux ensembles infinis possèdent autant d'éléments l'un que l'autre).
Aussi, si je ne sais rien d'autre sur un réel calculable que le fait qu'il appartienne à un quelconque intervalle $I$ de réels, alors ce réel aura pour moi $\textit{autant}$ de chances d'appartenir à l'un de ces deux ensembles qu'à l'autre.

Ce n'est pas aussi simple. Prenons l'exemple de l'ensemble des entiers relatifs $\Z$. Cet ensemble peut être divisé en trois parties :

1) $P_0$ l'ensemble des entiers divisibles par 3.
2) $P_1$ l'ensemble des entiers dont la division par 3 a un reste de 1.
3) $P_2$ l'ensemble des entiers dont la division par 3 a un reste de 2.

Pour reprendre tes mots, quelle est la "chance" qu'un entier appartienne à $P_0$ ? Si tu réponds autant que pour $P_1$ et $P_2$ alors en fait tu dis qu'il y a une chance sur trois (donc 1/3) qu'un entier appartienne à $P_0$. Sauf que $P_0$ a "autant" d'éléments que $P_1$ et $P_2$ réunis, donc on pourrait aussi dire qu'il n'y a qu'une chance sur deux d'appartenir à $P_0$ et une sur deux d'appartenir à  $P_1\cup P_2$... Bref, on voit qu'il y a un problème.

gerard0

"Dire d'un ensemble infini qu'il possède plus d'éléments qu'un autre ensemble infini, c'est une façon non académique de dire que ces deux ensembles ne peuvent pas être mis en bijection l'un avec l'autre."

Encore une définition incorrecte, mais surtout, la démonstration que dès le départ, Sneg n'a pas compris la discussion dans laquelle elle s'est immiscée.

"Très bien, mais ce qui est affirmé sans preuve peut être nié sans preuve." = "c'est mon opinion, et je n'en démordrai pas"

Fin de partie

@Sneg: On peut très bien mathématiquement donné un sens à "un ensemble possède plus d'éléments qu'un autre" qui soit compatible avec notre intuition sur les ensembles finis mais ce n'est pas la définition que tu donnes.

Ce que tu dis pourrait servir seulement de définition au fait que deux ensembles n'ont pas le même cardinal.

Sneg

@raoul.S, 

Ta remarque intéressante n'est à mes yeux qu'un exemple supplémentaire des résultats contre-intuitifs que l'on rencontre avec les ensembles infinis. Je m'explique : 

$\bullet$ Dans un intervalle d'entiers relatifs $[[a, b]]$ (dont on aura judicieusement choisi $a$ et $b$), tout nombre pris au hasard aura une chance sur trois d'être, par exemple, congru à $0$ modulo $3$.
On s'en convaincra en considérant que la quantité d'entiers relatifs congrus à $0$ modulo $3$ ne représente qu'un tiers des éléments de l'intervalle considéré.

$\bullet$ En revanche, dans $\mathbb{Z}$ , tout nombre pris au hasard aura autant de chances d'être, par exemple, congru à $0$ modulo $3$ que de ne pas être congru à $0$ modulo $3$.
On s'en convaincra - malgré le caractère contre-intuitif de ce résultat - en considérant que l'ensemble des entiers congrus à $0$ modulo $3$ peut être mis en bijection avec l'ensemble des entiers qui ne sont pas congrus à $0$ modulo $3$.

Si je n'ai pas le droit de dire ce que je viens de dire, que faut-il que je dise à la place ?

Fin de partie

Sneg a dit :

$\bullet$ Dans un intervalle d'entiers relatifs $[[a, b]]$ (dont on aura judicieusement choisi $a$ et $b$), tout nombre pris au hasard aura une chance sur trois d'être, par exemple, congru à $0$ modulo $3$.
On s'en convaincra en considérant que la quantité d'entiers relatifs congrus à $0$ modulo $3$ ne représente qu'un tiers des éléments de l'intervalle considéré.

C'est quoi ce choix "judicieux"?

On sait donner un sens à "la proportion d'entiers appartenant à un sous-ensemble infini d'entiers appartenant à un ensemble (forcément infini)" .

Fin de partie

@Sneg: quand on veut faire ce genre de considération, il faut une notion de densité, la notion de cardinal est insuffisante.

Car autrement on arrive à des stupidités.

Le cardinal du nombre de nombres premiers est le même que celui de nombres entiers donc si on tire au hasard, avec ce constat, on devrait avoir autant de chances de tirer au hasard un nombre premier qu'un nombre qui ne l'est pas mais on sait quand on a les bons outils que ce n'est pas le cas.

raoul.S

Sneg a dit :

$\bullet$ En revanche, dans $\mathbb{Z}$ , tout nombre pris au hasard aura autant de chances d'être, par exemple, congru à $0$ modulo $3$ que de ne pas être congru à $0$ modulo $3$.
On s'en convaincra - malgré le caractère contre-intuitif de ce résultat - en considérant que l'ensemble des entiers congrus à $0$ modulo $3$ peut être mis en bijection avec l'ensemble des entiers qui ne sont pas congrus à $0$ modulo $3$.

Ça ne marche toujours pas. En effet, avec ton raisonnement on devrait avoir une chance sur deux d'être congru à $0$ modulo $3$. Mais alors en reprenant tes mots on devrait également dire : que tout nombre dans $\mathbb{Z}$ pris au hasard aura autant de chances d'être, par exemple, congru à $1$ modulo $3$ que de ne pas être congru à $1$ modulo $3$. On s'en convaincra - malgré le caractère contre-intuitif de ce résultat - en considérant que l'ensemble des entiers congrus à $1$ modulo $3$ peut être mis en bijection avec l'ensemble des entiers qui ne sont pas congrus à $1$ modulo $3$.

Et tu vois donc qu'on devrait aussi avoir une chance sur deux d'être congru à $1$ modulo $3$, puis toujours avec le même raisonnement, une chance sur deux d'être congru à $2$ modulo $3$. On se retrouve avec une somme de "chances" strictement supérieures à $1$, $1/2+1/2+1/2>1$ ce qui est absurde.

Sneg a dit :

Si je n'ai pas le droit de dire ce que je viens de dire, que faut-il que je dise à la place ?

Tu peux dire qu'il n'existe pas de mesure de probabilité sur $\mathbb{Z}$ qui affecte la même probabilité (donc $1/2$) à deux sous-ensembles stricts dénombrables quelconques. En fait les exemples ci-dessus sont quasiment des démonstrations de cette impossibilité.

PS : pour la définition mathématique de mesure de probabilité c'est ICI... comme ça tu pourras dire que tu as eu l'idée d'introduire une nouvelle notion

Sneg

Afin de garder le cap, je résume ici ce fil qui compte déjà 66 messages.

$\fbox{1}$
Piteux-gore a lancé la discussion en posant la question suivante : 
Pouvait-on subodorer que la somme infinie des inverses des carrés des entiers naturels ne serait pas rationnelle ?

$\fbox{2}$
JLapin a immédiatement répondu : 
Comme il y a "plus d'irrationnels que de rationnels", on pouvait raisonnablement parier que le résultat soit irrationnel.
Personne d'autre que moi ne conteste.

$\fbox{3}$
Quant à moi, qui commets l'impudence d'introduire la théorie des nombres réels calculables dans une discussion ... qui parle précisément d'un nombre réel calculable, j'aimerais simplement que l'on me prouve qu'il y a "plus d'irrationnels $\underline{\text{calculables}}$ que de rationnels" dans un intervalle quelconque de réels. 

raoul.S

Sneg a dit :

j'aimerais simplement que l'on me prouve qu'il y a "plus d'irrationnels $\underline{\text{calculables}}$ que de rationnels" dans un intervalle quelconque de réels. 

Il y en a "autant". Les deux ensembles (irrationnels calculables de ton intervalle et rationnels de ton intervalle) sont en bijection.

En ce qui concerne JLapin, il a déjà dit que c'était une boutade, par conséquent avant de sortir sa boutade il ne s'est pas dit que la somme infinie des inverses des carrés des entiers naturels est calculable et que par conséquent il n'aurait pas pu faire sa boutade...

Sneg

@raoul.s, 
Je doute fort que @gerard0 soit d'accord avec ton dernier message.

raoul.S

Ce n'est qu'avec les tiens qu'il n'est pas d'accord normalement

gerard0

En effet, je ne suis pas tout à fait d'accord avec Raoul.S, car je pensais à l'intervalle $[\sqrt 2,\sqrt 2]$ ou à $[0,0]$ qui contredisent la phrase "Les deux ensembles (irrationnels calculables de ton intervalle et rationnels de ton intervalle) sont en bijection". Par contre, je suis tout à fait d'accord avec le sens implicite du message, en particulier avec les guillemets de "autant", que Sneg oublie, comme elle a, au départ, oublié ceux de J Lapin.

raoul.S

Oui bon ok, on parle d'intervalle de longueur non nulle...

Sneg

@Fin de partie, @raoul.S, @gerard0,
Vous semblez savoir quelque chose que je ne sais toujours pas.
Si vous le voulez bien, Tentons de tirer ça au clair.

$\bullet$ Dans $\mathbb{N}$,
- Fin de partie choisit l'intervalle $[[20, 200]]$,
- JLapin y choisit le nombre $100$.
- Quant à gerard0, il fait remarquer qu'on peut s'étonner du fait que le nombre choisi par JLapin soit une puissance entière et positive de $10$, car c'est la seule qui appartienne à l'intervalle choisi par Fin de partie. 

$\bullet$ Toujours dans $\mathbb{N}$,
- Fin de partie choisit l'intervalle $[[2, 7]]$,
- JLapin y choisit le nombre $5$.
- Quant à gerard0, il fait remarquer qu'il n'y a pas lieu de s'étonner outre mesure du fait que le nombre choisi par JLapin soit un nombre premier, vu que dans cet intervalle il y a quatre nombres premiers, contre deux nombres composés seulement. 

$\bullet$ Maintenant, dans $\mathbb{R}$,
- Fin de partie choisit l'intervalle $[[1,64\phantom{.} ; 1,65]]$,
- JLapin y choisit un nombre réel calculable, qu'il garde pour lui.
- Qu'est-ce que gerard0 pourra faire remarquer ?
$\phantom{...}1)$ Qu'il serait étonnant que ce soit un rationnel,
$\phantom{...}2)$ Qu'il serait étonnant que ce soit un irrationnel calculable,
$\phantom{...}3)$ Qu'il est plus sage de s'abstenir de tout pronostic.

Merci d'avance pour vos réponses.

raoul.S

Ne connaissant pas assez bien JLapin je dirais la 3) Qu'il est plus sage de s'abstenir de tout pronostic. 

Math Coss

Ce que font les gens quand ils s'intéressent aux solutions (notamment rationnelles) d'une équation diophantienne, notamment pour quantifier les choses quand il y a une infinité de solutions, c'est compter les solutions de hauteur donnée. La hauteur est une mesure de la complexité d'une solution : pour un rationnel $a/b$ écrit sous forme irréductible c'est $\max(|a|,|b|)$, cf. https://fr.wikipedia.org/wiki/Hauteur_(géométrie_algébrique).
Dans le cadre des réels calculables, on peut essayer de filtrer en fonction de la longueur et de la longueur d'exécution du programme qui permet le calcul. À ce titre tous les réels ne sont pas aussi facilement calculables les uns que les autres : les rationnels sont plus faciles à calculer que les irrationnels parce qu'un nombre fini de passages dans une boucle les détermine complètement. À ce titre, une série (infinie) arbitraire a plus de chances d'avoir une somme irrationnelle si on imagine qu'elle (la série) décrit le plus petit programme qui calcule la somme (de la série).

gerard0

4) que quand on n'y connaît rien, on évite de parler.

C'est toi Sneg, qui as ramené ici la notion de "calculable" (*) pour frimer, sans jamais justifier ton affirmation : "En effet, ici on cherche clairement un nombre réel calculable, qu'il soit rationnel ou irrationnel."

Comme il n'y a pas de mesure de probabilité en cause, tu as pris des bâtons pour te faire battre.

Et tu continues ....

(*) que tu ne maîtrises pas

Fin de partie

@Sneg:  Comme déjà indiqué, la notion de cardinal n'est pas suffisante dès qu'on veut parler de probabilité.

Je reprends l'exemple donné plus haut. Il  y a autant de nombres premiers que d'entiers naturels (ces deux ensembles ont le même cardinal qui est infini) et le complémentaire dans $\mathbb{N}$ de l'ensemble des nombres premiers est aussi un ensemble de même cardinal que l'ensemble des nombres premiers (et que $\mathbb{N}$)

Donc l'intuition héritée de ce qui se passe sur les ensembles finis pourrait nous conduire à penser qu'on a une chance sur deux de piocher un nombre premier si on choisit un nombre au hasard dans $\mathbb{N}$.

Mais il n'en est rien, cette probabilité n'est pas un demi.

Sneg

Pardon de ne pas réagir aux dernières remarques qui ont été faites, mais une mise au point immédiate s'impose.

Comment qualifieriez-vous un nombre réel dont vous sauriez que pour le "calculer", c'est-à-dire énumérer la suite éventuellement infinie de ses chiffres, il existe un algorithme consistant à faire la somme infinie des inverses des carrés des entiers naturels non nuls (étant entendu que cette suite infinie est convergente) ?

Le qualifieriez-vous de "calculable" ou de "non calculable" ?

gerard0

Autre mise au point : 

L'ensemble des nombres calculés ou évoqués individuellement, ou qui le seront est fini. Calculables ou non.

NB 1 :  Le mot "calculable" a un sens technique précis. 

NB 2 : Un algorithme qui demande une infinité d'étapes ("faire la somme infinie") ne calcule rien. Puisqu'il ne finit pas.

Sneg

A la lecture de gerard0, on en viendrait à penser que le nombre (ou la constante) de Champernowne n'est pas calculable, puisque l'algorithme servant à énumérer la suite des décimales de ce nombre consiste en la concaténation $\textit{infinie}$ des entiers naturels consecutifs.

Sneg