Théorème ou simple exercice ?

stfj

Bonjour

Il y a des résultats qui déchoient du rang de théorème à celui de simple exercice laissé à l'apprenti géomètre. Le résultat suivant, a priori guère plus difficile que de nombreux autres du même genre traités à la chaîne sur les-mathématiques.net, en fait-il partie ? Ou alors les démonstrations que vous voudrez bien en (re-)donner sont-elles autant d'arguments pour en montrer la spécificité, la profondeur... ? Ou a contrario la banalité ?

Pour ma part, j'étudie la démonstration qu'en donnent les Sortais à destination d'élèves de Seconde, Première, Terminale.

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ABC triangle

(I) son cercle inscrit

(J) son cercle d'Euler

Alors (I) et (J) sont tangents en un point Fe aligné avec I et J

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Cordialement.

Vassillia

Bonjour @stfj

Je te laisse essayer

def norm(P):
    return P/(Linf*P)

def perp(droite,point):
    Pinf=matM*droite
    return point.cross_product(Pinf)

def simple(vec):
    if len(vec)==3:
        num=gcd([numerator(vec[0]), numerator(vec[1]), numerator(vec[2])])
        den=lcm([denominator(vec[0]),denominator(vec[1]),denominator(vec[2])])
        facteur=num/den
        vec0=factor(vec[0]/facteur)
        vec1=factor(vec[1]/facteur)
        vec2=factor(vec[2]/facteur)
        return vector([vec0,vec1,vec2])

def ver(P) :
    return vector([P[0]*(Linf*P),P[1]*(Linf*P),P[2]*(Linf*P),P*pyth*P])

def cercle(vec1,vec2,vec3):
    mat=transpose(matrix([ver(vec1),ver(vec2),ver(vec3)]))
    c1=det(mat[(1,2,3),:])
    c2=-det(mat[(0,2,3),:])
    c3=det(mat[(0,1,3),:])
    c4=-det(mat[(0,1,2),:])
    return vector([c1,c2,c3,c4])

def gram(cer1,cer2):
    return (cer1*matQ*cer1)*(cer2*matQ*cer2)-(cer1*matQ*cer2)^2

def centre(cer):  #TriangleCenter(P1,P2,P3,3)
    cen=matQ*cer
    return vector([cen[0], cen[1], cen[2]])

def solbar(vec):
    if len(vec)==3:
        vec0=vec[0].rhs()
        vec1=vec[1].rhs()
        vec2=vec[2].rhs()
        return vector([vec0,vec1,vec2])  
    
#version coordonnées barycentriques
var('a b c' , domain='positive') #a=Distance(B,C) ; b=Distance(C,A) : c=Distance(A,B)
Sa=(b^2+c^2-a^2)/2 ; Sb=(a^2+c^2-b^2)/2 ; Sc=(a^2+b^2-c^2)/2 # notations de Conway
S=sqrt((a+b+c)*(b+c-a)*(c+a-b)*(a+b-c))/2  # S=2*aire(ABC) comme dans ETC
Linf=vector([1,1,1])
pyth=1/2*matrix([[0,-c^2,-b^2],[-c^2,0,-a^2],[-b^2,-a^2,0]]) #cercle circonscrit à ABC
matM=matrix([[a^2,-Sc,-Sb],[-Sc,b^2,-Sa],[-Sb,-Sa,c^2]]) #orthodir à multiplier par 1/S
matQ=-matrix([[a^2,-Sc,-Sb,-a^2*Sa],[-Sc,b^2,-Sa,-b^2*Sb],[-Sb,-Sa,c^2,-c^2*Sc],[-a^2*Sa,-b^2*Sb,-c^2*Sc,a^2*b^2*c^2]])/(2*S^2) #quartique de l’espace des cycles

I=vector([a,b,c])
A=vector([1,0,0]);B=vector([0,1,0]);C=vector([0,0,1])

AB=A.cross_product(B);BC=B.cross_product(C);CA=C.cross_product(A)
Ia=simple(BC.cross_product(perp(BC,I)));Ib=simple(CA.cross_product(perp(CA,I)));Ic=simple(AB.cross_product(perp(AB,I)))
inscrit=cercle(Ia,Ib,Ic)

Ap=norm(B)+norm(C);Bp=norm(A)+norm(C);Cp=norm(A)+norm(B)
euler=cercle(Ap,Bp,Cp)
J=simple(centre(euler))/8

print('test de tangence =>',factor(gram(inscrit,euler)))
var('x,y,z')
M=vector([x,y,z])
sol=solve([inscrit*ver(M)==0,euler*ver(M)==0,Linf*M==1],x,y,z)
Fe=simple(solbar(sol[0]))
print('I =',I)
print('J =',J)
print('Fe =',Fe)
print('test alignement =>',factor(det(matrix([I,J,Fe]))))

stfj

Merci. J'ai testé ta démonstration avec sagemath :

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test de tangence => 0
I = (a, b, c)
J = (a^2*b^2 - b^4 + a^2*c^2 + 2*b^2*c^2 - c^4, -a^4 + a^2*b^2 + 2*a^2*c^2 + b^2*c^2 - c^4, -a^4 + 2*a^2*b^2 - b^4 + a^2*c^2 + b^2*c^2)
Fe = (-(a - b - c)*(b - c)^2, (a - b + c)*(a - c)^2, (a + b - c)*(a - b)^2)
test alignement => 0

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D'après l'article wikipédia qui lui est consacré, Feuerbach aurait inventé les coordonnées homogènes indépendamment de Möbius. Nul doute qu'il aurait été intéressé par cette démonstration qui fournit en outre les coordonnées barycentriques du point de Feuerbach.

Par ailleurs, d'après Coxeter et Greitzer dans Redécouvrons la géométrie, le résultat découvert par Feuerbach est tellement remarquable qu'elle a amené maints auteurs à appeler le cercle des neufs points "cercle de Feuerbach". Ils le démontrent dans le chapitre Géométrie de l'inversion pour illustrer celle-ci. https://www.geogebra.org/classic/b92femgj

jelobreuil

Bonsoir Stéphane,

Que le point de tangence soit aligné avec les centres, cela n'a absolument rien d'étonnant quand on sait qu'une tangente à un cercle est perpendiculaire au rayon aboutissant au point de tangence.

Le théorème de Feuerbach, puisque c'est de cela qu'il s'agit, a été (d'après M. Collet et G. Griso,"Le cercle d'Euler", chez Vuibert) "justifié analytiquement par Feuerbach en 1822, et par Terquem en 1842. Mention a publié en1850 ... ... ... une note qui constitue la première démonstration géométrique ...." 

Je me permets de citer aussi la première phrase du chapitre de ce petit livre ayant pour sujet ce théorème : "Une application classique de l'inversion consiste à établir le théorème de Feuerbach." Pour confirmation, voir le Lebossé-Hémery, n° 402.

Quant à savoir si ce théorème devrait être déchu au rang de "simple exercice", ce n'est certes pas à toi ni à moi de trancher cette question, laquelle me semble d'ailleurs n'avoir qu'assez peu d'importance ...

Bien amicalement, Jean-Louis B.

stfj

Bonsoir @jelobreuil

Le fait que le théorème de Feuerbach soit présenté comme une occasion d'appliquer la géométrie de l'inversion, m'intéresse. Quand je m'intéressais aux attracteurs de familles de contractions non affines, ce type d'application était souvent utilisées. Celle ci illustre l'article wikipedia.en consacré à ces attracteurs. Je l'ai baptisée "coupe d'arbre". Ici $z\to \frac{1}{\bar z}$ est appelée spherical ($V_2$ p5) et on peut en voir un effet p.17.

Cordialement.

stfj

J'ignorais jusqu'à tout de suite que Karl Feuerbach fût le frère de l'auteur de L'essence du christianisme qui est un des livres de ma bibliothèque.

jelobreuil

Stéphane, je t'avoue que l'image de ton message me fait plutôt penser, avec ces couleurs, à la coupe d'une agate ... 

plsryef

ce n'est pas incompatible @jelobreuil

le bois aussi se silicifie, de là à dire que le bois est idiot, certains franchiront le pas sans souci.

Plus sérieusement je me demande, la définition du point de Feurbach, c'est exercice ? ou alors c'est cet exercice qui est la définition ? (aucun rapport entre le papillon et Lao-Tseu)

stfj

Je propose de remplacer le code sagemath final : 

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print('test alignement =>',factor(det(matrix([I,J,Fe]))))

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par

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if factor(det(matrix([I,J,Fe])))==0:
    print('il est VRAI que I,J et Fe sont alignés.')
else:
    print('il est FAUX que I,J et Fe sont alignés.')

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Même si, comme l'a fait remarquer Jean-Louis, ce test est ici inutile, la même écriture s'applique au test de tangence plus haut

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if factor(gram(inscrit,euler))==0:
    print('il est VRAI que le cercle inscrit et le cercle d'Euler sont tangents.')
else:

    print('il est FAUX que le cercle inscrit et le cercle d'Euler sont tangents.')

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De façon générale, on pourrait remplacer les remarques à l'intérieur du code par des commentaires explicites en sortie fournies par sagemath qui pourraient s'approcher d'une démonstration "classique" et rendre ce type de démonstration moins suspecte aux yeux de qui s'y intéresseraient naïvement.

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Voilà pour l'instant la sortie que j'obtiens

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Les raisonnements classiques(dans les tests adéquats, VRAI=0, FAUX=<>0) qu on a illustrés et explicités 
auparavant au sujet de problèmes similaires montrent que :
Il est VRAI que le cercle inscrit et le cercle d Euler sont tangents.
Par ailleurs, les coordonnées barycentriques de I, J et Fe sont
I = (a, b, c)
J = (a^2*b^2 - b^4 + a^2*c^2 + 2*b^2*c^2 - c^4, -a^4 + a^2*b^2 + 2*a^2*c^2 + b^2*c^2 - c^4, -a^4 + 2*a^2*b^2 - b^4 + a^2*c^2 + b^2*c^2)
Fe = (-(a - b - c)*(b - c)^2, (a - b + c)*(a - c)^2, (a + b - c)*(a - b)^2)
Il est VRAI que I,J et Fe sont alignés.

$$I=\left(a,\,b,\,c\right)$$ $$J=a^{2} b^{2} - b^{4} + a^{2} c^{2} + 2b^2c^2-c^4 ::$$ $$Fe={\left(-a+b+c\right)} {\left(b - c\right)}^{2}::$$

Vassillia

Je ne suis pas sûre que ce soit la raison de la suspicion mais ce n'est pas une raison pour ne pas essayer.
Je te laisse faire toutes les modifications cosmétiques que tu juges utiles pour les convaincre. Bon courage !

stfj

Cela serait dommage. Je n'aurai aucun mal à convaincre que je ne connaissais pas le théorème de Feuerbach avant hier. Parcourant la littérature concernant ce théorème, je tombe sur une propriété : 

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O le centre du cercle circonscrit

H l'orthocentre

J le centre du cercle à neuf points

G le centre de gravité

Alors O,J,G,H sont en division harmonique.

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Pour le prouver, il me suffit de rajouter à ton code sagemath

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def birapport(B,C,G,H):
    bi= factor(vecteur(H,C)/vecteur(H,B)/(vecteur(G,C)/vecteur(G,B)))
    return bi
def vecteur(P1,P2):
    return norm(P2)-norm(P1)

if factor(det(matrix([O,J,G])))==0:
    print('il est VRAI que O,G et J sont alignés.')
else:
    print('il est FAUX que O,G et J sont alignés.')

G=vector([1,1,1])
O=vector([a^2*Sa,b^2*Sb,c^2*Sc])
H=vector([Sb*Sc,Sa*Sc,Sa*Sb])
print ('birapport(O,J,G,H)=',birapport(O,J,G,H))
if birapport(O,J,G,H)==-1:
    print('Autrement dit O, J, G et H sont en division harmonique.')

_________________________________

pour obtenir

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il est VRAI que O,G et J sont alignés.
birapport(O,J,G,H)= -1
Autrement dit O, J, G et H sont en division harmonique.

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On rejoint ce que nous ont enseigné les Grecs croûlant sous les résultats géométriques accumulés par les civilisations qui les avaient précédés. Mettre de l'ordre. Proposer une présentation logique concise permettant de retrouver l'ensemble des résultats.

https://www.geogebra.org/classic/b92femgj

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De ce point de vue, le "théorème" de Feuerbach est un simple exercice pour apprenti géomètre. On pourrait illustrer ce point de vue de nombreuses façons, par exemple en démontrant le théorème de Terquem(autrement dit Der Satz von Reuschle), qui contribua à la gloire en son temps de son auteur.

Vassillia

Cela n'a quand même pas grand chose à voir avec la question initiale sur le théorème de Feuerbach.

Je te rassure, je ne connais aucun de ces théorèmes moi non plus et je considère également que ce ne sont des applications directes de calculs. Pourtant connaitre certaines propriétés aide parfois à trouver une bonne paramétrisation (et donc je ne suis pas très douée dans cet exercice...)

stfj

Quelles sont les coordonnées barycentriques du Cyclocevian Conjugate $\boxed{Q\doteq \text{CyclocevianConjugate}(P)}$ d'un point $$P=p:q:r$$ par rapport à un triangle $ABC$?

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Pour l'instant, je ne comprends pas la réponse fournie par la proposition 13.23.2 du glossaire de Pierre. @pappus (bonjour) avait posé une question similaire.

stfj

La démonstration de l'existence du cyclocévien proposée dans l'article wikipédia est un petit bijou d'application du théorème de Ceva et de sa réciproque.

La question initiale sur le théorème de Feuerbach porte moins sur le théorème de Feuerbach que sur la présentation la plus logique de la géométrie élémentaire, par exemple celle du triangle avec ETC. Elle rejoint mes préoccupations d'enseignant du Secondaire : quelles connaissances présenter aux élèves de collège de façon à entraver le moins possible leur enseignement futur et leur formation professionnelle ?

Jean-Louis Ayme

Bonjour,

pour rappel à la cinquantaine de preuves connues à ce jour;
une nouvelle preuve personnelle purement synthétique datant de 2006 a été présentée sur mon site et traduite en espagnol en russe dans les revues concernées.... 

Sincèrement
Jean-Louis

lesmathspointclaires

stfj a dit :

Cela serait dommage. Je n'aurai aucun mal à convaincre que je ne connaissais pas le théorème de Feuerbach avant hier. Parcourant la littérature concernant ce théorème, je tombe sur une propriété : 

__________________________________

O le centre du cercle circonscrit

H l'orthocentre

J le centre du cercle à neuf points

G le centre de gravité

Alors O,J,G,H sont en division harmonique.

   

C'est dommage de réduire ça a une banale division harmonique
O,J,G,H en division harmonique et H, J O, point à l'infini de la droite (façon de dire que $J$ est le milieu de $HO$)

Pour que $I$ e se sente pas trop seul :  $H$ est le conjugué isogonal de $O$^^

Jean-Louis Ayme

Bonjour,

http://web.archive.org/web/20231002235036/http://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/Docs/La fascinante figure de Cundy.pdf     p. 5.


Sincèrement
Jean-Louis

stfj

@lesmathspointclaires : bonjour. Je fais ce que je peux : je n'y connais quasiment rien en géométrie élémentaire. Par contre, cela m'intéresse de réactiver mes connaissances sur le conjugué isogonal car je m'intéresse au cyclocévien. Cordialement.

lesmathspointclaires

@stfj je partage le même constat me concernant et la même motivation ! Mais je vois que @Jean-Louis Ayme vient de poster quelque chose qui sera sans doute très utile pour progresser et avoir un bon panorama !
Les posts de JLA sont toujours l'occasion de progrès et de fun, et les tiens aussi d'ailleurs stfj, à chaque fois je trouve des généralisations que je trouve jolies, d'ailleurs je viens de me rendre compte que le mystérieux point que je cherchais dans un des problèmes que JLA a posté et dont il déplorait une preuve synthétique est le centre du cercle d'Euler [edit : en fait non^^]! je pense que je vais trouver bientôt cette preuve, j'ai laissé de côté ce problème (car j'en cherche une assez impressionnante généralisation qui mettrait en scène les fractales et devant la complexité de la tâche, et le trop plein de pistes enthousiasmantes possibles j'ai délaissé cette petite enquête, à regret, je vais donc m'y replonger un peu )

stfj

Oui merci à @Jean-Louis Ayme pour son lien très riche en mathématiques que j'ai commencé à lire (j'ai lu le début et la biographie de Cundy)

stfj

Bonjour

Je m'intéresse au $\text{Cyclocevian}(P)$

Grâce au code de Vassillia, j'ai calculé le triangle passant par les céviens d'un point $$P=p:q:r$$Je trouve via

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P=vector([p,q,r])
AP=A.cross_product(P)
BP=B.cross_product(P)
CP=C.cross_product(P)
Ap=AP.cross_product(BC)
Bp=BP.cross_product(CA)
Cp=CP.cross_product(AB)
print(cercle(Ap,Bp,Cp))
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comme ici. Mais après je ne comprends pas le raisonnement qui est tenu par @pldx1.

Cordialement.

gipsyc

Bonjour,

Un autre cercle passant par le point de Feuerbach Fe d'un △ABC.

Soit I le centre inscrit du △ABC.
Soit ω le cercle d'Euler du △BIC (dont le cercle circonscrit est le cercle A-Mention).

Montrez que ω passe par Fe.

https://www.facebook.com/share/p/DoQWyUTMmcmMaSPk/?

Cordialement,

Jean-Pol Coulon