Une intégrale 28/10/2024
Je vous propose de montrer que,
\begin{align}\int_0^1\frac{\ln^2(1-x)\ln^3x}{1-x}dx=12\zeta(3)^2-\frac{69\zeta(6)}{4}\end{align}
Mais attention, il ne faut pas utiliser de dérivation sous le signe intégral (donc pas de fonctions Bêta), pas d'intégrales doubles, pas de séries.
On s'autorise les techniques habituelles du calcul intégral à une variable: changement de variable, intégration par parties.
Et on admet que:
\begin{align}\int_0^1\frac{\ln^2x}{1-x}dx=2\zeta(3)\\\int_0^1\frac{\ln^5x}{1-x}dx=-120\zeta(6)\end{align}
PS:
La méthode à laquelle je pense ne permet pas d'éviter un recours à un calcul d'intégrale double hélas (contrairement à ce que je pensais) mais c'est une alternative au calcul qui utilise des fonctions Bêtas
Le passé est sinistre, le présent terne, mais heureusement nous n'avons pas d'avenir.
Réponses
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Cela se généralise-t-il en $\int_{0}^{1}\frac{\ln^{k}x}{1-x}dx=(-1)^{k}k!\zeta(k+1)$ ? Et quid du théorème des résidus ?
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@Sylvain: Oui, cela se généralise mais il n'y a pas besoin de théorème des résidus pour démontrer la formule que tu indiques.Pour calculer mon intégrale on a seulement besoin de connaître les deux égalités que j'ai indiquées.L'intégrale que j'ai proposé de calculer est connectée à l'intégrale,\begin{align}\int_0^1\frac{\ln^4 x\ln(1-x)}{1-x}dx\end{align} que je ne sais pas calculer sans utiliser d'intégrales doubles (on peut aussi utiliser des sommes d'Euler, ou dériver une fonction Bêta).Le passé est sinistre, le présent terne, mais heureusement nous n'avons pas d'avenir.
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Une indication:Evaluer, \begin{align}K&=\int_0^\infty \frac{\ln(1+x)\ln^4x}{x(1+x)}dx\end{align} de deux façons.NB:Vous devriez obtenir la valeur de l'intégrale cherchée en fonction de $\zeta(6)$ et de l'intégrale,\begin{align}\int_0^1\frac{\ln(1-x)\ln^4 x}{1-x}dx\end{align}Le passé est sinistre, le présent terne, mais heureusement nous n'avons pas d'avenir.
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