Entier pair et formes quadratiques
dans Arithmétique
Bonjour,
J'ai depuis un certain temps une question qui mature très lentement (20 ans que je suis ici quand même...) dans mon esprit. J'aimerais savoir si on peut relier explicitement un entier positif pair donné $2n$ somme de deux puissances (au sens large) de nombres premiers et l'ensemble des formes quadratiques sur $\mathbb{Z}$ dont cet entier est une valeur. C'est très certainement de la géométrie arithmétique mais je n'y connais rien. J'ai vu qu'il existe des formes quadratiques universelles, qui représentent tout entier positif à partir d'un certain rang mais je n'ai guère autre chose. Peut-être peut-on considérer un groupe de transformations entre formes quadratiques représentant un entier donné ?
Merci d'avance pour tout éclaircissement.
J'ai depuis un certain temps une question qui mature très lentement (20 ans que je suis ici quand même...) dans mon esprit. J'aimerais savoir si on peut relier explicitement un entier positif pair donné $2n$ somme de deux puissances (au sens large) de nombres premiers et l'ensemble des formes quadratiques sur $\mathbb{Z}$ dont cet entier est une valeur. C'est très certainement de la géométrie arithmétique mais je n'y connais rien. J'ai vu qu'il existe des formes quadratiques universelles, qui représentent tout entier positif à partir d'un certain rang mais je n'ai guère autre chose. Peut-être peut-on considérer un groupe de transformations entre formes quadratiques représentant un entier donné ?
Merci d'avance pour tout éclaircissement.
Réponses
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2n somme de deux puissances (au sens large) de nombres premiers
$2n=n_a^{p_1}+n_a^{p_1}$ cela veux dire quoi pour toi , relier explicitement
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Ça ne veut rien dire, Sylvain a des "intuitions" basées sur rien d'autres que son imagination et propose toujours des idées farfelues en imaginant résoudre Goldbach.
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Bon esprit/20.
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survint tout à coup!
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Mon message n'est peut-être pas bon esprit, mais as-tu la moindre raison scientifique ou mathématique de penser qu'il y a un fondement à ton "idée" d'associer à une décomposition $2n = p^a + q^b$ une forme quadratique particulière représentant $2n$ ? On dirait que tu mélanges des concepts en espérant gagner à la loterie de Goldbach.
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Déjà le théorème d'Euler conjecturé par Fermat (tout premier congru à $1$ modulo $4$ est de façon unique la somme des carrés de deux entiers naturels non nuls à l'ordre près), ainsi que celui de Lagrange énonçant que tout entier naturel est la somme de $4$ carrés. A partir d'une décomposition de $2n$ en somme de deux puissances de nombres premiers, on peut obtenir une décomposition de $2n$ en somme de deux premiers. La question étant de savoir si tout entier pair assez grand est somme de deux puissances de nombres premiers. On a déjà par Fermat-Wiles, avec tes notations, $a\neq b$ si $2n$ est une puissance parfaite d'exposant strictement supérieur à $2$ appartenant à $\{a,b\}$. Je pense à des formes quadratiques car leur degré est le nombre de puissances de nombres premiers dont on requiert que leur somme égale $2n$.
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je viens troller un peu, mais qu'est ce qu'une puissance parfaite ?
Deux "Je vous salue Évariste" au réveil et trois "Domine Protegere Fac Galois" au coucher pour progresser en mathématiques. -
Un entier de la forme $u^{v}$ avec $u$ et $v$ entiers au moins égaux à $2$.
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Ben ... quand on parle d'arithmétique des entiers, c'est une puissance. Je ne vois pas le rapport entre $\ge 2$ et "parfait".
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BonjourJe vais proposer une analyse de $n=n_a^{p_1}+n_b^{p_2}$ basée sur une notion que je vais qualifier d'atypique voire d'original. Pour commencer, je ne vais pas considérer la valeur, mais une transposition de celle-ciEt nous serons d'accord pour dire que si je fais, $n^p$ toutes les valeurs dans la signature changent, sauf les zéros, parce que$(3^5)mod(3)=0 ,(3^{101})mod(3)=0$Maintenant, je me retrouve avec deux vecteurs ou colonnes de valeurs associées $n_a^{p_1}\quad n_b^{p_2} $Si je fixe $n _a^{p_1}$ et que j’augmente la puissance $p_2$ dans $n_b^{p_2}$ ,$n$ sera obligatoirement un nombre premier, car toutes les valeurs ne peuvent pas être présentes dans la signature de $n_a$ étant donné que $n_a$ et $n_b$ sont premier entre eux , Cependant, je peux construire aussi un multiple, donc, pour moi, si les puissances sont premières entre elles (à cause du petit théorème de Fermat), il n'y a pas grand-chose de généralisable ,sauf éventuellement une probable réédition d'un th du style $n=n_a^{p_1}+p_2$ si$ p_2 > \sqrt(n)$ alors ...Mes trois ,centimes d'euro pas plus
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Plus exactement au lycée, le hors série en question date d'octobre 1996.
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Science et vie n'est plus une référence depuis longtemps !
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Je doute que ce fût le cas à l'époque.
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Sylvain a dit :Un entier de la forme $u^{v}$ avec $u$ et $v$ entiers au moins égaux à $2$.
Honnêtement, je ne vois qu'un langage pseudo-pédant pour parler de notions usuelles définies en collège.
Deux "Je vous salue Évariste" au réveil et trois "Domine Protegere Fac Galois" au coucher pour progresser en mathématiques. -
Dire que 25 est un carré parfait est assez courant me semble-t-il
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Bonjour!
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