Problème bizarre
Je suis tombé sur un exercice qui ne ressemble à rien que je connaisse donc je ne sais pas par quel bout le prendre.
Soit f une fonction de classe C2 définie sur R et 2 réels positifs a et b tels que pour tout x on a
f²(x)=<a et f'²(x)+ f''²(x) =< b . Montrer que f²(x)+f'²(x)=< max(a,b).
Je ne pense pas que les manipulations algébriques des 2 inégalités mènent à quelque chose et je ne sais pas quoi faire avec le f''² donc comment interpréter le f'²+f''².
Je vois qu'il y a 2 sortes de f - ceux avec une limite à l'infini (genre Arctan(x)) et ceux qui oscillent (genre sin(x)/x)) mais je ne vois pas quoi en faire.
Je suis donc preneur d'indices comment attaquer ça.
Soit f une fonction de classe C2 définie sur R et 2 réels positifs a et b tels que pour tout x on a
f²(x)=<a et f'²(x)+ f''²(x) =< b . Montrer que f²(x)+f'²(x)=< max(a,b).
Je ne pense pas que les manipulations algébriques des 2 inégalités mènent à quelque chose et je ne sais pas quoi faire avec le f''² donc comment interpréter le f'²+f''².
Je vois qu'il y a 2 sortes de f - ceux avec une limite à l'infini (genre Arctan(x)) et ceux qui oscillent (genre sin(x)/x)) mais je ne vois pas quoi en faire.
Je suis donc preneur d'indices comment attaquer ça.
Réponses
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Ce que tu dis sur « deux sortes de $f$ » c’est du n’importe quoi.
Est-ce que tu as essayé de dériver des choses ?
EDIT : si on considère la fonction $x\mapsto (f(x),f’(x))$, comment traduire les hypothèses et la conclusion en termes de cette fonction-là ? -
L'idée avec les "deux sortes de $f$" n'est peut-être pas mauvaise. Est-ce que tu sais déjà traiter le cas particulier où $f$ est monotone ?
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J'ai une preuve qui utilise le résultat auxiliaire suivant : si $g\in C^1(\R,\R)$ est majorée, alors il existe une suite $(x_n)\in \R^\N$ telle que $$g(x_n)\longrightarrow \sup_\R g\quad \text{et}\quad g'(x_n)\longrightarrow 0.$$Par contre, ma preuve du résultat auxiliaire est très poussive : si quelqu'un a une preuve rapide et élégante, je suis preneur !
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@JLapin : Est-ce que la démonstration suivante est poussive ?Il suffit de démontrer que pour tout $\epsilon >0$, il existe $x$ tel que $\sup g \leq g(x) + \epsilon$ et $\vert g'(x) \vert \leq \epsilon$.
Soit donc $\epsilon > 0$. Soit $x$ tel que $\sup g \leq g(x) + \epsilon$. Si $\vert g'(x) \vert \leq \epsilon$, c'est gagné. Supposons $g'(x) > \epsilon$ (le cas opposé se traitant de la même façon). Si pour tout $y$ dans $[x,x+1]$, on a $g'(y) > \epsilon$, alors on a $\sup g \geq g(x+1) = g(x) + \int^{x+1}_x g'(t)dt > g(x) + \epsilon$ ce qui est contraire à l'hypothèse sur $x$. Considérons donc $y := \inf\{y \in [x,x+1] \ \vert \ g'(y) \leq \epsilon\}$. Comme $g$ est continue, $g'(y) \leq \epsilon$. D'un autre côté, comme pour tout $z \in [x,y]$, $g'(z) > \epsilon$, $g$ est croissante sur $[x,y]$ et donc $g(y) \geq g(x)$, donc $g(y)$ est plus près de $\sup g$ que $g(x)$.
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C'est plus synthétique que la mienne : merci !Pour ma part, je traitais d'abord le cas trivial où le sup est un max puis péniblement (avec des arguments similaires aux tiens) le cas où le sup est "atteint" en $+\infty$ (ou de la même façon, en $-\infty$).Indication pour l'OP : choisir la bonne fonction $g$ et appliquer mon petit lemme
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Georges Abitbol a dit :Ce que tu dis sur « deux sortes de $f$ » c’est du n’importe quoi.
Est-ce que tu as essayé de dériver des choses ?
EDIT : si on considère la fonction $x\mapsto (f(x),f’(x))$, comment traduire les hypothèses et la conclusion en termes de cette fonction-là ? -
Ta deuxième fonction possède comme la première une limite en $+\infty$ mais passons.Tu as essayé avec mon indication ?
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JLapin a dit :C'est plus synthétique que la mienne : merci !Pour ma part, je traitais d'abord le cas trivial où le sup est un max puis péniblement (avec des arguments similaires aux tiens) le cas où le sup est "atteint" en $+\infty$ (ou de la même façon, en $-\infty$).Indication pour l'OP : choisir la bonne fonction $g$ et appliquer mon petit lemme
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Vu l'énoncé, tu n'as vraiment pas une petite idée de la fonction $g$ à choisir ?$g=f^2+(f')^2$. Tu peux commencer par traiter le cas où $g$ atteint un maximum sur $\R$.
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Pardon pour mon ton. Je voulais dire que tu partais d’un truc faux (si on prend ce que tu écris au pied de la lettre, on croit que tu dis que $\sin(x)/x$ n’a pas de limite en l’infini). J’avais l’impression que tu lançais un truc au hasard en espérant que ça t’avance à quelque chose. Quand je t’ai demandé si tu avais dérivé des trucs, c’était pour que tu nous dises quelles pistes tu avais explorées. Bref, désolé pour mon choix de mots.
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@J.Lapin Vu que c'est censé avoir un rapport avec la question je pense à g = f²+f'². J'ai essayé ça mais je ne vois pas encore pourquoi ce qui marche pour une suite x(n) devrait marcher pour tout x. Mais je vais reregarder demain et éventuellement essayer un autre g. En fait j'ai bien vu que pour une fonction bornée, f' (et f'') doivent tendre vers 0. Le problème est quand on est encore loin de l'infini.
@Georges Abitbol Si je ne connaissais pas la limite de sin(x)/x à l'infini, je ne tenterais pas des exos de ce genre. Ce que je cherchais était de trouver ce qu'avait en commun une fonction monotone (que je pensais "simple") avec une fonction dont f' et f'' pouvait varier violemment ce qui pourrait me mettre sur une piste. Il se trouve que ça n'a rien donné mais il fallait bien commencer quelque part. -
Tu as touché la bonne fonction. Maintenant, examine le cas particulier où $g$ possède un maximum sur $\R$.
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Si g = f² + f'² a un maximum alors il existe x0 tel que g'(x0)=0 et g((x)<= g(x0) pour tout x. g'(x0)= 2f'(x0)(f(x0) + f''(x0))=0
On a donc f'(x0)=0 ou f(x0)+f''(x0) = 0 . Dans le premier cas on obtient g(x0) <= a et dans le second g(x0) <= b d'où
g(x) <= max(a,b) . Si on a plusieurs maxima alors on prend le plus grand et le résultat est le même.
Il reste donc le cas où g(x) est monotone et là je sèche .
P.ex si g'(x)>0 alors comme g(x) est bornée , g tendra vers une limite en + et - infini mais je ne vois pas par quoi est borné f'²(x) en fonction de a et b. -
Une fonction ne possède que $0$ ou $1$ maximum sur $\R$ (en cas d'existence du maximum, celui-ci pourra être atteint en plusieurs points de $\R$ mais il en suffit d'au moins 1 pour ton raisonnement).Par ailleurs, il ne te reste pas du tout que le cas où $g$ est monotone.Par contre, si $g$ n'admet pas de $\max$ sur $\R$, $g$ possède néanmoins une borne sup sur $\R$ car $g$ est majorée. Et c'est là que mon petit lemme intervient.
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D'accord je vois.
Oui, je n'étais pas précis. Je considérais un maximum local en x0 où on a également g'(x0)=0 et ensuite passais au max des g(x(i)) mais ça revient au même que de considérer le maximum global d'entrée.
A part ça je peux avoir soit monotonie stricte soit monotonie avec des points d'inflexion où g'(x)=g''(x)=0. Je ne vois pas d'autres cas.
Re oui, j'ai aussi dit que dans ce cas g admet une borne sup sur R. Je vois que ce cas pourrait être traité identiquement que le cas précédent (l'existence d'un maximum global) mais il faudrait remplacer des x(i) par des limites et je n'arrive pas à le formuler proprement. J'y ai sans doute passé trop de temps donc je vais faire une petite pause.
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Non, tu ne peux pas considérer que ta fonction est "monotone par morceaux" : une fonction $C^1$ générale, c'est plus compliqué que ça.Je pense que le cas où $g$ n'atteint pas son max dépasse largement ton niveau. Voici un peu plus de détail.On fixe $(x_n)$ telle que $g(x_n)\to \sup g$ et $f'(x_n)(f(x_n)+f''(x_n))$ tend vers $0$.Si $f'(x_n)$ tend vers $0$, on passe à la limite dans l'inégalité $g(x_n)\leq a+f'(x_n)^2$ pour obtenir $\sup g\leq a$.Sinon, on peut extraire de la suite $(f'(x_n))$ une sous-suite qui converge vers un réel non nul ou qui diverge vers $+\infty$ ou vers $-\infty$. Dans ce cas, on aura $f(x_{\varphi(n)})+f''(x_{\varphi(n)})$ qui converge vers $0$.On passe alors à la limite dans la relation $$f'(x_\varphi(n))^2+(f(x_{\varphi(n)})+f''(x_{\varphi(n)}) - f(x_{\varphi(n)}))^2\leq b$$pour obtenir $\sup g\leq b$.
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Voici une autre solution sans suites. Soit $g(x)=f(x)^2+f'(x)^2$ et $h(x)=f'(x)^2+f''(x)^2$. Supposons que $g'(x)=0$ pour un certain $x$, alors $2f'(x)(f(x)+f''(x))=0$. Si $f'(x)=0$ alors $g(x)=f(x)^2\leqslant a$ et si $f(x)+f''(x)=0$ alors $g(x)=f(x)\leqslant b$.Supposons qu'il existe $x_0$ tel que $g(x_0)>\max(a,b)$. D'après ce qui précède, $g'(x_0)\ne 0$. Supposons par exemple $g'(x_0)>0$. Alors $g'>0$ sur $[x_0,+\infty[$ : si ce n'était pas le cas il existerait un plus petit réel $x_1>x_0$ tel que $g'(x_1)=0$. Alors $g'(x)>0$ pour tout $x\in [x_0,x_1[$, donc $g(x_1)>g(x_0)>\max(a,b)$, ce qui entraîne $g'(x_1)\ne 0$. Contradiction.
On déduit de ce qui précède que $g$ est strictement croissante sur $[x_0,+\infty[$. De plus elle est majorée par $a+b$, donc elle converge. De même $f(x)$ admet une limite en $+\infty$, donc $f'=\sqrt{g-f^2}$ aussi. La limite de $f'$ est nécessairement nulle (sinon $f$ tendrait vers l'infini), donc $\lim_{x\to +\infty} g(x)=\lim_{x\to +\infty} f(x)^2\leqslant a<g(x_0)$, ce qui contredit que $g$ est strictement croissante sur $[x_0,+\infty[$. -
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Lorsque notre cher Nico, le professeur, intervient dans une question d'analyse, c'est une véritable joie pour les lecteurs..
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Je pense qu'on peut même majorer $f^2+(f')^2$ par $\max(a,b,2\sqrt{ab})$. A vérifier.
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Vu que $\max(a,b)\leq \max(a,b,2\sqrt{ab})$, ça me semble une conjecture raisonnable
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Pardon je voulais dire $\max(a,2\sqrt{ab})$.
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Merci @gebrane !
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