Système de Steiner et groupes de Mathieu

Franckkk

Bonjour,

je viens m'assurer que j'ai compris un point relatif aux systèmes de Steiner et aux groupes de Mathieu.

Si j'ai bien compris, on peut voir les groupes de Mathieu comme des groupes de permutation d'ensemble de Steiner. Par exemple, $M_{11}$ est un groupe de permutation du système de Steiner $S(4,5,11)$ ("du" car ce système est unique, à isomorphisme $S_{11}$ près).

Néanmoins, on lit fréquemment, par exemple sur Wikipedia, que $M_{11}$ est le groupe d'automorphismes du système de Steiner $S(4,5,11)$. Pour moi, cette phrase est un abus de langage, mais je voudrais bien en être sûr. En effet, il y a déjà une impossibilité pratique : pour qu'il y ait groupe d'automorphisme, il faut qu'il y ait un groupe, or un système de Steiner n'est pas un groupe, c'est juste un ensemble de blocs.

J'ai plutôt l'impression qu'il faut définir le concept de "automorphisme d'un système de Steiner" comme "groupe de permutation de l'ensemble sur lequel est défini le système de Steiner qui réalise une permutation des blocs de Steiner". Autrement dit, si le système de Steiner est formé de blocs $B$ d'éléments d'un ensemble $\Omega$ (typiquement $\{1,\ldots,n\}$), alors les "automorphismes de Steiner" sont un sous-ensemble (strict) du groupe symétrique de $\Omega$, qui envoie un bloc sur un autre bloc. (Désolé si ça apparaît comme du découpage de cheveux en 4, mais je veux être sûr d'avoir bien compris.)

Le groupe de Mathieu ne peut pas être le groupe symétrique de l'ensemble $\Omega$, car alors il serait juste isomorphe à $S_n$ (où $n$ est le cardinal de $\Omega$). Et il ne peut pas non plus être le groupe symétrique du système formé des $b$ blocs, car alors on ne tient pas compte de la structure sous-jacente.

Tiens au passage, si mes calculs sont corrects, les "automorphismes du système de Steiner $S(2,3,7)$" forment un groupe d'ordre 168, comme $PSL(2,F_7)$. C'est peut-être un coïncidence, car il y a plusieurs groupes d'ordre 168, mais sait-on si ce sont les mêmes groupes ? Si qqn a une référence, je suis intéressé.

J'ai une autre question, connexe : est-ce qu'on sait si c'est ainsi qu'Emile Mathieu a introduit ses 5 groupes ? Je crois que le concept général des systèmes de Steiner est antérieur à la découverte de ces 5 groupes, mais peut-être Mathieu n'en avait pas connaissance ?

[message édité pour corriger des petits bugs de forme]

kifton

Bonjour Franck,

je te donne un lien vers mon mémoire de Master 2 que j'ai soutenu en 2021 à ce sujet. Il répondra à certaines de tes questions.

Bon travail.

Georges Abitbol

Oui, oui, le groupe en question, c’est l’ensemble des bijections de $\Omega$ qui envoient tout bloc sur un bloc.

Pour le système de Steiner $S(2,3,7)$, j’ai cherché « système de Steiner » sur Wiki. Ça dit que ce système-là est isomorphe au plan de Fano, dont le groupe des automorphismes est bien $\mathbf{PSL}_2(\mathbb{F}_7)$.

Franckkk

Merci beaucoup pour vos réponses !

Math Coss

Il n'y a, à isomorphisme (de systèmes de Steiner) près, qu'un seul système de Steiner $S(2,3,7)$.

Il n'y a, à isomorphisme (de groupes) près, qu'un seul groupe simple d'ordre $168$, ce qui veut dire que $\mathrm{PSL}_2(\mathbf{F}_7)$ et $\mathrm{PSL}_3(\mathbf{F}_2)=\mathrm{GL}_3(\mathbf{F}_2)$ sont isomorphes.