Les complexes dans les années 70
Bonjour.
Je me suis amusé à regarder les anciens programmes français et une petite chose m'a quelque peu frappé : en Terminales CDE les nombres complexes étaient introduits comme étant des matrices $\begin{pmatrix}a & -b\\b & a\end{pmatrix}$, autrement dit, des éléments de l'ensemble $\mathbf{O}^+$ des transformations orthogonales, et plus précisément des rotations vectorielles.
Alors c'est bien beau une telle entrée en la matière quoi que quand même bien verbeux pour des élèves de terminales. D'autant plus que cette manière de procéder disparaissait dès l'année suivante, en prépa, tandis que les complexes se retrouvaient alors introduits "usuellement" : c'est-à-dire comme des éléments de l'ensemble $\mathbf{R}^2$ dont on définit l'addition par $(a,b)+(a',b')=(a+a',b+b')$ et la multiplication par $(a,b)\times(a',b')=(aa'-bb',ab'+a'b)$, ni plus, ni moins. C'est du moins ce qui ressort des manuels de cette époque.
Je me pose donc une question toute simple : sait-on pourquoi une telle présentation fût introduite dans les programmes de terminales si c'était pour ne même plus s'embarrasser de celle-ci dès la classe de sup ?
Je veux dire par là, n'aurait-il pas été plus logique de le faire dans l'autre sens ? Ou a minima de présenter l'introduction usuelle en première instance ; en ne réservant l'autre qu'aux chapitres sur les transformations orthogonales. Ce qui semble justement, encore une fois, avoir été fait dans les manuels de prépas.
Je veux dire par là, n'aurait-il pas été plus logique de le faire dans l'autre sens ? Ou a minima de présenter l'introduction usuelle en première instance ; en ne réservant l'autre qu'aux chapitres sur les transformations orthogonales. Ce qui semble justement, encore une fois, avoir été fait dans les manuels de prépas.
Réponses
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Oula il est tard et j'ai fait un gros raccourci, bien entendu, ce sont les complexes de module $1$ qui sont des rotations vectorielles.Néanmoins ça ne change rien à mon interrogation !
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Bonjour
Certains auteurs (souvent universitaires) privilégiaient effectivement à l'époque
l'introduction des nombres complexes
sous forme de matrice carrée 2X2 anti-symétrique à 2 paramètres
l'aspect géométrique des points repérés dans le plan
avec un axe des réels et un axe des imaginaires purs
était escamoté au profit uniquement de l'aspect algébrique
en oubliant souvent le module qui doit figurer comme coefficient réel positif devant la matrice
les nombres complexes (appelés ainsi par Gauss d'une façon sans doute maladroite)
sont d'abord des nombres à deux dimensions avec deux composantes
il est donc logique que l'on pense tout de suite à un repère du plan
c'est la tendance majoritaire en particulier en classes préparatoires
mais la présentation matricielle 2X2 n'est pas à négliger pour autant
elle permet de montrer que les nombres complexes s'intègrent
comme cas particulier des nombres à 4 dimensions
du point de vue historique il a fallu presque 3 siècles (de Cardan à Gauss et Argand)
pour que ces nombres longtemps considérés comme suspects,
acquièrent une pleine identité avec leurs propriétés remarquables
Cordialement
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Il s'agissait à mon sens de donner une présentation "intuitive" pour quelqu'un ayant une certaine habitude de la géométrie. Les similitudes planes étant alors bien connues des lycéens.La présentation "brutale" que tu qualifies d'usuelle, possède l'inconvénient de bombarder la définition de la multiplication de façon totalement arbitraire, sans que l'on en comprenne la raison.Il est vrai qu'en sup, le Ramis Deschamps Odoux, présentait les choses ainsi, car les programmes mettaient en avant la structure d'algèbre de dimension 2 sur R. Mais il revenait ensuite aux interprétations géométriques à partir du groupe des similitudes directes.
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Le corps $\C$ est effectivement défini ainsi dans le manuel des terminales C et E collection Queysanne et Revuz Tome 1 : Nombres et Probabilité, de 1971.
Le point épineux était la définition de l'argument d'un nombre complexe.
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Bonjour
Et à la même époque les matrices de rotation dans le plan étaient vues sous toutes les coutures en 1re, (les élèves connaissaient donc très bien cette forme de matrice) époque à laquelle on avait également les "grands" cosinus et les "petits" cosinus... -
Oui, même réponse. les transformations du plan, les rotations, c'était vu et revu au collège et au lycée. Les complexes arrivaient comme une solution à un problème existant, et pas comme un problème nouveau.Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
L'hypocrisie est pire qu'une vérité qui fait mal. Franck Ntasamara. -
Il me semble que l'enseignement français a une tendance qui remonte au moins aux années 60 à rendre compliqué (je suis pleinement d'accord avec l'euphémisme "verbeux") ce qui est simple$^1$. Prenons un élève de Cinquième en 2024. Quand il place sur un tableau quadrillé le couple $(-5;3)$, il faut rappeler qu'il manipule sans avoir besoin de le savoir$^2$ $$-5+3i$$Sous couvert de "modernisme", on assistait à des excès qui conduisirent heureusement à l'abandon desdits excès. N'avait-on pas remplacé un mandarinat vieillisant, par un mandarinat plus jeune mais tout aussi inefficace ?Pour une construction rationnelle de $\mathbb C$ via les similitudes linéaires directes, on pourra consulter le point 5.5.1 p. 122 de ce document, qui a pu mal inspirer à l'époque. Il faut savoir lire. On ne pourra pas reprocher à son auteur quoique ce soit concernant une mauvaise interprétation de ses idées. Puisque c'est le même auteur qui proclame ailleurs : "l'antique terminologie d'affixe date d'un temps [NDR: avant Gauss et Argand] où on ne comprenait pas qu'il n'y a pas de différence entre Algèbre et Géométrie élémentaire."(Calcul infinitésimal, Hermann)"Il n'y a pas de différence à faire entre points $(x,y)$ du plan $\mathbb R\times \mathbb R$ et nombres complexes $x+iy$."(Préliminaires, 2. Nombres réels et nombres complexes, p. 24)Prenons une utilisation (il y a ceux qui prétendent définir et il y a ceux qui utilisent) des complexes. Prétendre que $-5+3i$ est autre chose que le point $(-5,3)$ sert à quoi à un lycéen?Il était et est toujours plus logique de le faire dans l'autre sens. Ou a minima de présenter l'introduction usuelle en première instance ; en ne réservant l'autre qu'aux chapitres sur les transformations orthogonales._______________________________$^1.- $ Le traitement chaotique des barycentres par l'enseignement secondaire français au cours des 5 dernières décennies en est une autre illustration.$^2.-$ Certaines peuvent néanmoins le savoir dès la Troisième, comme une de mes anciennes élèves à qui je l'avais dit parce qu'elle m'avait demandé ce qu'étaient les complexes. Cela ne l'a pas gênée : après le secondaire à H4, elle poursuit à H4 pour préparer l'ENS. Mais c'est tout de même assez rare.
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@stfj , au moins on ne peut pas dire que tu fasses preuve d'inconstance dans l'argumentaire.Mais présenter C comme identique à R², laisse toujours la multiplication dans C comme quelque chose de mystérieux, totalement parachuté par miracle. (Pourquoi i² = -1 ?) Pour lui donner du sens, on est bien obligé il me semble de parler des similitudes.A moins que l'objectif ne soit justement de faire manipuler par l'élève des objets qu'il ne comprend pas...
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@Mathurin, je suis totalement d'accord avec ce que tu viens d'écrire. C'est la raison pour laquelle il faut enseigner $GO(2,\mathbb R)$ le plus tôt possible. Comme on le préconisait en 1964. Mais malheureusement la situation en 2024 ne le permet plus. J'imagine qu'on peut encore le faire dans certains lycées de façon relativement satisfaisante cependant mais certainement pas dans tous.Ce qui pourrait être intéressant serait de tenter de voir ce qu'on pourrait faire avec des lycéens arrivant en Seconde en n'ayant pas à leur enseigner toutes les niaiseries sur les triangles semblables, ou les probabilités sans théorie naïve des ensembles. Bref en disposant d'un temps mathématique décent jusqu'en Terminale.Ici faisable dès le collègeSi je me rappelle bien cette activité, ce soit être la composée de $$(x,y)\to (x+y,x-y)$$avec ?
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Mathurin a dit : (Pourquoi i² = -1 ?)Pour trouver une solution à l'équation polynomiale $x^2+1=0$ ?De façon sous-jacente, cela revient à quotienter $\R[X]$ par $(X^2+1)$ et de munir le quotient des opérations qui vont bien : ça ne me semble pas délirant comme approche.En tout cas, ça ne m'a pas choqué à l'époque de découvrir le produit dans $\C$ en développant $(a+ib)(c+id)$ avec la règle de distributivité et $i^2=-1$.
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Dans le Vissio de 1970, on définit les entiers relatifs comme couples d'entiers naturels et les rationnels comme couples d'entiers relatifs ; on définit les complexes comme couples de réels en s'inspirant du problème de l'extension quadratique, ce qui permet de justifier la définition du produit de deux complexes.Avant d'entreprendre quelque chose d'important, prenez toujours l'avis d'un c... (Frédéric Dard)
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D'accord, bien sûr c’est faisable. Mais dans ce cas l'intérêt d'identifier C et R² disparait et la justification de l'interprétation géométrique des complexes aussi. Pour la démontrer, vous serez obligés de parler de similitudes. Sinon C devient une pure structure algébrique sans applications géométriques. (On peut le faire bien sur, mais quid de la notion d'argument et je ne suis pas sûr que cela plaise au physicien).Si vous parlez de similitudes seulement dans un deuxième temps, vous n'aurez au total rien gagné. Juste remplacé une présentation intuitive géométrique, par une présentation abstraite opaque pour la majorité des élèves... Je ne vois pas en quoi c’est un progrès !
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stfj a dit :Ce qui pourrait être intéressant serait de tenter de voir ce qu'on pourrait faire avec des lycéens arrivant en Seconde en n'ayant pas à leur enseigner toutes les niaiseries sur les triangles semblables, ou les probabilités sans théorie naïve des ensembles. Bref en disposant d'un temps mathématique décent jusqu'en Terminale.Ici faisable dès le collègeEt ailleurs, tu cites (à nouveau) David, Haglund, Perrin et Chaumat : ....Ce que tu dis des triangles semblables ne peut que déplaire à Daniel Perrin. Pour t'en rendre compte, lis quelques textes de lui (par exemple https://publimath.univ-irem.fr/IPS21007 où il intervient très fortement) où assiste à une de ses interventions publiques sur l'enseignement de la géométrie.
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barkhausen a dit :en Terminales CDE les nombres complexes étaient introduits comme étant des matrices $\begin{pmatrix}a & -b\\b & a\end{pmatrix}$, autrement dit, des éléments de l'ensemble $\mathbf{O}^+$ des transformations orthogonales, et plus précisément des rotations vectorielles.[...] sait-on pourquoi une telle présentation fût introduite dans les programmes [...]Deux remarques intéressantes :
- les matrices en question sont des matrices de similitudes mais pas de rotations vectorielles en général ;
- même avec le fût du revolver sur la tempe, je ne mettrais pas d'accent au passé simple pour le verbe être, puisque l'accent est réservé au subjonctif imparfait : pour que la phrase fût correcte, il aurait fallu écrire que la présentation fut introduite (entre cuistres, l'usage du passé simple à cet endroit est curieux).
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J'ai passé le bac en 75, et effectivement en Terminale les complexes ont été introduits avec les matrices. Mais ensuite ma prof de sup nous a défini $\mathbb{C}$ comme étant $\mathbb{R}[X]/(X^2+1)$.
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Merci à tous.Je comprends mieux ce choix même si je le trouve toujours aussi discutable vis-à-vis d'un enseignement "introductif" sur les nombres complexes ; d'autant plus que cette présentation disparaissait aussi sec. Encore une fois, je comprends l'esprit de la démarche, mais je n'y adhère clairement pas.Math Coss a dit :les matrices en question sont des matrices de similitudes mais pas de rotations vectorielles en général ;Math Coss a dit :même avec le fût du revolver sur la tempe, je ne mettrais pas d'accent au passé simple pour le verbe être, puisque l'accent est réservé au subjonctif imparfait : pour que la phrase fût correcte, il aurait fallu écrire que la présentation fut introduite (entre cuistres, l'usage du passé simple à cet endroit est curieux).
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barkhausen a dit : Encore une fois, je comprends l'esprit de la démarche, mais je n'y adhère clairement pas.La multiplicité des points de vues que l'on peut avoir entre Bac-1 et Bac+1/2/3 sur la construction de $\C$, entre $\R[X]/(X^2+1)$, le plan $\R^2$ muni des opérations idoines et la sous-algèbre de $M_2(\R)$ qui va bien est clairement une richesse : il serait dommage de s'en priver. On n'est pas à 1h de cours près...
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C'est bien vrai.Je trouve juste étrange d'introduire une telle construction si c'est pour s'en débarrasser… remarque, ce n'est pas la seule construction totalement hors-sol que j'ai pu découvrir en lisant un peu plus quelques ressources cette époque.Je me demande à quel moment certains ont pu se dire que ça serait vraiment une bonne idée de proposer tous ces excès pour mathématiciens, dirons-nous aguerris, dans l'enseignement secondaire public destiné à un jeune public ne se destinant forcément tous à faire des mathématiques.C'est dommage cette réforme, qui partait d'une très bonne intention, aurait sans doute beaucoup mieux pris et perduré sans cette volonté d'en faire toujours plus et d'aller toujours plus loin.
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Les Terminales CDE de l'époque, c'était peut-être 20% de ceux qui étaient en Terminale. Donc 8% ou 10% des jeunes de 17 ou 18 ans. Donc uniquement les meilleurs en maths.
Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
L'hypocrisie est pire qu'une vérité qui fait mal. Franck Ntasamara. -
Ca n'a rien d'hors sol ni d'une lubie délirante : une fois la définition du produit matriciel apprise, ce qui est un truc quand même assez fondamental même quand on ne se destine pas à faire un bac+5 ou +8 en maths, ce sous-ensemble de $M_2(\R)$ vient assez naturellement.Et que signifie "s'en débarrasser" ? On retrouve au contraire ce type de matrices quand on découvre les quaternions, quand on réduit les endomorphismes normaux, etc.
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Certes, le terme hors-sol est peut-être un peu fort pour cette construction de l'ensemble $\mathbf{C}$ des nombres complexes au sein de ce programme précis ; néanmoins, je considère mordicus que ça n'aurait pas dû être amené comme cela.Les développements (similaires) qu'on trouve dans les Ramis Deschamps Odoux ou Lelong-Ferrand Arnaudiès sont bien meilleurs. On assimile $\mathbf{C}$ à $\mathbf{R}^2$ jusqu'à arriver aux similitudes planes qui sont effectivement le moment d'introduire la notation matricielle. C'est finalement la méthode qui semble avoir été retenue avec le temps en prépa et probablement aussi à l'université. Même si je comprends bien que, tout ceci, n'est finalement qu'une guerre de clocher. En soit, aucune manière de faire n'est unanimement meilleure qu'une autre.Sinonbarkhausen a dit :remarque, ce n'est pas la seule construction totalement hors-sol que j'ai pu découvrir en lisant un peu plus quelques ressources cette époque.À moins qu'on me soutienne que la construction de $\mathbf{Z}$ en cinquième (donc… tous les Français y sont passés pendant pas loin de 10 ans) c'était pas hors-sol par exemple.
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Sur la construction de Z en 5ème, je suis d'accord. D'ailleurs mon professeur l'avait shuntée.
(Dans l'ensemble je pense que cette réforme était bonne à 20% au collège et à 80% au lycée pour les séries générales.)
Sur les complexes disons qu'il y avait l'idée de faire des programmes dans leur ensemble, un tout cohérent et que ce n'était pas une mauvaise idée de capitaliser sur la formation géométrique des élèves en utilisant l'intuition acquise. Les polynômes étaient davantage vus en Sup.
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La définition (dite absconse) des nombres relatifs exprime l'idée qu'ils représentent des bilans comptables.
Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$. -
Oui Foys, mais ce n’est pas évident pour un enfant de 12 ans dont l'expérience des nombres négatifs ne se résume pas aux problèmes de perte et bénéfice en "arithmétique", mais touche aussi le thermomètre, l'ascenseur et la chronologie, expériences ordinales où la notion de bilan comptable n'apparait pas nettement à l'origine (les nombres y représentent d'abord des états et non des déplacements).Qui plus est cela peut se faire sentir intuitivement hors de toute construction "rigoureuse" dont la justification n'apparait pas. (Une présentation rigoureuse suppose la notion de classe d'équivalence, notion abstraite qu'il n’est pas raisonnable d'introduire en 5ème, même si c’est ce qui se faisait à l'époque).
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A propos des ascenceurs, je crois que c'est Pierre Cartier qui racontait qu'il avait vu un jeune enfant dans sa famille retrouver tout seul l'addition des relatifs en s'amusant avec les différences de niveau entre les différents étages d'un centre commercial et les différents sous-sols.Il ne faut pas perdre de vue qu'en Cinquième, on veut non seulement que les élèves sachent ce qu'est un nombre relatif, mais aussi qu'ils sachent les additionner et les soustraire. Leur présentation sous forme de classes d'équivalence utile à la définition correcte, ne risque-t-elle pas d'entraver l'apprentissage de l'addition et de la soustraction? Alors qu'un jeune enfant n'éprouve aucune difficulté, bien avant le cours de Cinquième.Même question pour l'apprentissage de la multiplication en Quatrième.
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Si stfj, les manuels des années 70 distinguaient soigneusement l'addition et la soustraction sur les classes d'équivalence, de l'addition et la soustraction sur les entiers naturels. On faisait ainsi des petits cercles autour des signes + et -, avant de conclure ... que l'on pouvait s'en passer. Inutile de préciser que cela passait très largement au-dessus de nos têtes.
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En fait il n'y a pas besoin de quotienter par une relation d'équivalence si on accepte de redéfinir l'égalité.En tout cas:Soit $E$ un ensemble et $r$ une partie de $E^2$.1°) $r$ est dite "relation d'équivalence sur $E$" lorsque(i) pour tout $x\in E$, $(x,x)\in r$(ii) pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in r$ et $(x,z) \in r$ alors $(y,z)\in r$.On supposera désormais dans tout ce qui suit que $r$ est une relation d'équivalence sur $E$.2°), pour tous $a,b$ tels que $(a,b)\in r$, on a également $(b,a)\in r$: en effet,il suffit d'appliquer 1°) (ii) à $x:=a$, $y:= b$ et $z:= a$ puisque $(a,a)\in r$ par 1°) (i).3°) Pour tous $x,y,z\in E$ tels que $(a,b)\in r$ et $(b,c) \in r$ on a $(a,c) \in r$. En effet on a $(b,a)\in r$ par 2°) et on applique 1°) (ii) à $x:= b$, $y:= a$ et $z:= c$.4°) Définition: On appelle classe d'équivalence pour $r$ toute partie non vide $C$ telle que pour tout $x\in C$ et tout $y\in E$, $(x,y)\in r$ si et sulement si $y \in C$.5°) Tout élément de $E$ appartient à une classe d'équivalence pour $r$ et une seule.Unicité: Soient $C,D$ deux classes d'équivalence et $x\in C \cap D$. Soit $y\in C$. Alors $(x,y)\in r$ et donc $y \in D$. Donc $C \subseteq D$. On démontre exactement de la même façon que $D \subseteq C$. Donc $C = D$.Existence: soit $t\in E$. Soit $A:= \{y \in E \mid (t,y) \in r\}$. Montrons que $A$ est une classe d'équivalence pour $r$.-Comme $(t,t)\in r$, $A$ contient $t$ et donc $A$ est non vide. Cela montre aussi que $t\in A$.-Soit $x \in A$. (*) Soit $y \in A$. Alors $(t,x)\in r$ et $(t,y)\in r$. Donc $(x,y)\in A$ par 1°) (ii).(**) Soit $y'\in E$ tel que $(x,y')\in r$. Comme $(t,x)\in r$, on a également $(t,y')\in A$ d'après 3°) et donc finalement$A$ est une classe d'équivalence contenant $t$. CQFD.6°) On appelle "ensemble quotient de $E$ par $r$" et on désigne par $E/r$ l'ensemble de toutes les classes d'équivalence de $E$ par $r$.7°) Soit $\pi_r$ l'ensemble de tous les couples $(x,C)$ tels que $x\in E$ et $C$ est une classe d'équivalence pour $r$ contenant $x$. Alors le point 5°) entraîne que $\pi_r$ est une fonction (cf signature de votre serviteur) dont le domaine est $E$ et l'image est $E/r$ tout entier. Il découle également de 5°) que pour tous $x,y\in E$, $\pi_r (x) = \pi_r (y)$ si et seulement si $(x,y)\in r$. D'après le raisonnement tenu au 5°) on a pour tout $x\in E$ l'égalité $\pi_r (x) = \{y _in E \mid (x,y) \in r\}$ et on dit que $\pi_r(x)$ est la "classe d'équivalence de $x$ pour $r$".Dans les deux numéros suivants, $n$ désigne un entier et $(E_i)_{1 \leq i \leq n}$ et $(r_i)_{1 \leq i \leq n}$ deux familles telles que pour tout $i\in \{1,...,n\}$, $r_i$ est une relation d'équivalence sur $E_i$.8°) Soit $f$ une fonction de domaine $\prod_{i=1}^n E_i$ qui est telle que pour tous $x,y \in \prod_{i=1}^n E_i$ tels que pour tout $i\in \{1,...,n\}$, $(x_i,y_i)\in r_i$, on a $f(x) = f(y)$ (***). Alors il existe une fonction $g$ et une seule, de domaine $\prod_{i=1}^n E_i /r_i$, et telle que pour tout $z\in \prod_{i=1}^n E_i$, $g \left ( \left ( \pi_{r_i} (z_i)\right )_{1\leq i \leq n}\right ) = f(z)$ (****).Unicité: soit $A= (A_i)_{1 \leq i \leq n} \in \prod_{i=1}^n E_i$. Alors pour tout $i\in \{1,..,n\}$, $A$ est non vide et donc $\prod_{i=1}^n A_i$ est non vide (par récurrence sur $n$ si vous n'aimez pas l'axiome du choix). Soit $(x_i)_{1 \leq i \leq n} \in \prod_{i=1}^n A_i$. Alors pour tout $i$, $\pi_{r_i} (x_i) = A_i$. Soient $g_1, g_2$ deux applications satisfaisant (****) de l'énoncé du 8°). Alors $g_1(A) = g_1 \left ( \left ( \pi_{r_i} (x_i)\right )_{1\leq i \leq n}\right ) = g_2 \left ( \left ( \pi_{r_i} (x_i)\right )_{1\leq i \leq n}\right ) = g_2(A)$Existence: Soit $g$ l'ensemble de tous les couples $(C,y)$ tels que $C\in \prod_{i=1}^n E_i/r_i$ et tels qu'il existe $x\in \prod_{i=1}^n C_i$ tel que $f(x) = y$. Alors $g$ est une fonction (soit $D=\prod_{i=1}^n D_i \in \prod_{i=1}^n E_i/r_i$ et $a,b$ tel que $(D,a)$ et $(D,b)$ sont dans $g$; il existe alors $x,y\in \prod_{i=1}^n D_i$ tels que $f(x) = a$ et $f(y) = b$; or pour tout $i\in \{1,...,n\}$, $x_i \in D_i$ et $y_i \in D_i$ et donc $(x_i,y_i)\in r_i$; et donc d'après (***), $f(x)= f(y)$ c'est-à-dire $a = b$). Soit $C= (C_i)_{1 \leq i \leq n} \in \prod_{i=1}^n E_i/r_i$. Soit $z := (z_i)_{1 \leq i \leq n} \in \prod_{i=1}^n C_i$ (qui à nouveau est non vide, voir la partie d'unicité). Alors $\left ( C, f(x)\right) \in g$ et donc $C$ est dans le domaine de $g$. Soit maintenant $z = (z_i)_{1 \leq i \leq n} \in \prod_{i=1}^n E_i$. Comme pour tout $j\in \{1,...,n\}$ on a $z_j \in \pi_{r_j} (z_j)$, on a aussi $z \in \prod_{i=1}^n \pi_{r_i} (z_i)$ et donc $\left ( \left ( \pi_{r_i} (z_i)\right )_{1 \leq i \leq n}, f(z)\right) \in g$. Mais cela entraîne automatiquement que $g \left ( \left ( \pi_{r_i} (z_i)\right )_{1\leq i \leq n}\right ) = f(z)$.9°) Soit $F$ un ensemble et $s$ une relation d'équivalence sur $F$. Soit $h$ une fonction de $\prod_{i=1}^n E_i$ dans $F$. On suppose que pour tous $x=(x_i)_{1\leq i\leq n}$ et $y=(y_i)_{1\leq i\leq n}$, si pour tout $j\in \{1,...,n\}$ on a $(x_j, y_j)\in r_j$, alors $\left ( h(x), h(y) \right ) \in s$. Alors il existe une unique application $\tilde h$ de $\prod_{i=1}^n E_i/r_i$ dans $F/s$ telle que pour tout $z\in \prod_{i=1}^n E_i$, $\tilde h \left (\left ( \pi_{r_i} (z_i)\right )_{1 \leq i \leq n} \right ) = \pi_s \left (h(z) \right )$.Ce résultat st une conséquence immédiate de 8°) appliqué à $f:= \pi_s \circ h$ (qui vérifie la condition (****) de 8°)).Les résultats du 8°) et du 9°) sont surtout utilisés lorsque $n=1$ ou $2$: on dit que l'on a "défini une application par passage au quotient"###################################Définition de $\Z$. On pose $\mathfrak D := \{((a,b),(c,d)) \in (\N^2)^2 \mid a+d = c + b\}$.10°) $\mathfrak D$ est une relation d'équivalence sur $\N^2$.En effet: (i) pour tout $(a,b)\in \N^2$ on a $a+ b = a+b$ et donc $((a,b), (a,b)) \in \frak D$.D'autre part soient $(x,x'), (y,y')$ et $(z,z') \in \N^2$ tels que $((x,x'), (y,y')) \in \frak D$ et $((x,x'), (z,z')) \in \frak D$, c'est-à-dire $x+y' = y + x' $ et $x+z' = z + x'$. Alors $x + (y + z') = (x+z')+ y = (z+ x') + y = z + (y + x') = z + y' + x = x + (z + y'))$ et en simplifiant par $x$ cette égalité on retrouve $y+ z' = z + y'$ c'est-à-dire $((y,y'), (z,z')) \in \frak D$ ce qui est le résultat voulu.On définit alors $\Z:= \N^2/\frak D$.Pour tous $(a,b), (c,d) \in \N^2$ on pose $(a,b)+' (c,d):= (a+c, b+d)$; $(a,b) -' (c,d):= (a+ d, b+ c)$ et $(a,b) \times ' (c,d):= (ab+cd, ad + bc)$.
11°) Pour tous $(a_1, b_1), (a_2, b_2), (c_1, d_1)$ et $(c_2, d_2)$ tels que $((a_1,b_1), (a_2, b_2)) \in \frak D$ et$((c_1,d_1), (c_2, d_2)) \in \frak D$, on a également, lorsque $\Box$ désigne un quelconque des trois symboles $+', -'$ ou $\times '$, $\left ((a_1, b_1)\Box (c_1, d_1) , (a_2, b_2) \Box (c_2, d_2)\right) \in \frak D$ ce qui entraîne (9°)) l'existence de fonctions $+'', -''$ et $\times ''$ de $\Z^2$ dans $\Z$ (notées habituellement $+,-,\times$) vérifiant les propriétés indiquées dans ce paragraphe.La preuve est laissée en exo car je suis pressé (!!)
Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$. -
Il y a une autre définition des entiers relatifs plus efficace mais totalement ad-hoc. Soient $a,b,c$ trois ensembles distincts (qu'on peu renommer en "$+,-, \bullet$"). On pose $\N^*:= \N \backslash \{0\}$ et on pose $\Z:= (\{+\} \times \N^*) \cup (\{\bullet\} \times \{0\}) \cup (\{-\} \times \N^*)$. Ensuite on définit les opérations de $\Z$ au cas par cas à partir de celles de $\N$.Informatiquement ça se tient: par exemple on appelle nombre binaire strictement positif un élément de la structure $B$ définie par la grammaire $u:B |f_0 : B \to B | f_1: B \to B$. On a donc $u \in B, f_0 u\in B$, $f_1f_0f_1f_1 u \in B$ etc. Les notations "$x \bf 0$" et "$x \bf 1$" sont peut-être plus parlantes pour respectivement $f_0 x$ et $f_1 x$: les exemples précédents deviennent $u$, $u\mathbf 0$ et $u \bf 1101$.On peut alors remplacer $\N^*$ par $B$ dans la définition précédente de $\Z$.1°/ Pour tout $x\in B$ on définit par induction sur la longueur de $x$, $Succ(x)$ de la façon suivante:-$Succ(u):= u\bf 0$-$Succ (y \mathbf 0):= y \bf 1$-$Succ (y \mathbf 1):= \left (Succ (y) \right) \bf 0$.2°/ Ensuite, pour tous $x,y \in B$ on définit $x+y$ par induction en posant:$u + x:= x + u := Succ(x)$$a \mathbf 0 + b \mathbf 0 := (a+b)\mathbf 0$$a\mathbf 1 + b\mathbf 0 := a \mathbf 0 + b \mathbf 1 = (a+b)\mathbf 1$$a\mathbf 1 + b \mathbf 1:= \left (Succ (a+b) \right)\bf 0$.3°/ Ensuite on définit, toujours par induction sur $x,y$, $x \times y$ par$x \times u := u \times x := x$$a\mathbf 0 \times b\mathbf 0:= (a \times b) \bf 00$$a \mathbf 0 \times b \mathbf 1 := \left ((a \times b) \mathbf 0 + a \right) \bf 0$
$a \mathbf 1 \times b \mathbf 0 := \left ((a \times b) \mathbf 0 + b \right) \bf 0$
$a \mathbf 1 \times b \mathbf 1 := \left ((a \times b) \mathbf 0 + a + b \right) \bf 1$4°/ La construction d'un test d'égalité (par induction à nouveau) entre éléments de $B$ est évidente.5°/ On définit par induction sur $x,y\in B$:$comp(x,y) \in \{faux, vrai\}$ par:$comp(x,u)$ est toujours vrai si $x \neq u$ et $comp (u,x)$ est toujours faux.$comp (a\mathbf 1, b\mathbf 1) := comp(a \mathbf 0, b\mathbf 0):= comp (a \mathbf 0 , b \mathbf 1):= comp (a,b)$.$comp (a \mathbf 1, a \mathbf 0)$ est vrai et si $a \neq b$, $comp (a\mathbf 1, b\mathbf 0) = comp (a,b)$."$comp (x,y) = vrai$" se lit "$x$ est strictement supérieur à $y$" et se note $x > y$ ou encore $y < x$.6°/ On pose par induction $préd(u):= préd (u \mathbf 0) := u$, $préd(a \mathbf 1) := a \mathbf 0$ et (lorsque $a \neq u$, sinon voir première clause) $préd (a \mathbf 0):= \left (préd (a)\right) \bf 1$.7°/ On définit par induction sur $x,y\in B$: $x - y$ par:$u - x := u$, $x - u:= préd (x)$$a\mathbf 1 - b \mathbf 1:= a \mathbf 0 - b \mathbf 0 := (a - b) \mathbf 0$$a\mathbf 1 - b \mathbf 0 =(a - b)\mathbf 1$$a\mathbf 0 - b \mathbf 1 := (préd (a - b))\bf 1$.
On peut montrer que $a - b$ fournir un résultat correct pour tous $a,b$ tels que $a>b$ (dans le cas contraire que fait cette opération ? Ca n'aura pas d'importance de toute façon).rappelons que désormais, $\Z = (\{+\} \times B ) \cup (\{\bullet\} \times \{0\}) \cup (\{-\} \times B )$.Soient $x,y \in \Z \backslash \{(\bullet, 0)\}$.On pose $x =: (\sigma_a,a)$, $y=: (\sigma_b,b)$. On a donc $\sigma_a$ et $\sigma_b$ dans $\{+,-\}$.8°/ On pose $t + (\bullet, 0):= t$ pour tout $t \in \Z$.On pose $x + y:= (\sigma_a, a + b)$ lorsque $\sigma_a = \sigma_b$.-Si $\sigma_a = +$ et $\sigma_b= -$ on pose $x + y:= (\bullet, 0)$ si $a=b$, $(+, a - b)$ si $a > b$ et $(-, b-a)$ si $a <b$
-Si $\sigma_a = -$ et $\sigma_b= +$ on pose $x + y:= (\bullet, 0)$ si $a=b$, $(-, a - b)$ si $a > b$ et $(+, b-a)$ si $a <b$9°/ On pose $- (\bullet, 0):= (\bullet, 0)$, $- (+, z):= (-, z)$ et $- (-, z):= (+, z)$ pour tout $z\in B$.On pose $x \times y:= (\tau, a \times b)$ où $\tau := +$ si $\sigma_a = \sigma_b$ et $\tau := -$ lorsque $\sigma_a \neq \sigma_b $ .11°/ On pose $p - q:= p + (-q)$ pour tous $p,q \in \Z$.12°/ On abrège $(\bullet, 0)$ en "$0$" et $(+,n)$ en $n$ pour tout $n \in B$.13°/ définir la relation d'ordre habituelle sur $\Z$ (exo).Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$. -
A l'école primaire (celle qui existait dans la troisième république en tout cas) on préfère utiliser la base 10 (celle que les gens rencontrent couramment dans leur vie) plutôt que la base 2 pour faire tout ce que je viens de faire dans mon message précédent (car c'est bien de ces opérations dont il s'agit).
Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$. -
Mathurin a dit :(Dans l'ensemble je pense que cette réforme était bonne à 20% au collège et à 80% au lycée pour les séries générales.)@Mathurin Oui, c'est un peu mon ressenti aussi. J'ai pu mettre la main sur différents manuels conservés chez mes parents, d'eux-mêmes ainsi que de mes grand-parents, soit une bonne quarantaine d'années d'après-guerre, et il me parait assez clair que le programme qui se faisait appeler mathématique moderne était totalement ubuesque au collège.Pourtant, certains auteurs introduisaient déjà « avec la plus grande prudence », au début des années 60, de petits éléments “modernes” tels que les ensembles et leurs éléments, intersections et réunions d'ensembles, relations binaires (sans les nommées mais en donnant leurs propriétés), "équipollence" des vecteurs… tout en conservant les programmes déjà préexistant. Ces programmes avaient fait leurs preuves depuis plusieurs décennies et je trouve dommage qu'ils aient été jetés à la poubelle dans un nuisible excès de formalisme plutôt que de s'être inspiré de ces auteurs de manuels en adaptant les programmes (ou même simplement les cours des professeurs ainsi que les manuels) par petites touches.Pour ce qui est des programmes de lycée, mon avis serait mi-figue mi-raisin : il y avait très largement du bon, surtout pour les filières purement scientifiques (encore que : étaient-ce bien utiles de donner tout ce formalisme à des élèves qui allaient en filière D ?) dont il avait finalement été montré qu'il était possible de tout enseigner, à des élèves ayant reçu l'enseignement classique en amont, en trois années de lycée vu que les programmes de 1968 commençaient à chaque palier de l'enseignement public (en primaire au CP, au collège en 6ème ainsi qu'au lycée en 2nde).
En revanche, je suis bien plus mitigé sur le cas des autres filières, aussi bien littéraires que professionnelles et techniques ont eu à faire à tout ça. Encore une fois, une nuisance par excès (d'orgueil ?) -
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@Math Coss la symétrie est entraînée par les axiomes tels qu'ils sont formulés (cf point 2°; en fait c'est équivalent cependant il est vrai que les gens préfèrent séparer transitivité et symétrie).
Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$. -
Dans les années 60 il n'y avait pas de complexes :- John (Horton) Conway a établi qu'il y a soixante-quatre formes de "pas compris ce que racontait wikipédia" convexes excluant deux ensembles infinis de formes prismatiques.- Paul Cohen dansait le forcingils avaient des repères orthonormés quand même
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