Lieu géométrique

bd2017

Bonjour

@Léon Claude Joseph, à mon avis, pour faire la démonstration sans passer par l'inversion, il est utile de connaître le centre du lieu décrit par l'un des deux points. Ce centre est à l'intersection des deux bissectrices (en pointillés sur   la figure ci-jointe). Pour le second point, on devine aisément où se situe le centre du cercle. 

La démonstration passe par une chasse à l'angle un peu pénible.     

Léon Claude Joseph

 bd2017, merci d'avoir lu ma petite contribution.
Ma construction s'est limitée à celle du deuxième centre à partir du premier choisi. Cabri indique, en fonction de la position du premier centre,   que chacun des points d'intersection des deux cercles décrit une partie du lieu, à l'exception d'un cercle entier. 
Désolé, je n'ai trouvé aucun chemin conduisant à une solution complète. En présentant mon début de construction j'espérais qu'une suite serait possible.

cailloux

Bonjour,
Une autre construction possible de $C_2$ à partir de $C_1$ avec  le point fixe $H$ :

Il y a quelques ressemblances avec celle de Léon Claude Joseph.

Léon Claude Joseph

Ta construction Cailloux est plus simple que la mienne. Il nous reste à démontrer que les angles en M et N de base [A1, A2] sont constants. 

cailloux

Ce n'est pas compliqué :
$r_1$ et $r_2$ sont les rayons des cercles de centres $C_1$ et $C_2$.
D'une part : $HC_1^2-HA_2^2=HC_1^2-HA_1^2=C_1A_1^2=r_1^2$
D'autre part avec $HC_1^2-HA_2^2=r_1^2$, la droite perpendiculaire à $(C_1A_2)$ issue de $H$ est le lieu des points $P$ tels que $PC_1^2-PA_2^2=r_1^2$
Lorsque $P=C_2$, on a $C_2C_1^2-C_2A_2^2=r_1^2$ ou encore $C_2C_1^2=r_1^2+r_2^2$
Les deux cercles $(C_1)$ et $(C_2)$ sont orthogonaux.