Nature d'une série

Sachaben

Bonsoir 
Je dois trouver la nature de la série de terme général : (-1) ^ [ln (n)] /n.
J'essaie de raisonner par paquet de n tel que [ln n] =p mais je n'arrive pas à caractériser le paquet.
Une idée pour résoudre le problème.
Merci par avance 
Cordialement

Math Coss

Tu peux commencer par donner une approximation de $\sum_{n=a}^b\frac1n$ par une comparaison série intégrale.

Ensuite, tu peux écrire quels sont les points où le signe change et déduire de l'estimation précédente le comportement de la série.

Sachaben

J'apprécie la somme entre a et b des 1/n par ln(b+1) - ln(a). (-1)^[ln(n)] garde un signe constant entre n et n*e. Je somme des paquets de signe constant entre n et n*e. C'est ça?

aléa

Tu peux regarder les $n$ qui vérifient $e^{k}\le n<e^{k+1}$, où $k$ est un entier naturel.

Sachaben

Merci alea. Il y en a [e^(k+1)]-[e^(k)]+1.
L'équivalent du cardinal de cet ensemble est e^k*(e-1).
Ensuite je somme par paquet. 
Dans un paquet à signe (-1)^k, j'ai un majoration et minoration d'equivalents qui ne me permettent pas de conclure .
(e-1)/e et (e-1)

Sachaben

La somme des (-1)^k*constante diverge, donc ça diverge?

Math Coss

Il faut formaliser mais c'est ça (sauf erreur de ma part).

Hypocrates

On peut aussi comparer avec l'intégrale de $1/x^{1-i\pi}$ qui diverge. 

jean lismonde

Bonsoir 

Ta série alternée converge vers $(\gamma - \frac{1}{2}ln2)ln2$
avec $\gamma$ la constante d'Euler

la convergence de la série est facile à prouver avec la dérivée de $ln(x)/x$ égale à $\frac{1-lnx}{x^2}$
négative pour x > e et donc à partir de n= 3 on est certain de la décroissance de la suite $\ln(n)/n$

la convergence de cette série de Bertrand est implosive vers la limite indiquée, que l'on peut déterminer
à partir de la transformée de Laplace
$\int_0^{+\infty}e^{-pu}lnu.du=-\frac{1}{p}(\gamma + lnp)$ 
et la détermination de l'intégrale
$\int_0^{+\infty}\frac{lnu}{1+e^u}du= -\frac{1}{2}(ln2)^2$
avec le développement en série de $e^{-u}/(1+e^{-u})$ et intégration terme à terme 

la série alternée converge
alors que la somme algébrique $\Sigma_2^{\infty}\frac{ln(n)}{n}$ diverge comme (1/2)ln²n

Cordialement

Math Coss

J'ai l'impression que tu confonds \[\sum_{n\ge2}\frac{(-1)^{\lfloor \ln n\rfloor}}n\quad\text{et}\quad \sum_{n\ge2}(-1)^n\frac{\ln n}{n}.\]La première n'est pas une série alternée.

LOU16

Bonjour,

$\forall n\in \N^*,\quad S_n:= \displaystyle \sum_{k=1}^n\dfrac{(-1)^{\lfloor\ln k\rfloor}}k.$

Pour tout $n\in \N^*,\: (-1)^{\lfloor \ln k\rfloor}\: $conserve un signe constant lorsque $k$ décrit $[\![ \lfloor\mathrm e^n\rfloor +1;\:\lfloor\mathrm e^{n+1}\rfloor ]\!]$

$(k\in [\![ \lfloor\mathrm e^n\rfloor +1;\:\lfloor\mathrm e^{n+1}\rfloor ]\!] \iff n<\ln k<n+1)$

$\left|S_{\lfloor \mathrm e^{n+1}\rfloor} -S_{\lfloor \mathrm e^n\rfloor}\right|= \displaystyle \sum_{k =\lfloor \mathrm e^n\rfloor +1}^{\lfloor \mathrm e^{n+1}\rfloor}\dfrac 1k \geqslant \displaystyle \sum_{k =\lfloor \mathrm e^n\rfloor +1}^{\lfloor \mathrm e^{n+1}\rfloor}\int_{k}^{k+1}\dfrac 1t \mathrm dt =\ln\left(\lfloor \mathrm e^{n+1}\rfloor +1\right)-\ln\left(\lfloor \mathrm e^n\rfloor+1\right)\geqslant 1- \ln(1+\mathrm e^{-n}) ,$

$\text {La suite }\left(\left|S_{\lfloor \mathrm e^{n+1}\rfloor} -S_{\lfloor \mathrm e^n\rfloor}\right|\right) _n \text{ ne converge pas vers }0. \qquad\text{La série }\displaystyle \sum_{n\geqslant 1}\dfrac{(-1)^{\lfloor \ln n\rfloor}}n \text{ diverge.}$