Qui comprend les séries de Ramanujan ?

Romyna

La somme de Ramanujan : 1 + 2 + 3 + ⋯ + ∞ = -1/12 ? Que démontrer dans une {R} ou partie d'ensemble à sommes définies ?

JLapin

La fonction de la variable complexe $$z\mapsto \displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty} \dfrac{1}{n^z}$$

possède comme domaine de définition le demi-plan des complexes $z$ vérifiant $\mathrm{Re}(z)>1$.

Cette fonction possède également un unique prolongement analytique sur $\C\setminus \{1\}$ qui vaut $-\dfrac{1}{12}$ en $-1$.

Pour plus de détail, consulte un ouvrage d'analyse complexe.

Tout le reste sur cette constante et cette série $\sum k$ n'est que verbiage sans grand intérêt mathématique.

Romyna

Ce qui reste contradictoire pour le béotien ou le commun des lecteurs est qu'une somme clairement divergente car de termes positifs en plus de +infini (n'importe quoi de supérieur au positif) délivre une valeur négative et de plus, apparemment arbitraire. 

Médiat_Suprème

Parce que ce n'est pas la somme "usuelle" ne serait-ce que parce qu'une somme infinie de termes n'existe pas (logiques usuelles)

JLapin

JLapin a dit :

Tout le reste sur cette constante et cette série $\sum k$ n'est que verbiage sans grand intérêt mathématique.

Ton message fait partie de ce que j'appelle "le reste". La bonne relation sur la somme des entiers est celle-ci :

$$\sum_{n=1}^{+\infty} n = +\infty.$$

Ce qui vaut $-1/12$, c'est bien autre chose (lié aux nombres de Bernoulli par exemple).

i.zitoussi

Il y a le même phénomène avec plein d'autres séries et on n'en fait pas tout un foin.
Par exemple, soit la somme $S=\sum_{i\geq 0}13^i$. On pourrait essayer de justifier que $S=-1/12$ (en effet, $13S=\sum_{i\geq 0}13^{i+1}$ $= \sum_{i\geq 1}13^i$  $= S-1$. Donc $13S=S-1$, etc). Cependant c'est faux. $S$ est infinie.
Ce qui est vrai est que la série $f(z)=\sum_{i\geq 0}z^i$ est convergente dans le disque $|z|<1$, et que dans ce disque elle est égale à la fonction $g : z\mapsto \frac{1}{1-z}$. A l'extérieur du disque, il n'y a pas d'égalité puisque $f$ ne converge pas. C'est $g(13)$ qui vaut $-1/12$. Pas $f(13)$.

Math Coss

Il y a tout de même tout une industrie très sérieuse ppur donner un sens à des sommes plus générales que les sommes finies. Comme l'a très bien dit @Médiat_Suprème, ça commence avec les séries convergentes. Après il y a d'autres façons de généraliser la somme à des séries divergentes que celle indiquée par @JLapin : moyenne de Cesaro, multiplication du $n$-ième terme par $x^n$ et limite en $x=1^-$, multiplication du $n$-ième terme par $\exp-nt$ et limite en $t=0$ et d'autres que je ne connais pas (certaines coïncident peut-être).

Médiat_Suprème

Dans le cas des séries convergentes, il faut avoir en tête que l'écriture $\displaystyle \sum_{k=1}^\infty u_k$ est une abréviation (limite abus d'écriture) pour $\displaystyle \lim_{n\to \infty}\sum_{k=1}^n u_k$, qui ne met en cause que des sommes finies.
Sinon, il y a bien d'autres façons de considérer les suites divergentes, par exemples (et il y en a d'autres) : les hyper-nombres de Burgin.

jean lismonde

Bonsoir

cette somme attribuée (faussement) à Ramunujan est absurde : le résultat est + oo
et la série est trivialement divergente ; 
la somme arrêtée au rang n soit n(n+1)/2 diverge pour n infini
comme n²/2 (équivalent asymptotique), ce n'est pas la peine d'aller plus loin

cordialement

Math Coss

Ce qui est absurde, c'est de penser qu'il est évident que le cosinus tend vers $0$ à l'infini et ne pas imaginer qu'il y a d'autres façons de faire converger des séries divergentes.

Poirot

Curieux de voir jean lismonde dire cela alors qu'il affirme depuis des années sur ce forum que la fonction cosinus tend vers $0$ en $+\infty$ !

Pour se renseigner sur les méthodes de sommation de séries divergentes, je recommande le livre sur le sujet de Bernard Candelpergher chez Calvage & Mounet.

manu

On peut aussi conseiller ce magnifique texte de JP Ramis: https://www.math.polytechnique.fr/xups/xups91.pdf

depasse

Il y a aussi Jean Pierre Ramis qui a publié sur ces questions.
Quant à @jean lismonde , il est en droit de virer sa cuti! Il continuera d'être des nôtres!
EDIT: doublé par Manu!

JLapin

A noter qu'il n'existe pas de méthode de sommation, vérifiant les axiomes raisonnables, permettant de calculer autrement $1+2+...+n+...$

cf https://scienceetonnante.com/2014/01/20/le-scandale-des-series-divergentes/ (chercher "hic" dans le post).

Hypocrates

Dans le style des séries non convergentes, il y a aussi plus simplement
$$
1-1+1-1+1-\ldots =1/2
$$

Romyna

Cf. Ramanujan notebooks - Part 1
https://archive.org/details/ramanujanslostnotebook-parti.2005.georgee.andrews.brucec.berndt2

Romyna

Cf. Ramanujan notebooks - Part 2
https://archive.org/details/ramanujan_notebooks_ii

Fin de partie

Cette escroquerie mathématique revient régulièrement dans le forum.

Romyna

Médiat_Suprème

@Fin de partie et ce qui est dommage, c'est que wikipedia ne tombe pas dans cette escroquerie

Fin de partie

@Romyna:  L'article que tu as mis en copie dans le forum est complètement c.. d'une certaine façon.

Ramanujan s'intéressait à un domaine assez restreint des mathématiques. Il n'avait sans doute pas beaucoup d'autres connaissances solides dans d'autres domaines des mathématiques et le score obtenu mentionné dans l'article montre seulement qu'il n'avait pas toutes les connaissances qu'on demande à un étudiant*.

Je suis à peu près sûr que Ramanujan avait ses marottes en mathématiques et que cela devait le barber d'apprendre des trucs qui ne lui servaient à rien directement pour se consacrer à ses marottes mathématiques.

Cet article donne plus à voir sur la mythologie autour des prétendus génies qui devraient être omniscients dans le domaine où on leur prête du génie selon cette croyance.

*: je pense que beaucoup d'étudiants seraient contents d'obtenir un tel score.

Chaurien

L'existence des génies trouble les médiocres adorateurs sectaires de la déesse Égalité. Contre toute évidence, ceux-ci décrètent que les génies n'existent pas. Ce n'est plus une opinion, c'est une maladie mentale. Heureusement, la mémoire de Ramanujan, authentique génie,  ne souffre pas de pareilles sottises indécentes.

Fin de partie

@Chaurien:  Cela ne me trouble pas, cela me confirme que le monde est rempli de croyances et de croyants.

Cela me désespère que des gens instruits s'adonnent à ce genre de croyances. J'y vois une des causes des malheurs qui frappent l'humanité.

Romyna

L'Égalité n'est pas une déesse mais un principe républicain liée à notre devise. L'égalité de droits comme de moyens d'accès,

doit permettre à quiconque, qu'il soit issu de la caste des Intouchables ou peu censé étudier, d'acquérir le savoir de mat(h)s. 

Aussi génie qu'on puisse penser être, on a toujours besoin d'un autre que soi pour démontrer ses conjectures en théorèmes.

Cf. Un schéma unifié d'approche des conjectures de Ramanujan, André Unterberger, UDR, CNRS UMR9008: https://arxiv.org/pdf/2004.00284v6

Chaurien

L'égalité républicaine est une égalité de droits, qui n’implique pas l’égalité des conditions ni des talents. L'article premier de la Déclaration des droits de l'homme et du citoyen de 1789 dit que : « Les hommes naissent et demeurent libres et égaux en droits. Les distinctions sociales ne peuvent être fondées que sur l'utilité commune.» Ces distinctions sont donc prévues, si elles sont légitimes. Notons au passage que les mesures de discrimination dite positive en faveur de groupes sociaux réputés plus intéressants sont contraires à ce principe, mais passons, ce n'est pas le sujet.

Que chacun ait besoin des autres, c'est le degré zéro de la banalité et n'a rien à voir avec la question. Dans l'histoire des sciences, c'est l'apport des génies qui assure le progrès, encore une banalité. 

La biographie de Ramanujan est exemplaire et force le respect et même l'émotion, notamment en ce qui concerne la relation avec Hardy.  Ceux qui n'y sont pas sensibles, je les plains.

Il ne faut pas avoir honte d'admirer le beau, le bien, le vrai, le génie. Ne pas y consentir, c'est le propre d'une âme aigrie, envieuse, basse.

Romyna

Qui est intuitif n'est pas démonstratif...
L'intuition est l'orée en démonstration.

gebrane

Avec un logiciel de calcul formel, il est possible d'imiter les calculs de Ramanujan. Par exemple, le logiciel peut donner $\lim_{n \to \infty} \int_{0}^{1} \frac{nx^n}{1 + x} dx=\frac 12$, mais démontrer ce résultat est une autre affaire. Personnellement, je ne sais pas car je n'ai pas tenté.

moinsun

(Pour le démontrer, considérer $\int_0^1 \frac{(n+1)x^n}{1+x} \mathrm{d}x$ et faire le changement de variable $u = x^{n+1}$ puis utiliser deux fois le théorème de convergence dominée (une fois pour montrer qu'une intégrale est résiduelle, cad. qu'elle tend vers $0$, l'autre fois pour faire apparaître le fameux $1/2$).)

gebrane

Joli.
Tu me donnes l'idée d'examiner une IPP ,   $u'=x^n$ et $v=\frac{1}{1+x}$ , elle fonctionne également sauf étourderie .
Cela démontre que nous pouvons tous devenir des Ramanujan. Un exemple , Je suis tombé par hasard sur cette limite \(\lim_{n \to \infty} \frac{n^2}{2} \left(1-\frac{\pi}{n}\cot\left(\frac{\pi}{n}\right)\right)\) dans une discussion récente. Je ne sais pas si on peut justifier cette limite simplement sans utiliser un résultat de la discussion.

jean lismonde

Bonjour Poirot

je n'ai pas du tout viré ma cuti : la limite de cos(x) ou sin(x) en l'infini
n'est nullement liée au résultat attribué faussement à Ramanujan,
elle se démontre assez facilement à condition d'admettre
que les fonctions de variation alternée n'obéissent pas forcément
aux mêmes propriétés asymptotiques que les fonctions monotones

tu connais l'intégrale de Dirichlet : $\int_0^{+\infty}\frac{sint}{t}dt=\frac{\pi}{2}$
tu fais le changement de variable x = lnt il vient l'intégrale :
$\int_{-\infty}^{+\infty}sin(e^x)dx = \frac{\pi}{2}$
ce qui suppose forcément que limite de $sin(e^x)$ en plus l'infini est nulle
sinon Dirichlet est à jeter aux oubliettes des mathématiques
aux bons soins de notre ami Poirot 

Cordialement

Fin de partie

@Chaurien:  L'égalité républicaine n'a rien à voir avec ta croyance dans le mythe du génie qui est dans ta tête. On  peut être contre cette égalité sans d'adonner à la croyance dans ce mythe.

Rescassol

Bonjour,

Il faudrait que chacun donne sa définition du mot "génie".
Le Larousse dit:
Aptitude naturelle de l'esprit de quelqu'un qui le rend capable de concevoir, de créer des choses,
des concepts d'une qualité exceptionnelle.
Donc, d'après FdP, ce qu'a fait Ramanujan n'a rien d'exceptionnel. J'attends qu'il en fasse autant.
D'autre part, ce que dit FdP est une croyance, l'affirmation sans preuve que quelque chose n'existe pas.

Cordialement,
Rescassol

gerard0

De Boris Vian : 

Il y a deux sortes de génies : Les génies doués et les génies pas doués."Le génie est une longue patience" est une réflexion de génie pas doué.

Vassillia

M'enfin le génie, c'est le bonhomme qui sort de la lampe dans Aladin et il faut admettre que cela n'existe pas jusqu'à preuve du contraire.
Plus sérieusement, est-ce qu'il y a des personnes plus douées dans certaines matières ? Oui de la même manière qu'il y a des personnes plus grandes ou plus ...
Mais je ne vois aucune raison de les admirer pour autant. Les critères jugés admirables ou beaux sont propres à chacun et chacune. Pour moi, c'est la manière dont la personne utilise ses propres capacités pour faire le bien autour d'elle, du moins selon ma conception du bien. De ce point de vue, je ne sais pas si Ramanujan était admirable, je ne connais pas son histoire et elle ne m'intéresse pas plus que ça mais en tout cas, son talent en maths, dont je suis plutôt convaincue, n'est clairement pas suffisant. Et je peux admirer un ou une prof de collège qui s'investit pour ses élèves. Je plains les gens qui admirent un tel ou un tel juste parce qu'il est plus matheux, plus grand... J'imagine, peut-être à tort, que cela vient d'une envie d'être comme eux autrement dit d'une frustration de ne pas l'être.

Fin de partie

@Rescassol : Le croyant pense que c'est un truc quasi-surnaturel qui vous fait connaître toutes les réponses dans le domaine où vous êtes supposé être un génie. Un génie ne se trompe pas, il n'est jamais médiocre...De la mythologie quoi.

NB:

Evidemment le croyant se rappellera seulement des fois où le prétendu génie a brillé par son travail jamais quand il a été minable.

Rescassol

Bonjour,

FdP, ça ne correspond pas à la définition que j'ai donnée. Ne déforme pas.

Cordialement,
Rescassol

Romyna

En---suite

Vassillia

Désolée mais ne pas être en capacité de trouver la réponse attendue pour passer un test standard, quitte à changer le jeu par la suite une fois recruté, me semble plus être révélateur de difficulté d'adaptation que du génie or si l'intelligence, c'était justement de s'adapter...

Fin de partie

\begin{align}U_n&=\int_0^1\frac{nx^n}{1+x}dx\\
U_{n+1}+U_n&=\int_0^1\frac{(n+1)x^{n+1}+nx^n}{1+x}dx\\
&=\int_0^1\frac{x^{n+1}}{1+x}dx+\int_0^1nx^ndx\\
&=\underbrace{\int_0^1\frac{x^{n+1}}{1+x}dx}_{\leq \frac1{n+1}}+\frac{n}{n+1}\\
\end{align}
Si la suite $(U_n)$ converge sa limite est donc forcément $\dfrac12$

Il ne reste plus qu'à démontrer que cette suite est croissante (numériquement c'est ce qu'on constate) et qu'elle est majorée.

PS:

On n'a peut-être pas besoin de montrer que la suite est croissante et est majorée.

Il me semble que le critère de Cauchy est aisément applicable ici.

PS2:

La majoration est facile puisque: \begin{align}U_n\leq \int_0^1 nx^ndx=\frac{n}{n+1}\leq 1\end{align}

Médiat_Suprème

Ce genre de test permet de déterminer ceux qui pensent comme la majorité (dans le meilleur des cas) ou ceux qui pensent comme le créateur du test (dans le pire des cas si différent du précédent).

Voir l'excellent film "Meurtres à Oxford"

Rappelons que quelle que soit la suite finie d'entiers $u_0, u_1, ...u_n$ et quel que soit $a$ un entier, il existe une justification "simple" pour que $u_{n+1} = a$, et en plus une seule formule ("quelques" paramètres à changer) résout tous les cas.

Fin de partie

@Romyna : C'est une bonne illustration de la conn*rie de ces tests à la c..

Vassillia

On peut pourtant penser que si certains de ces tests sont utilisés pour du recrutement, c'est que le recruteur ou la recruteuse a besoin, et on peut le comprendre, d'avoir quelqu'un ou quelqu'une en capacité de s'adapter au mode de pensée le plus courant. Si la volonté était de recruter des "génies incompris", le recrutement serait différent.

Fin de partie

@Vassillia : Tu n'imagines pas le bullshit qui a derrière certains recrutements et le business que génère ce bullshit.

Tu peux écouter ce podcast pour en avoir une idée.

NB: l'astrologie et la graphologie sont convoquées par certains recrutements et des trucs encore plus ésotériques dont tu n'as sans doute jamais entendu parler.

Cyrano

Rappel quotidien que les tests de QI sont, encore aujourd'hui, les tests cognitifs les plus robustes et les plus fiables en psychométrie.

Les exercices du type "compléter la suite logique" ne sont certes pas des exercices de mathématiques mais cela ne veut pas dire pour autant qu'ils ne sont pas pertinents pour mesurer un certain nombre de capacités intellectuelles (dont la capacité à inférer des règles implicites.)

Par ailleurs, il est évident que les génies (pris au sens de personnes ayant des dons intellectuels hors-normes) existent et sont plutôt bien représentés au sein de la communauté mathématique. Je trouve justement qu'on peut les admirer de façon très saine en ce sens que ce sentiment ne sera pas entaché par de la frustration, de l'envie ou de la jalousie. De fait, il sont tellement au dessus de nous qu'on imagine pas un seul instant pouvoir les rattraper. 

Fin de partie

C'est assez phénoménal le nombre de croyants qu'il y a sur ce forum.

Si on conteste leur mythologie du "génie" on est: frustré, envieux et jaloux.

(on retrouve la même diatribe quand on pose la question de pourquoi une petite minorité de gens possèdent autour de 45% de la richesse en France).

NB:

Je crois qu'il y a des idées géniales mais pas de génie.

PS:

Ramanujan attribuait ses idées à une déesse Namagiri qui, selon lui, lui donnait des idées en rêve.

Cette croyance vaut bien celle de Chaurien, Cyrano et beaucoup d'autres sur le sujet. J'aime bien cette croyance.

Cyrano

Il n'y a pas de croyance, c'est de l'empirisme pur et brutal. Il y a des enfants qui savent déjà parler parfaitement plusieurs langues à l'âge de 5 ans. Il y a des enfants qui peuvent résoudre des problèmes de mathématiques de niveau universitaire à l'âge de 10 ans, etc. 

La croyance, par exemple, ce serait d'attribuer ces dons à un Dieu providentiel ou ce genre de choses.
Constater que certaines personnes sont hors-normes ne relève par contre d'aucune croyance si ce n'est celle qui consiste à affirmer que l'on peut faire des observations fiables.

Romyna

R. a travaillé sur les fonctions elliptiques et la théorie analytique des nombres (i.e."mock" theta...etc.)
Cf. https://www.reddit.com/r/math/comments/12uoat/mathematical_proof_reveals_magic_of_ramanujans/?tl=fr&rdt=45095

Par ailleurs, contrairement aux idées reçues (préjugés), plus le QI est élevé, plus le mode heuristique est arborescent. On y trouverait donc des élèves excellents plus en arts qu'en maths même s'il y en a beaucoup zélés des maths, et surtout créatifs. Or, la créativité n'est pas (ou très peu) évaluée si ce n'est en arts visuo-spatiaux ou du langage faisant intervenir les sens en connexion.. 

Fin de partie

@Cyrano: Qu'est-ce qu'un génie?

La croyance c'est de voir du génie là où il y a du travail et un environnement très propice au développement de certaines capacités. Des conditions qu'on voit rarement. C'est la rareté de ces conditions qui font que certains crient au génie. On raconte que Mozart subissait des châtiments corporels pour le contraindre à l'excellence.

LOU16

Bonjour,

Désolé d'enfoncer une porte ouverte, en pure perte selon toute vraisemblance.

Quousque tandem abutere, Johannes Lismondus, patientia nostra?

Le grand professeur @jean lismonde, qui se targue de posséder "trente cinq années d'enseignement derrière lui" , ce qui semble lui suffire pour que l'on considère qu'il est ainsi le dépositaire d' une grande expertise dans le domaine des mathématiques, nous fait savoir que, parce que $\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty}\sin(\mathrm e^x)\mathrm dx =\dfrac{\pi}2,\:$ "cela suppose forcément que la limite de $\sin(\mathrm e^x)$ en plus l'infini est nulle".

Une bien belle prose comme on peut le voir, pas si facile à déchiffrer: faut -il lire "cela permet de supposer que...", ou bien "cela entraîne que..."? La première interprétation ne nous apprend rien, car de toutes façons, JL se permet tout, et la seconde est l'expression d'une implication notoirement fausse.

Jean Lismonde, pourrais-tu au moins une fois, faire montre d'un tout petit peu de rigueur mathématique en nous gratifiant enfin d'une définition claire et précise de $\displaystyle \lim_{+\infty} f=0\:$pour une fonction $f:\R\to\R$, compatible avec $\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\sin(\mathrm e^x)=0$ ?

Pourrais-tu surtout, t'abstenir définitivement de faire le malin dans des interventions saugrenues où tu trouves subtil de raconter n'importe quoi.?

Cyrano

@Fin de partie : Si dans "l'environnement propice", tu inclus le patrimoine génétique alors je suis d'accord avec toi.
William James Sidis qui lit le journal à 2 ans, ça ne s'explique pas uniquement grâce au "travail" ou au "niveau socio-économique" des parents.

Quant à la définition de génie, on te l'a déjà donnée plusieurs fois : un individu ayant des capacités hors-normes. 

biguine_equation

Qu’est-ce qu’un génie mathématique ? 

Peut-être quelqu’un qui a donné son nom à un périodique !