Cinq points cocycliques ; une nouvelle preuve

Jean-Louis Ayme

Bonjour,

1. (I), (J) deux cercles sécants

2. A, B les deux points d'intersection de (I) et (J)

3. P, Q les seconds points d'intersection de (JB), (IB) resp. avec (I), (J)..

Question : A, I, P, Q, J sont cocycliques.

Sincèrement
Jean-Louis

stfj

Bonjour

Je me propose de résoudre l'exercice a priori équivalent : soit $A,B,C$ trois points d'un $\color{blue}\text{cercle }(O)$. Soit $$O'\doteq méd(A,B)\cap BC$$Et soit  $$P\doteq OB\cap (O')$$Je pense que je vais parvenir à prouver que $\color{red}A,O,O',P,C $ cocycliques.https://www.geogebra.org/classic/veutanzu

Cordialement.

En posant $P=bary(\{B,O\},\{1,t\})$, je trouve $t$ et finalement $$P=-(a^4 - 2*a^2*b^2 + b^4 + c^4 - 2*(a^2 + b^2)*c^2)*(a^2 - b^2 - c^2)*a^2/((a^4 - a^2*b^2 + c^4 - (2*a^2 + b^2)*c^2)*((a^2 - b^2 - c^2)*a^2 - (a^2 - b^2 + c^2)*b^2 - (a^2 + b^2 - c^2)*c^2)), (a^4 - 2*a^2*b^2 + b^4 + c^4 - 2*(a^2 + b^2)*c^2)*(a^2 - b^2 + c^2)*b^2/((a^4 - a^2*b^2 + c^4 - (2*a^2 + b^2)*c^2)*((a^2 - b^2 - c^2)*a^2 - (a^2 - b^2 + c^2)*b^2 - (a^2 + b^2 - c^2)*c^2)) + 1, (a^4 - 2*a^2*b^2 + b^4 + c^4 - 2*(a^2 + b^2)*c^2)*(a^2 + b^2 - c^2)*c^2/((a^4 - a^2*b^2 + c^4 - (2*a^2 + b^2)*c^2)*((a^2 - b^2 - c^2)*a^2 - (a^2 - b^2 + c^2)*b^2 - (a^2 + b^2 - c^2)*c^2))$$

Conclure est alors facile.

_____________________________

Je donne le code sagemath

___________________

var('a b c t')

def simple(vec) :   
    num=gcd([numerator(vec[0]), numerator(vec[1]), numerator(vec[2])])
    den=lcm([denominator(vec[0]),denominator(vec[1]),denominator(vec[2])])
    facteur=num/den
    vec0=factor(vec[0]/facteur)
    vec1=factor(vec[1]/facteur)
    vec2=factor(vec[2]/facteur)
    vecteur=vector([vec0,vec1,vec2])
    return vecteur


def norm(P):
    return P/(Linf*P)

def vecteur(X,Y):
    return norm(Y)-norm(X)

def milieu(vec1,vec2):
   vec=norm(vec1)+norm(vec2)
   return vec


def veronese(vec):
    vecteur=vector([vec[0]^2,vec[1]^2,vec[2]^2,vec[0]*vec[1],vec[2]*vec[1],vec[0]*vec[2]])
    return vecteur

def veroneseCercle(vec):
    vecteur=vector([vec[0],vec[1],vec[2],(a^2*vec[1]*vec[2]+b^2*vec[0]*vec[2]+c^2*vec[0]*vec[1])/(vec[0]+vec[1]+vec[2])])
    return vecteur


def perpendiculaire(droite,point,pyth,Linf):
  inf=droite.cross_product(Linf)
  droiteortho=pyth*inf
  orthopoint=droiteortho.cross_product(Linf)
  perp=orthopoint.cross_product(point)  
  return perp

def med(F,G):
    FG=F.cross_product(G)
    med=perpendiculaire(FG,milieu(F,G),pyth,Linf)
    med=simple(med)
    return med

A=vector([1,0,0])
B=vector([0,1,0])
C=vector([0,0,1])
Linf=vector([1,1,1])

pyth=1/2*matrix([[0,-c^2,-b^2],[-c^2,0,-a^2],[-b^2,-a^2,0]])
AB=A.cross_product(B)
BC=B.cross_product(C)
CA=C.cross_product(A)
Sa=1/2*(b^2+c^2-a^2)
Sb=1/2*(a^2+c^2-b^2)
Sc=1/2*(a^2+b^2-c^2)
O=vector([a^2*Sa,b^2*Sb,c^2*Sc])

P=1*norm(B)+t*norm(O)
Op=BC.cross_product(med(A,B))
OpA2=vecteur(Op,A)*pyth*vecteur(Op,A)
OpP2=vecteur(Op,P)*pyth*vecteur(Op,P)
t1=solve([OpP2==OpA2],t)[0].rhs()
print(t1)

P1=1*norm(B)+t1*norm(O)
print (P1)

lesmathspointclaires

Le cercle des 5 points est l'inverse de $(AP)$ par rapport à $(I)$ et l'inverse de $(AQ)$ par rapport à $(J)$

stfj

Bonjour @lesmathspointclaires. Je découvre la géométrie de l'inversion. 

Comment sait-on  que l'inverse de $AP$ par rapport à $(I)$ est le cercle des $5$ points ? Mes connaissances sur l'inversion se réduisent quasiment à $z\to \frac{1}{\bar z}$. J'en déduis néanmoins que $A,P$ sont fixes par l'inversion wrt $(I)$. Par ailleurs, l'image d'une droite ne passant pas par $I$ est un cercle passant par $I$ donc l'image de $AP$ est bien le cercle passant $A,P,I$.

De même, l'image de $AQ$ wrt $(J)$ est le cercle passant par $A,Q,J$.

Je ne vois pas comment on peut conclure.

https://www.geogebra.org/classic/egpeqvph

Rescassol

Bonjour,

J'ai renommé $A,I,J,B,P,Q$ en $A,B,C,D,P,Q$ et je prends $ABC$ comme triangle de base.

%  Jean-Louis Ayme - 26 Octobre 2024 - Cinq points cocycliques ; une nouvelle preuve

clear all, clc

syms a b c real

% Notations de Conway
Sa=(b^2+c^2-a^2)/2; Sb=(c^2+a^2-b^2)/2; Sc=(a^2+b^2-c^2)/2;

A=[1; 0; 0]; B=[0; 1; 0]; C=[0; 0; 1]; % Sommets du triangle ABC
BC=[1, 0, 0]; CA=[0, 1, 0]; AB=[0, 0, 1]; % Côtés du triangle ABC

%-----------------------------------------------------------------------

syms t real

D=SymetriqueOrthogonalBary(A,BC,a,b,c); % D=[-a^2; 2*Sc; 2*Sb]

P=Barycentre([C D],[1 t]);
NulP=Factor(Distance2(B,P,a,b,c)-c^2);
% (- a^2 + b^2 + c^2)*t - a^2 + c^2 = 0 donc:
P=SimplifieBary(Barycentre([C D],[1 (a^2-c^2)/(2*Sa)]));
% P=[a^2*(c^2-a^2); 2*Sc*(c^2-a^2); 2*Sc*c^2]

Q=Barycentre([B D],[1 t]);
NulQ=Factor(Distance2(C,Q,a,b,c)-b^2);
% (- a^2 + b^2 + c^2)*t - a^2 + b^2 donc:
Q=SimplifieBary(Barycentre([B D],[1 (a^2-b^2)/(2*Sa)]));
% Q=[a^2*(b^2-a^2); 2*Sb*b^2; 2*Sb*(a^2-b^2)]

NulP=Factor(Cocycliques(A,B,C,P,a,b,c))
NulQ=Factor(Cocycliques(A,B,C,Q,a,b,c))
% On trouve NulP=NulQ=0 donc A,B,C,P,Q sont cocycliques

Cordialement,
Rescassol

stfj

Bonjour @Rescassol . Sais-tu si on peut démontrer le résultat de @Jean-Louis Ayme avec des inversions ? Cordialement.

stfj

J'ai trouvé une expression simple pour "mon" $$P1=Barycentre(\{A,B,C\},\{a^2 Sa,-2 Sa Sc,c^2 Sc\})$$

Quant à "mon" $$O'=0:\,-{\left(a + b\right)} {\left(a - b\right)}:\,-c^{2}$$

Les veronese me permettent effectivement de conclure.

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M=matrix([veroneseCercle(Op),veroneseCercle(A),veroneseCercle(C),veroneseCercle(O)])
print(factor(det(M)))
N=matrix([veroneseCercle(Op),veroneseCercle(A),veroneseCercle(C),veroneseCercle(P1)])
print(factor(det(N)))

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fournit $0$ puis $0$.

lesmathspointclaires

stfj a dit :

Bonjour @Rescassol . Sais-tu si on peut démontrer le résultat de @Jean-Louis Ayme avec des inversions ? Cordialement.

Oui, il faut utiliser la conjugaison des inversions/reflexions. Je le ferai tout à l'heure

pappus

Bonjour à tous

A l'ancienne avec les angles camemberts, deux triangles isocèles et le théorème de l'angle inscrit.

Est-il encore enseigné, celui là?

Amicalement

pappus

Jean-Louis Ayme

Bonjour pappus,

je pense à une nouvelle preuve sans angles...

Amitiés
Jean-Louis 

stfj

Cela me rappelle vaguement un exercice de Troisième de 1873 (p24 de ce doc)

lesmathspointclaires

On peut envoyer le point $B$ à l'infini par une homographie complexe sans perte de généralité n'est-ce pas?

@stfj : j'essaie de répondre pour l'inversion mais j'ai du mal à me concentrer avec le bruit et plusieurs tâches, j'essaie avec des incidences, ou alors en composant intelligemment des similitudes et inversion, mais si ce n'est pas immédiat je ne pourrais pas répondre tant que ça klaxon de partout c'est insupportable. Si tu veux essayer pars plutôt de $AIJ$, tu peux aussi faire jouer la conservation des angles et les quelques réflexions  qui s'illustrent, ralala les klaxons ça me tape sur le systeme, c'est des crétins qui klaxonnent d'autres crétins, c'est aussi inutile que leur vdm

tambwe

https://www.geogebra.org/classic/ubxncmqv
Egalite angles correspondants
inversions violette par rapport au cercle pointillés 
égalité angle inscrit : image de J sur AP
inversion rouge  A, P,I J cocycliques 
cas symétrique pour Q

stfj

Bonjour

Je vais m'essayer à la géométrie anallagmatique, autrement dit faire agir le groupe circulaire(remarque : il s'agit du groupe engendré par les $z\to \frac{az+b}{cz+d}$ et les symétries $x\to \bar z$ contrairement à ce que prétend le film où il y a cette petite imprécision sauf erreur de ma part.)

Il s'agit tout simplement de transformer Cercles et droites en Cercles et droites, pour se ramener à des problèmes plus simples.

Considérons donc le cercle de centre $B$ passant par $A$ en pointillés sur la figure : 

https://www.geogebra.org/classic/veutanzu

Le  $\color{black}\text{ cercle noir } \mathscr C$ est transformé en la $\color{black}\text{ droite noire }d$ et le $\color{blue}\text{ cercle bleu }\mathscr C$ en la $\color{blue}\text{ droite bleue }d$ par $\mathrm{Inv}_B$, l'inversion par rapport au cercle en pointillés.

$$\color{black} \mathscr C\xrightarrow{\mathrm{Inv}_B}d$$ $$\color{blue} \mathscr C\to d$$ $$(OB)\to (OB)$$ $$(O'B)\to (O'B)$$ $$P\in \color{black} \mathscr C\cap (OB)\to \color{black} d\cap (OB)=\{B,\infty\}$$ $$O'\in \color{blue} \mathscr C\color{black}\cap (O'B)\to \color{blue} d\color{black}\cap (OB)=\{B,\infty\}$$La situation est plus simple :  Les images de $P,O',A,C$ par $\mathrm{Inv}_B$ sont alors alignés sur un même cercle. Donc toujours par inversion, c'est aussi le cas pour $P,O',A,C.\square$

tambwe

Bonjour stfj 
si ça marche c.est super et plus court que tout jusqu’à présent. Je ne comprends pas malheureusement, je crois qu.il y a coquille 
Peux tu faire une figure qui reprends l’énoncé, s’il te plaît! Ou mieux définir les objets, je ne comprends pas la dernière ligne par exemple! 

tambwe

tambwe a dit :

https://www.geogebra.org/classic/ubxncmqv
Egalite angles correspondants
inversions violette par rapport au cercle pointillés 
égalité angle inscrit : image de J sur AP
inversion rouge  A, P,I J cocycliques 
cas symétrique pour Q

À JLA possibilité de remplacer recours à l’angle inscrit par Thales

stfj

Bonjour @tambwe. Merci pour ton intérêt et ta relecture. Il y a en effet un problème que je vais m'efforcer de corriger. Vu qu'il y a l'outil INVERSION dans GEOGEBRA, reprendre les notations de @Jean-Louis Ayme est faisable. Cordialement.

pappus

Mon cher stfj

Ta figure serait plus compréhensible si on y voyait clairement la configuration initiale de Jean-Louis Ayme ainsi que la configuration obtenue en la transformant par inversion, ce n'est pas le cas.

Tu le dis toi-même, on utilise l'inversion pour tomber sur une configuration plus simple à démontrer.

Par exemple on part de quatre points dont on veut prouver la cocyclicité pour les transformer en quatre points dont on pourra montrer plus facilement l'alignement.

Ici on veut prouver la cocyclicité du quintuplet $(A,I,J,P,Q)$.

Il est donc préférable de regarder ce qui se passe en faisant une inversion de pôle appartenant à l'ensemble $\{A,I,J,P,Q\}$!

Pour ton éducation, je te suggère de consulter l'immonde Lebossé-Hémery, 16ème Leçon, Applications de l'inversion:

1° Théorème de Ptolémée, article 400, page 255

2° Théorème de Feuerbach, article 402, page 256

Amicalement

pappus

stfj

Mon cher @pappus

Merci : je me demandais justement où regarder comment on applique la géométrie de l'inversion. Le LH réimprimé par Jacques Gabay est une sacré réf. : ce sera l'occasion d'une ballade à Paris

Dans un autre post, j'obtiens une situation plus simple puisqu'on obtient des points alignés. Mais je ne parviens pas à prouver pour le moment que les points sont alignés

Cordialement.

lesmathspointclaires

Je l'ai fait sous tambwe 

Jean-Louis Ayme

Bonjour,

la tangente à (J) en B relayé par le théorème de Miquel permet de conclure...

Sincèrement
Jean-Louis

pappus

Bonjour à tous

On devrait pouvoir se procurer le Lebossé-Hémery sur la toile.

En plus de le posséder en version originale, j'en ai une version électronique au format djvu impossible à transférer via ce forum.

Amicalement

pappus

lesmathspointclaires

Pour l'instant les deux belles preuves, selon moi sont tambwe et pappus. Notez que le théorème de l'angle inscrit s'illustre dans des sens respectifs réciproques.

Vassillia

Et je préfère celles de Rescassol et stfj car, je les comprends, et car elles me paraissent beaucoup plus généralisables à d'autres situations.
Les goûts et les couleurs...

lesmathspointclaires

@Vassillia je ne sais pas s'il s'agit de goûts... et on ne parle pas vraiment de la même chose... les méthodes dont tu parles et que tu défends très souvent sont exceptionnelles et j'ai l'impression qu'elles permettent plus ou moins  de résoudre quasiment, si c'est ce n'est tous les problèmes d'un certain type. Pour l'instant ça reste mystérieux pour moi et je compte bien tenter d'éclaircir ce mystère ! Donc je suis déjà convaincu même si je ne suis encore que spectateur de ce phénomène. 
La généralisabilité à d'autres situations, je la constate sans cesse, bien sûr que c'est vrai. C'est un outil hors du commun et une aide précieuse, en quoi ça nous force à faire un choix, ou à choisir un camp ? 
Le fait que ces méthodes fonctionnent aussi bien ne doit pas nous empêcher de trouver plusieurs preuves, surtout si celles-ci sont particulièrement élégantes !  Et surtout si elles disent autre chose!

Je ne crois pas une seconde que tu ne comprennes pas la preuve de pappus (il n'a pas détaillé c'est vrai il faut regarder la figure, mais tu n'auras évidemment aucun mal, il n'y a rien à ne pas comprendre!
Quant à la mienne, elle dit quelque chose de beau... le fait que le cercle en question soit l'inverse de chacune des deux droites relativement à chacun des cercles est éloquent. 

Il y a aussi autre chose... non pas sur la généralisable indéniable d'une méthode - et comprendre  ce qui se passe, et pourquoi c'est le cas est tout à fait stimulant, et c'est plus ou moins la raison pour laquelle je suis revenu sur le site et même aux maths. J'aurais peut-être l'occasion de revenir là-dessus - mais surtout ce que permettent ces méthodes générales c'est justement de ne pas avoir à être scotché aux démos, mais à trouver des jolis résultats!! ... l'activité de "poser des questions" devient un art beaucoup plus pertinent que les réponses semblent quasi assurées par ces méthodes générales ! Pourquoi opposer les choses, au lieu de se servir de ce qu'on a pour être complet et avoir une vue d'ensemble sur quels phénomènes entrent en jeux. Si c'est pour juste avoir un truc qui fonctionne et ne pas comprendre pourquoi ça fonctionne (de manière globale en ressentant ce qui se passe sous les nombreuses données miraculeuse des sagerie, ou de manière locale, i.e. en le mettant en perspective avec les choses plus "synthétiques" dépendant à chaque fois du contexte, de la signature "personnelle du problème") et rejeter toutes les autres approches juste parce que tel ou tel idiot un jour n'a pas compris que c'était un super truc et que maintenant on voit des ennemis partout, je trouve ça dommage, et pour le coup presque inutile.

J'ai voulu quand même préciser de façon peut-être un peu partiale et crue que je trouvais ces preuves mieux, car elles sont vraiment plus courtes et on comprend ce qui se passe (évidemment il faut au moins les lire😁), et elles disent, quelque chose de joli et d'inhabituel et SURTOUT, j'ai remarqué que peu de gens lisent, alors qu'ils ne se privent pas pour intervenir.  Ça me regarde certes, mais je précise toutefois que ce n'est pas mon cas : quand j'interviens je lis toujours tout attentivement, c'est un kif de rentrer dans des parcelles d'univers que je trouve pertinents (et pourtant le mien est assez riche pour que je puisse m'en passer😋😂) et ça m'écœure un peu que les egos mesquins et les cassages hautains - je ne parle pas de toi, qui es le contraire de ça de ce que j'ai pu lire en tout cas^^ - priment sur le simple fait de partager de belles choses.

J'ai pour illustrer tout ça mieux qu'avec des mots, trouvé une généralisation vraiment très belle du problème d'un autre fil. Je crois que c'est "Un exercice pour avancé(er)", enfin, je ne me souviens plus du titre exact. J'espère qu'il y aura au moins un.e lecteur^^