géométrie 5ème

slav

Bonjour,
Voici un problème de géométrie sur les triangles de niveau 5ème.
Comment le résoudre ?
Merci pour toute aide.

philou22

Disjonction de cas et inégalités triangulaires ?

philou22

est-ce que ce problème est sensé avoir comme réponse unique un des 3 animaux ou est-ce que la réponse les 3 animaux peuvent être dans le champ est conforme à la consigne ?

slav

1 seul animal peut y entrer, mais lequel ?

Sato

Bonjour, je ne comprends pas l’énoncé. Il y a un animal dans le champ mais il y a les données pour 3 animaux. Que veut dire le mot entrer ?

JLT

Notons $ABCD$ le quadrilatère, de sorte que $AB=80$, $BC=52$, $CD=40$ et $DA=60$. Soit $M$ un point intérieur.

Dans le cas particulier où $D\in [AC]$ je calcule (en utilisant des outils qui ne sont pas de niveau 5ème) que si$M=D$ alors la somme des distances vaut environ 143,49 tandis que si $M=A$ alors la somme des distances vaut 240. Par continuité, $MA+MB+MC+MD=152$ est possible. Les autres valeurs 136 et 128 semblent possibles si on autorise que le quadrilatère n'est pas convexe mais pas si le quadrilatère doit être convexe.

lourrran

Morale pour un élève de 5ème : on nous parle d'un champ qui a la forme donnée par le dessin, avec des côtés de 80m, 52m, 40m et 60m.
Et là, première difficulté, ou première imprécision, si on cherche à dessiner un quadrilatère avec ces 4 longueurs, on a une infinité de quadrilatères possibles. On peut par exemple mettre un angle droit en B, ou en C, tout en respectant les 4 longueurs données.
Pour un triangle, quand on a les longueurs des 3 côtés, les angles s'en déduisent, pas d'ambiguïté. Mais pour un quadrilatère, les longueurs des 4 côtés, ça ne suffit pas.

JLapin

L'énoncé me semble bien plus problématique que le seul fait qu'il existe beaucoup de figures correspondant aux hypothèses (ce qui pour moi n'est ni une difficulté ni une imprécision).

Quand on demande de démontrer une propriété qui porte sur une suite bornée, on ne considère pas comme une imprécision le fait qu'il existe une infinité de suites bornées.

Pour ma part, je ne crois absolument pas que cet énoncé (même s'il était bien posé, ce qui n'est pas le cas actuellement) soit pertinent pour un élève de 5e.

slav

Bonjour,
Je te remercie pour la réponse mais si je considère le quadrilatère tel que je l'ai tracé, voir pièce jointe, je n'obtiens pas les mêmes valeurs (en suivant ta méthode) donc pas le même animal.
Comment, pourquoi avoir fait le quadrilatère exactement de cette forme, sachant qu'il y en a une infinité.

JLapin

Des propositions ont été faites. Tu ne veux pas nous montrer ta solution de ce problème que tu as inventé ?

lourrran

Oui JLapin.
L'exercice est très peu pertinent pour un élève de 5ème. Il est à peu près impossible à ce niveau (il n'apporte rien de positif à l'élève), c'est le principal problème, mais en plus, il peut faire croire des choses fausses (il risque d'apporter du négatif à l'élève).

JLT

Il me semble que, pour un quadrilatère particulier $MA+MB+MC+MD$ est minimum lorsque $M$ est le point d'intersection des diagonales. Donc tout dépend si $AC+BD$ est supérieur ou inférieur à 136.

JLapin

Donc selon toi @lourran, il serait néfaste de donner un énoncé sur un quadrilatère en donnant les longueurs de ses quatre côtés et de l'accompagner d'une figure pour clarifier les notations sous prétexte qu'il n'y a pas unicité d'une telle figure ?

Je suis en désaccord. Faire une figure, même sans unicité, est très important.

biely

JLapin a dit :

Des propositions ont été faites. Tu ne veux pas nous montrer ta solution de ce problème que tu as inventé ?

Je ne comprends pas. Dans quel cadre cet exercice est posé. Slav est prof au collège? Si c’est lui qui a inventé ce problème pour ses élèves alors je ne comprends pas pourquoi il demande la réponse (niveau cinquième). 

JLapin

Moi non plus, je ne comprends pas très bien le contexte, le niveau de pratique habituel des mathématiques de l'OP, etc. C'est pourquoi j'essaye de le faire parler

Julia Paule

S'il faut respecter la forme du dessin fait par slav, il faut a+c>80 et b+d>60. Cela ne donne qu'une seule solution.

lourrran

Oui, faire une figure est essentiel. 
Ici, la phrase d'introduction est : un champ qui a la forme suivante.
C'est cette phrase d'introduction qui est trompeuse. Je préfèrerais une phrase moins déterministe : un champ qui a une forme de ce type.

En fait, quel est le sens du mot forme. Pour moi, si on parle de 2 quadrilatères qui ont la même forme, on parle de 2 quadrilatères qui ont les mêmes angles.
En particulier, je suis convaincu qu'à peu près tous les élèves vont s'interdire de considérer les quadrilatères non convexes. 

Une autre solution serait de proposer 2 figures, pour bien montrer à l'élève (de 5ème) que le mot forme est ici utilisé avec un sens très flou.

Soc

@JLapin: Je partage l'objection de Lourrran. Si l'on veut présenter un tel cas il faut faire attention à sa formulation, en disant par exemple "une figure pour laquelle on a certaines données", mais en tout cas pas "qui a la forme suivante". Un article défini ayant une signification précise.

@Julia Paule: Tu peux préciser?

JLapin

Soc a dit : Un article défini ayant une signification précise.

Justement, il semblerait que la forme imposée par la figure de l'énoncé ait une importance dans la résolution de cet "exercice" (qui pour moi s'apparente davantage à une énigme d'un magazine de plage qu'à un exercice de mathématiques).

slav

Merci pour vos réponses
Le problème est tiré du bouquin de 5eme Transmath.
Je suis ok il y a une infinité de possibilités pour cette figure avec ces dimensions.
Est-ce que dans tous les cas on obtiendrait le cheval comme seul animal qui puisse y entrer ? 

Soc

Merci pour la référence,voici donc l'original:

slav

Yes ,moi j'avais des noms d'animaux 

lourrran

Tu as mis des noms d'animaux, mais ce n'est pas le seul changement !!! Un quadrilatère avec 80 puis 52 puis 40  ... ou 80 puis 40 puis 52 ... ce n'est pas du tout la même chose.  
Si le quadrilatère 1 est compatible pour les 3 enfants, mais que les quadrilatères 2 et 3 sont compatibles pour 1 seul enfant chacun, hop, ça donne une seule solution restante pour le quadrilatère 1.

gai requin

Par l’inégalité triangulaire, c’est Simon sur 1), Kamel sur 2) et Titouan sur 3).

Soc

slav a dit :

Est-ce que dans tous les cas on obtiendrait le cheval comme seul animal qui puisse y entrer ? 

Je ne sais pas. En revanche je peux dire que Simon ne peut pas être sur le terrain 2 ni sur le 3, donc il est sur le 1.

slav

@ lourrran  oui mais pour simplifier l'énoncé je n'avais considéré que le premier cas.
La méthode étant la même pour les 2 autres quadrilatères.

slav

@ gai requin: comment obtiens-tu cela stp ?

Soc

Non, c'est par élimination de cas, donc il faut les 3 en même temps.

gai requin

Sur le 1er terrain (2e,3e resp.), la somme des quatre distances est plus grande que 120 (132,140 resp).

biely

D’où l’intérêt de mettre le véritable énoncé car les détails comptent.

slav

ok merci en effet ça marche.
Merci à tous !

Soc

@slav: Tu décomposes en deux triangles, et par l'inégalité triangulaire tu obtiens que la somme des 4 longueurs est toujours supérieure à la somme de deux côtés opposés du quadrilatère.

Sato

Il n’y a pas que ces changements qui posent problème. À mon avis, il faut revoir la formulation en français. On ne peut pas dire, d’une part, qu’il y a à la fois « trois animaux » et « un animal » dans le champ, puis d’autre part que l’un deux peut y « entrer ». Le mot « entrer » ne peut s’entendre ici que d’une façon beaucoup trop familière pour être utilisé dans un énoncé. Un élève sérieux ne peut rien y comprendre. 

Julia Paule

Avec le véritable énoncé, cela va mieux.
@soc Avec le 1er énoncé, une diagonale est plus grande que 80 (regarder les angles dans un des deux triangles formés par une diagonale, ou la position d'un sommet par rapport à la médiatrice du côté opposé), l'autre est plus grande que 60, et la somme des distances à deux sommets opposés est supérieure à la diagonale correspondante. Mais cela repose sur du visuel ! Pas très rigoureux.