Construction de cercle.

pappus

Bonjour à tous

Etant donnés les points $A$, $B$, $C$, comment construire à la règle et au compas le cercle pointillé à l'aide de la théorie de l'inversion?

Amicalement

pappus

plsryef

Bonjour,

j'avoue j'avais mis un peu les inversions de côté, le plus dur ça a été trouver le cercle orange, et je me suis rappelé de "inversion d"un droite tangente au cercle d'inversion" tout ça avec 5 essais avec geogebra... pfff😞

Rescassol

Bonjour,

Ça me rappelle un vieux devoir maison ci-joint.
Les résultats demandés sont encore vrais si on remplace $\dfrac{1}{2}$ par un paramètre $m$.

Cordialement,
Rescassol

Bouzar

Bonjour pappus,

Nostalgie : https://les-mathematiques.net/vanilla/discussion/1835430/cercles-tangents

Amicalement

Jean-Louis Ayme

Bonjour,

pour un début de construction :
c'est le premier cercle de Pappus ;
ses tangentes intérieures avec les cercles rouge et bleu passent par leurs centres.... 

Sincèrement
Jean-Louis

pappus

Bonjour à tous

L'idée est de transformer deux des trois cercles en droites et pour cela on a le choix entre des inversions de pôles $A$, $B$ ou $C$ et plsreryef a choisi le pôle $B$, pourquoi pas!

Quant à moi, j'ai choisi l'inversion de pôle $C$ échangeant $A$ et $B$, ce qui donne la figure ci-dessous.

Amicalement

pappus

cailloux

Bonjour à tous ,

pappus : je venais de faire cette figure avec un cercle d'inversion centré en $C$ quelconque.
Un peu tard mais je la poste tout de même :

Moins belle que la tienne mais encore "constructible".
Amitiés.

pappus

Bonjour Cailloux

Je suis très heureux de pouvoir dialoguer à nouveau avec toi!

Bravo pour ta figure!

Une question ultra-classique:

Quel est le rayon du cercle pointillé en fonction des rayons des cercles bleu et rouge?

Amitiés

pappus

Indication:

Consulter avec un masque et des pincettes l'immonde Lebossé-Hémery, article 385, page 244.

Math Coss

Il y a une relation dite de Descartes, me semble-t-il, entre les rayons des quatre cercles, relation qui fait les délices de @soland.

pappus

Merci MathCoss

Je n'ose citer l'ignoble formule de l'immonde Lebossé-Hémery de peur de vous contaminer définitivement!

En tout cas, en notant sur ma figure: $AC=2a$ et $BC=2b$, j'ai trouvé:

$$\dfrac{ab(a+b)}{a^2+ab+b^2}$$

Je vous laisse faire le joint avec la relation de Descartes telle qu'on peut la trouver dans de nombreux articles sur la toile.

Elle fait intervenir de façon quadratique les quatre courbures algébriques de quatre cercles tangents deux à deux.

Une bonne référence élémentaire est le livre de Coxeter: Geometry, page 14, relation 1.57:

$$2(\varepsilon_1^2+ \varepsilon_2^2+ \varepsilon_3^2+ \varepsilon_4^2)=  (\varepsilon_1+ \varepsilon_2+ \varepsilon_3+ \varepsilon_4) ^2 $$

Four circles to the kissing come.

The smaller are the benter.

The bend is just the inverse of

The distance from the centre

Though their intrigue left Eucid dumb.

Quand on songe que ce défunt théorème date de Novembre 1643, on mesure le chemin parcouru par notre soi-disant Enseignement!

Amicalement

pappus