Loi d'une variable aléatoire (sans martingales).

Gabriel_04

Bonjour. Comment pourrais-je résoudre le problème suivant sans martingales ? (je ne les ai pas étudiés)

Soit $(X_n){n\ge 1}$ est une suite de variables aléatoires définies sur un espace probabilisé, indépendantes, de même loi $\frac12(\delta_{-2}+\delta_4)$. Soit $Y_n$ v.a. définie par  $$Y_0=8\text{ et }Y_n=Y_0+\sum_{i=1}^n X_i.$$Pour $$T:=\inf\{n\le 8:\;Y_n=0\text{ ou }Y_n=16\},$$ trouver la loi du $Y_T$.

$\textbf{Remarque:}$  nous le changeons pour avoir la loi $\frac12(\delta_{5}+\delta_{-1})$ et $Y_0=10$, $n\le 10$ et nous voulons $Y_n\in \{0, 20\}$ afin que $T$ soit bien defini.

lourrran

On a maximum 8 étapes à étudier. On peut analyser l'arbre en entier. 
Après 1 mouvement, P(12)=0.5, P(6)=0.5
Après 2 mouvements, P(16)=0.25, P(10)=0.5, P(4)=0.25
Après 3 mouvements, P(16)=0.25, P(14)=0.25, P(8)=0.375, P(2)=0.125
Après 4 mouvements, P(16)=0.375, P(12)=0.3125, P(6)=0.25, P(0)=0.0625
etc

Gabriel_04

lourrran a dit :

On a maximum 8 étapes à étudier. On peut analyser l'arbre en entier. 
Après 1 mouvement, P(12)=0.5, P(6)=0.5
Après 2 mouvements, P(16)=0.25, P(10)=0.5, P(4)=0.25
Après 3 mouvements, P(16)=0.25, P(14)=0.25, P(8)=0.375, P(2)=0.125
Après 4 mouvements, P(16)=0.375, P(12)=0.3125, P(6)=0.25, P(0)=0.0625
etc

Oui, merci. Mais si on a $n\in\mathbb{N}$?

lourrran

Tu peux regarder du côté des chaînes de Markov.

Edit : la question telle qu'elle apparaît maintenant n'a plus grand chose à voir avec la question à laquelle je répondais, grrr

bisam

Je suppose que tu voulais dire $\delta_{-2}$ et non $\delta-2$, @Gabriel_04 .

Il me semble qu'il y a alors un problème de définition de $T$ car la probabilité que l'ensemble $\{n\leq 8, Y_n \in \{0,16\}\}$ soit vide est non nulle !

Gabriel_04

bisam a dit :

Je suppose que tu voulais dire $\delta_{-2}$ et non $\delta-2$, @Gabriel_04 .

Il me semble qu'il y a alors un problème de définition de $T$ car la probabilité que l'ensemble $\{n\leq 8, Y_n \in \{0,16\}\}$ soit vide est non nulle !

oui, il est la mesure de Dirac en -2. Merci
$T$ doit modéliser le « temps d'arrêt » d'une particule qui commence au point x=8 sur un axe unidimensionnel, qui est soit le nombre maximum de mouvements qu'elle peut effectuer, (dans ce cas, 8) soit le moment où elle atteint 0 ou 16.

@bisam
Si nous le changeons pour avoir la loi $\frac12(\delta_{5}+\delta_{-1})$ et $Y_0=10$, $n\le 10$ et nous voulons $Y_n\in \{0, 20\}$ ? Comment choisir ces valeurs pour que $T$ soit bien défini ?

bisam

Dans le cas énoncé au départ, il faudrait modifier la définition de $T$ en $\inf\left(\{n\leq 8, T_n \in\{0,16\}\}\cup \{8\}\right)$ si j'ai bien compris ce que tu voulais dire.

Ensuite, on peut tout calculer à la main : il y a un total de 45 probabilités à calculer pour avoir l'arbre complet et deux de plus pour avoir la loi de $Y_T$.

Sauf erreur de ma part, on trouve que la loi de $Y_T$ est alors :

$y$	0	4	10	16	22	28	34
$\mathbb{P}(Y_T=y)$	$\frac{24}{256}$	$\frac{17}{256}$	$\frac{39}{256}$	$\frac{153}{256}$	$\frac{15}{256}$	$\frac{6}{256}$	$\frac{2}{256}$

Gabriel_04

bisam a dit :

Dans le cas énoncé au départ, il faudrait modifier la définition de $T$ en $\inf\left(\{n\leq 8, T_n \in\{0,16\}\}\cup \{8\}\right)$ si j'ai bien compris ce que tu voulais dire.

Ensuite, on peut tout calculer à la main : il y a un total de 45 probabilités à calculer pour avoir l'arbre complet et deux de plus pour avoir la loi de $Y_T$.

Sauf erreur de ma part, on trouve que la loi de $Y_T$ est alors :

$y$	0	4	10	16	22	28	34
$\mathbb{P}(Y_T=y)$	$\frac{24}{256}$	$\frac{17}{256}$	$\frac{39}{256}$	$\frac{153}{256}$	$\frac{15}{256}$	$\frac{6}{256}$	$\frac{2}{256}$

Merci. Je vais essayer de comprendre le processus. Le problème peut-il être résolu en utilisant des chaînes des  Markov?
@bisam
est-ce similaire à la ruine du joueur ?

lourrran

Je suis sceptique sur le résultat de Bisam. 
Mais en fait, comme la question a totalement changé, je ne sais pas quelle est la question que Bisam a voulu résoudre.

De ce que j'ai compris, on a ce processus : on part du nombre 8. A chaque étape, on ajoute 4, ou on retranche 2, avec une probabilité 1/2. Le processus s'arrête quand on atteint 0 ou 16. Et dans une des versions, le processus s'arrête après 8 étapes (voire avant si on a déjà atteint 0 ou 16), et dans l'autre version, le processus continue aussi longtemps que nécessaire, jusqu'à ce qu'on atteigne 0 ou 16. 

Gabriel_04

lourrran a dit :

Je suis sceptique sur le résultat de Bisam. 
Mais en fait, comme la question a totalement changé, je ne sais pas quelle est la question que Bisam a voulu résoudre.

De ce que j'ai compris, on a ce processus : on part du nombre 8. A chaque étape, on ajoute 4, ou on retranche 2, avec une probabilité 1/2. Le processus s'arrête quand on atteint 0 ou 16. Et dans une des versions, le processus s'arrête après 8 étapes (voire avant si on a déjà atteint 0 ou 16), et dans l'autre version, le processus continue aussi longtemps que nécessaire, jusqu'à ce qu'on atteigne 0 ou 16. 

Oui, c'est comme ça que je l'ai compris aussi ! J'ai modifié certaines données afin que $T$ soit bien défini.
@lourrran
Mais quelle est la répartition des $T$ ? Puisque nous voulons trouver $\mathbb{P}(Y_T=y)=\mathbb{P}(\{\omega:Y_{T(\omega)}(\omega)=y\})$ (Si nous le changeons pour avoir la loi $\frac12(\delta_{5}+\delta_{-1})$ et $Y_0=10$, $n\le 10$ et nous voulons $Y_n\in \{0, 20\}$)

bisam

@lourran : C'est ce que j'ai fait... Le problème, c'est qu'il est tout-à-fait possible de dépasser largement $16$ sans passer par $16$.

Encore une fois, @Gabriel_04 , dans tes deux exemples, le souci est que ton "temps d'arrêt" est mal défini. Je te l'ai déjà signalé et t'ai même dit comment le corriger...

lourrran

Ah... bien vu, on peut dépasser 16 sans passer par 16, et du coup, le 2/256 qui me paraissait très bizarre pour la borne maximale devient cohérent. Il faut une étape "-2" en premier ou en 2ème, et 7 étapes "+4" pour arriver à 34, sans passer par 16.

P.2

Pas bien compris la definition de $T$. Comment est-il defini , ainsi que $Y_T$, si l'ensemble des $n\leq 8$ tels que $Y_n=0$ ou $16$ est vide?

Gabriel_04

P.2 a dit :

Pas bien compris la definition de $T$. Comment est-il defini , ainsi que $Y_T$, si l'ensemble des $n\leq 8$ tels que $Y_n=0$ ou $16$ est vide?

En effet, l’ensemble peut être vide et donc mal défini. Je l'ai modifié avec cette version ci-dessous :

Soit $(X_n){n\ge 1}$ est une suite de variables aléatoires définies sur un espace probabilisé, indépendantes, de même loi $\frac12(\delta_{-1}+\delta_5)$. Soit $Y_n$ v.a. définie par  $$Y_0=10\text{ et }Y_n=Y_0+\sum_{i=1}^n X_i.$$Pour $$T:=\inf\{n\le 10:\;Y_n=0\text{ ou }Y_n=20\}\;(\text{temps d'arrêt})$$ trouver la loi du $Y_T$, c-a-d, la loi du $Y_T:\Omega\rightarrow\mathbb{R},\omega\mapsto Y_{T(\omega)}(\omega)$.

L'idée derrière cela est que nous avons une marche aléatoire unidimensionnelle et qu'une particule ne peut effectuer qu'un maximum de 10 mouvements, soit d'un pas vers la gauche, soit de 5 pas vers la droite avec des probabilités égales de 0,5. Il s'arrête soit lorsque le nombre maximum de pas est atteint, soit lorsque les barrières 0 ou 20 sont atteintes. C'est semblable à la ruine du joueur, je pense.

P.2

$T$  est plutot  l'inf des $n$ tels que ou bien $n=10$ ou bien $Y_n=0$ ou bien $Y_n=20.$ Pour avoir une presentation plus canonique ecrivons $X_n=2+3X'_n$ avec $\Pr(X_n'=\pm 1)=1/2$ et donc $Y_n=10+2n+3S_n$ avec $S_n=X'_1+\cdots+X'_n.$ Notons que $S_n$ est pair si et seulement si $n=2p$ est pair aussi et notons que pour $-p\leq k\leq p$ on a $$\Pr(S_{2p}=2k)=\frac{1}{2^{2p}}C_{2p}^{p\pm k}. \ (*)$$ Par une petite analyse des choses modulo 3 on trouve que l'evenement $Y_n=10$ avec $n<10$ est realise par $S_2=2$ et $S_8=-2$ et que l'evenement $Y_n=0$ avec $n<10$ est impossible.

Donc $\Pr(T=2)=1/4.$ Les choses se compliquent apres, en utilisant (*)

$$\Pr(T=8| S_2=0)=\Pr(S_6=-2)=\frac{15}{2^6}, \ \Pr(T=8| S_2=-2)=\Pr(S_6=0)=\frac{20}{2^6}$$

Ce qui donne deja $$\Pr(Y_T=2; T=2)=1/4, \ \Pr(Y_T=-2; T=8)= \frac{15}{2^6}\times \frac{1}{2}+\frac{20}{2^6}\times \frac{1}{4}$$ Pour trouver la distribution de $S_{10}$ conditionne par $T=10$ ca va me prendre une heure et tu es capable de faire le calcul si le resultat t'interesse vraiment.

LOU16

Bonjour,

J'en suis resté à mon interprétation (apparemment erronée) de l'énoncé initial ,à savoir 

$$\text{ "Déterminer la loi de } Y_T \text{ où } T=\Big\{n\in \N \mid Y_n\in\{0;16\}\Big\}".$$

Je ne peux m'empêcher de trouver étrange le résultat auquel je suis parvenu: $\:\:\alpha:= \dfrac {\sqrt 5 -1}2.$

$$\mathbb P(T= \infty) =\dfrac{5(1-\alpha)}{18} .\quad \text{ Si }T\neq \infty,\:\text { alors }\:\:\mathbb P(Y_T =0) =\dfrac 7{54}, \quad \mathbb P( Y_T =16) =\dfrac {32+15\alpha}{54}$$

Gabriel_04

LOU16 a dit :

Bonjour,

J'en suis resté à mon interprétation (apparemment erronée) de l'énoncé initial ,à savoir 

$$\text{ "Déterminer la loi de } Y_T \text{ où } T=\Big\{n\in \N \mid Y_n\in\{0;16\}\Big\}".$$

Je ne peux m'empêcher de trouver étrange le résultat auquel je suis parvenu: $\:\:\alpha:= \dfrac {\sqrt 5 -1}2.$

$$\mathbb P(T= \infty) =\dfrac{5(1-\alpha)}{18} .\quad \text{ Si }T\neq \infty,\:\text { alors }\:\:\mathbb P(Y_T =0) =\dfrac 7{54}, \quad \mathbb P( Y_T =16) =\dfrac {32+15\alpha}{54}$$

Cela serait-il utile ? Je n’ai pas encore étudié les martingales mais j’ai lu que cela résoudrait le problème
https://fr.m.wikipedia.org/wiki/Théorème_d'arrêt_de_Doob

P.2

Lou, dans ton interpretation, (un joli probleme) tu evacues donc la contrainte $n\leq 8$ (ou $n\leq 10$ car la question a un peu change en cours de route). Quand tu ecris $\Pr(Y_T=0)=7/54$ veux tu dire $\Pr(Y_T=0|T<\infty)=7/54$ ou $\Pr(Y_T=0;\ T<\infty)=7/54?$ Dans les deux interpretations, quelque chose ne colle pas pour $\Pr(Y_T=0)+\Pr(Y_T=16).$

Gabriel_04

P.2 a dit :

$T$  est plutot  l'inf des $n$ tels que ou bien $n=10$ ou bien $Y_n=0$ ou bien $Y_n=20.$ Pour avoir une presentation plus canonique ecrivons $X_n=2+3X'_n$ avec $\Pr(X_n'=\pm 1)=1/2$ et donc $Y_n=10+2n+3S_n$ avec $S_n=X'_1+\cdots+X'_n.$ Notons que $S_n$ est pair si et seulement si $n=2p$ est pair aussi et notons que pour $-p\leq k\leq p$ on a $$\Pr(S_{2p}=2k)=\frac{1}{2^{2p}}C_{2p}^{p\pm k}. \ (*)$$ Par une petite analyse des choses modulo 3 on trouve que l'evenement $Y_n=10$ avec $n<10$ est realise par $S_2=2$ et $S_8=-2$ et que l'evenement $Y_n=0$ avec $n<10$ est impossible.

Donc $\Pr(T=2)=1/4.$ Les choses se compliquent apres, en utilisant (*)

$$\Pr(T=8| S_2=0)=\Pr(S_6=-2)=\frac{15}{2^6}, \ \Pr(T=8| S_2=-2)=\Pr(S_6=0)=\frac{20}{2^6}$$

Ce qui donne deja $$\Pr(Y_T=2; T=2)=1/4, \ \Pr(Y_T=-2; T=8)= \frac{15}{2^6}\times \frac{1}{2}+\frac{20}{2^6}\times \frac{1}{4}$$ Pour trouver la distribution de $S_{10}$ conditionne par $T=10$ ca va me prendre une heure et tu es capable de faire le calcul si le resultat t'interesse vraiment.

Merci beaucoup!

lourrran

@P.2
Lou16 a interprété la question comme Bisam, et sans s'arrêter à 8 étapes.
On peut atteindre des nombres plus grands que 16, si à un moment, on est à 14, et on tire '+4' 
Et dans ce cas, une fois qu'on est passé au dessus de 16, la probabilité de rester indéfiniment au dessus de 16 n'est pas nulle.
La somme des 3 probabilités obtenues par Lou16 est bien 1, les 3 probabilités ne sont pas des probabilités conditionnelles.

LOU16

Bonjour @p2

Ce que je veux dire, c'est bien: 

$\mathbb P\left[T<\infty ,Y_T=0\right]=\dfrac 7{54},\qquad \mathbb P\left[T<\infty ,Y_T=16\right]=\dfrac{32+15\alpha}{54}$, et je ne vois pas ce qui ne colle pas.

Voici un résumé de l'argument.

On modélise la situation par une marche aléatoire sur $\Z$, dans laquelle  en partant de la position $0$, on effectue à chaque étape, de manière indépendante et équiprobable, un déplacement de $2$ unités vers la droite ou un déplacement de $1$ unité vers la gauche.

On cherche alors la probabilité $p_0$ d'atteindre la position $4$, et de l'atteindre sans passer par la position $-4$.

On a noté: $\:\forall n \in \Z,\:\: p_n= \text { probabilité,  en partant de } n, \text{ d'atteindre } 4\text{ avant } -4.$

"L'analyse du premier pas "conduit à :$\quad p_{-4} =0, \:\: p_4 =1,\:\:\forall n\in \Z_{\geqslant- 3},\quad p_n=\dfrac12\left(p_{n-1}+p_{n+2}\right).\quad (\bigstar)$

Le polynôme caractéristique  de cette récurrence linéaire est $\:\:(X-1)(X-\alpha)(X-\beta),\:\:$avec $\alpha = \dfrac {-1+\sqrt 5}2 ,\:\:\beta =\dfrac{ -1-\sqrt 5} 2:$

$\exists u,v, w\in\R\: $ tels que: $\forall n \in \Z_{\geqslant -4},\:\: p_n =u +v\alpha^n +w\beta ^n.\:\:$ Le fait que $ \forall n \in \N,\:\:0\leqslant p_n \leqslant 1,\:$ entraîne que $$w=0, \qquad p_n =u+v\alpha ^n.$$

On a d'autre part: $\forall n\geqslant 4, \:\: p_n =q^{n-4},\:\:\text{où } \forall k\geqslant 4 ,\:\:q=\text{ probabilité d'atteindre la position }k\text{ à partir de la position }k+1.$

Un résultat "classique " de la théorie des chaînes de Markov donne dans le cas qui nous intéresse:$\:\:q =\dfrac{\displaystyle \sum_{n\geqslant 0} \binom{3n+1}n 2^{-3n-1}}{\displaystyle \sum_{n\geqslant 0}\binom{3n} n2^{-3n}}$

WolframAlpha indique que $q =\alpha,$ mais on peut voir cela sans cette béquille numérique. En effet, celle-ci n'est pas indispensable pour se convaincre que $0<q<1. \:\:\:$ Avec $\:\:p_4 =1,\:\:\forall n\in \N_{\geqslant 4}, \quad p_n= u+v\alpha^n = q^{n-4},\:$ on obtient $u=0, \: v=\alpha^{-4}, \:q=\alpha.$

Ainsi $p_5 =\alpha, \:\: $ et les relations $(\bigstar)$ pour $n$ allant  $3$ à $-3$ donnent $p_0=\dfrac{32 +15\alpha}{54}.$