Un exercice pour expert en culture géométrique

Jean-Louis Ayme

Bonjour,

1. ABC un triangle

2. (O) le cercle circonscrit à ABC

3. G, Fe, Na les points médian, Feuerbach, Nagel.

Question : (ONa) et (GFe) concourent sur (O).

Sincèrement
Jean-Louis

Bouzar

Bonjour Jean-Louis,

J'utilise les coordonnées barycentriques.

Le triangle de référence ABC :  $\quad A,B,C\simeq\left[\begin{array}{c} 1\\ 0\\ 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{c} 0\\ 1\\ 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{c} 0\\ 0\\ 1 \end{array}\right].$

(O) le cercle circonscrit à ABC : $\quad c^2 x y + b^2 x z + a^2 y z=0.$

Le centre du cercle circonscrit $O$ : $\quad O \simeq\left[\begin{array}{c} a^2 (-a^2 + b^2 + c^2)\\ b^2 (a^2 - b^2 + c^2)\\ c^2 (a^2 + b^2 - c^2)\end{array}\right].$

G, Fe, Na les points médian, Feuerbach, Nagel :  $\quad G,Fe,Na\simeq\left[\begin{array}{c} 1\\ 1\\ 1\end{array}\right],\left[\begin{array}{c} (b + c - a)(b - c)^2\\  (c + a - b)(c - a)^2\\ (a + b - c)(a - b)^2\end{array}\right],\left[\begin{array}{c} b + c - a\\ c + a - b\\ a + b - c \end{array}\right].$

Les droites (ONa) et (GFe) :

$\quad (ONa) : -(b - c) (-a^2 b + b^3 - a^2 c + 2 a b c - b^2 c - b c^2 + c^3)x+(a -
   c) (a^3 - a b^2 - a^2 c + 2 a b c - b^2 c - a c^2 +
   c^3)y -(a - b) (a^3 - a^2 b - a b^2 + b^3 + 2 a b c - a c^2 -
   b c^2)z=0.$

$\quad (GFe) : (b - c) (-a b + b^2 - a c + c^2)x -(a - c) (a^2 - a b - b c +
   c^2)y+ (a - b) (a^2 + b^2 - a c - b c)z=0.$
Les droites $(ONa)$ et $(GFe)$ sont sécantes en $M\simeq\left[\begin{array}{c} a (a - b) (a - c)\\ -(a - b) b (b - c)\\ (a - c) (b - c) c\end{array}\right].$

On a :

$\quad c^2 (a (a - b) (a - c))(  -(a - b) b (b - c)) + b^2 (a (a - b) (a - c))((a - c) (b - c) c)+ a^2(  -(a - b) b (b - c))( (a - c) (b - c) c)=0.$

En conclusion, les droites (ONa) et (GFe) sont sécantes en $M$ anticomplément de $Fe$ avec $M \in (O).$

Amicalement

Rescassol

Bonjour,

%  Jean-Louis Ayme - 25 Octobre 2024 - Un exercice pour expert en culture géométrique

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syms a b c real

% Notations de Conway
Sa=(b^2+c^2-a^2)/2; Sb=(c^2+a^2-b^2)/2; Sc=(a^2+b^2-c^2)/2;

O=[a^2*Sa; b^2*Sb; c^2*Sc]; % Centre du cercle circonscrit
G=[1; 1; 1]; % Centre de gravité
Na=[b-a+c; a-b+c; a+b-c]; % Point de Nagel
Fe=[(b-c)^2*(-a+b+c); (c-a)^2*(a-b+c); (a-b)^2*(a+b-c)]; % ¨Point de FeuerBach

ONa=SimplifieBary(Wedge(O,Na)); % Droite (O Na)
GFe=SimplifieBary(Wedge(G,Fe)); % Droite (G Fe)

M=SimplifieBary(Wedge(ONa,GFe));
% M=[a*(a-b)*(a-c); b*(b-c)*(b-a); c*(c-a)*(c-b)]
% Ou M=[a/(b-c); b/(c-a); c/(a-b)]
% C'est X_100

Nul=Factor(a^2*M(2)*M(3)+b^2*M(3)*M(1)+c^2*M(1)*M(2))
% On trouve Nul=0 donc c'est gagné

Cordialement,
Rescassol

pappus

Bonjour à tous

Je suis loin d'être un expert et je ne vais pas perdre mon temps à chercher une preuve synthétique ni une preuve calculatoire, d'ailleurs Rescassol vient d'en donner une qui me semble assez courte, bravo!

Je n'en ai plus les moyens intellectuels.

Ci-dessous ma propre figure où j'ai noté une propriété curieuse.

Soit $H$ l'orthocentre du triangle $ABC$.

Alors la droite $HN$ est la droite de Steiner du point $S$.

Amicalement

pappus

pappus

Rescassol

Bonjjour,

Oui, Pappus, en voilà la vérification:

Sab=Sa*Sb; Sbc=Sb*Sc; Sca=Sc*Sa;
BC=[1, 0, 0]; CA=[0, 1, 0]; AB=[0, 0, 1]; % Côtés du triangle ABC

A1=SimplifieBary(SymetriqueOrthogonalBary(M,BC,a,b,c))
% A1=[a^2*(a-b)*(a-c); (a-b)*(-a^3+a^2*c-a*b*c+a*c^2+b^2*c-c^3); (a-c)*(-a3+a^2*b+a*b^2-a*b*c-b^3+b*c^2)]
H=[Sbc; Sca; Sab]; % Orthocentre
NulSteiner=Factor(det([A1 Na H]))
% On trouve NulSteiner=0 donc (H Na) est la droite de Steiner de M

SteinerM=SimplifieBary(Wedge(H,A1))
% SteinerM=[a*(b-c)*Sa; b*(c-a)*Sb, c*(a-b)*Sc]

Cordialement,
Rescassol

pappus

Merci Rescassol

Amitiés

pappus

pappus

Bonne nuit à tous et faites de beaux rêves.

Pour une preuve synthétique, chercher peut-être du côté de l'hyperbole de Feuerbach.

Je savais déjà qu'il avait un point mais il avait aussi une hyperbole que j'ai découverte en feuilletant ETC.

C'est l'hyperbole circonscrite au triangle $ABC$ de centre le point de Feuerbach $F$.

C'est une hyperbole équilatère qui passe par le point de Nagel $N$, d'où un lien entre $F$ et $N$ et aussi par le centre du cercle inscrit $I$.

Elle recoupe le cercle circonscrit au point $T$ diamétralement opposé à $S$.

Amicalement

pappus

Rescassol

Bonsoir,

On rajoute un bout de code:

syms t x y z real

% Hyperbole de Feuerbach (passant par A, B, C, I, H)
f(x,y,z)=a*(b-c)*(b-a+c)*y*z + b*(c-a)*(a-b+c)*z*x + c*(a-b)*(a+b-c)*x*y;

NulNa=Factor(f(Na(1),Na(2),Na(3)))
% NulNa=0 donc cette hyperbole passe par Na

T=[a^2*t*(1+t); b^2*(1+t); -c^2*t]; % T est un point du cercle circonscrit
Fact=-a*b*c*t*(t + 1); % Facteur de simplification
Nult=Factor(f(T(1),T(2),T(3))/Fact); % T est aussi sur l'hyperbole
Nult=coeffs(Nult,t,'All');
t=Factor(-Nult(2)/Nult(1));
T=SimplifieBary([a^2*t*(1+t); b^2*(1+t); -c^2*t]);
% On trouve T = 
% a*(- a^3 + a^2*b + a*b^2 - 2*a*b*c + a*c^2 - b^3 + b*c^2)*(- a^3 + a^2*c + a*b^2 - 2*a*b*c + a*c^2 + b^2*c - c^3)
% b*(- a^3 + a^2*b + a*b^2 - 2*a*b*c + a*c^2 - b^3 + b*c^2)*(a^2*b + a^2*c - 2*a*b*c - b^3 + b^2*c + b*c^2 - c^3)
% c*(- a^3 + a^2*c + a*b^2 - 2*a*b*c + a*c^2 + b^2*c - c^3)*(a^2*b + a^2*c - 2*a*b*c - b^3 + b^2*c + b*c^2 - c^3)
% C'est X_104

U=SimplifieBary(MilieuBary(M,T)) 
% On reconnaît U=O donc T est l'antipode de M dans le cercle circonscrit

Cordialement,
Rescassol

pappus

Merci Bouzar et Rescassol

Je pense qu'on est plus très loin maintenant d'une preuve synthétique qui n'a sans doute rien à voir avec celle de Jean-Louis Ayme

Amitiés

pappus

Jean-Louis Ayme

Bonjour,

ma preuve se calque sur la figure ci-jointe connaissant les relations entre les divers points mentionnés...

Sincèrement
Jean-Louis

pappus

Bonjour Jean-Louis

Ainsi la preuve synthétique que j'ai presque exhibée est exactement la tienne, hyperbole de Feuerbach mise à part.

D'ailleurs ma dernière figure est identique à la tienne aux notations près.

Quand tu parles d'expert en culture géométrique, tu entendais par là ceux qui connaissent les propriétés pointues de la géométrie du triangle comme celles exposées dans le livre: Le cercle d'Euler que j'ai égaré quelque part dans ma yourte.

Amitiés

pappus

Jean-Louis Ayme

Bonjour pappus,

faut-il encore se rappeler des relations métriques entre ces divers points pour être expert...

Amitiés
Jean-Louis

pappus

Bonjour Jean Louis

Ce sont plus que des relations métriques, par exemple:

$$\overrightarrow{GN}=-2\overrightarrow{GI}$$

c'est-à-dire $I$ est le complémentaire de $N$, exaltant!

Amitiés

pappus

Jean-Louis Ayme

Rebonjour,

OK, il y en a deux autres qui permettent alors de conclure...

Tu as évoqué le livre de Collet et Grisot ? qu'un collègue m'avait envoyé pour un aller-retour comme avec toi il y a de nombreuses années,... Avant que Collet décède, je l'avais eu au téléphone...
La dernière phrase de nature philosophique de son travail ne m'avait pas plus du tout en ce qui concerne ma vision de la Géométrie synthétique...

Amitiés
Jean-Louis

pappus

Mon cher Jean Louis

Tout ce que je veux dire, c'est qu'il y a de grandes chances que l'hyperbole de Feuerbach soit abordée dans ce livre!

Amitiés

pappus