Inversion à demi-révélée

stfj

Bonjour

Dans ce film, on révèle à demi les transformations de Möbius par de magnifiques dessins animés.

Comment prouver que le fait d'inverser la sphère de Riemann dans l'espace (symétrie orthogonale par rapport au plan de cote 1?)se traduit dans $\hat {\mathbb C}\doteq \mathbb C\mathrm P^1$ par $$\begin{cases}z\to\frac1z\\ 0\to \infty\end{cases}$$

Cordialement.

Remarques : 

- je sais utiliser INVERSION sur geogebra : https://www.geogebra.org/classic/qrqudunn et suis tombé sur cette vidéo en étudiant la définition du groupe circulaire dans Géométrie de Michèle Audin.

- ce serait peut-être plus simple à formaliser en plaçant la sphère de  rayon 1 avec le plan complexe à son équateur ?

Math Coss

Oui mais c'est moins joli et il n'y a guère qu'une homothétie de centre $P$ et de rapport $2$ entre les deux.

Cf. aussi le film Dimensions de Jos Leys, Étienne Ghys et Aurélien Alvarez.

stfj

Je cherchais justement l'animation à laquelle Ghys a collaboré.

stfj

Dans $\mathbb R^3$, Soit $N=(0,0,1)$ et $A=(x,y,0)$. Alors $\vec{NA}=A-N=(x,y,-1)$. Cherchons $\xi\in \mathbb R$ tel que $N+\xi \vec{NA}\in S\doteq \{(X,Y,Z): X^2+Y^2+Z^2=1\}$ $$N+\xi\vec{NA}=(0,0,1)+\xi (x,y,-1)=(\xi x,\xi y,1-\xi)$$ $$||N+\xi \vec{NA}||^2=\xi^2 x^2+\xi^2 y^2+(1-\xi )^2=\xi^2(x^2+y^2+1)-2\xi+1$$D'où $$\xi= \frac{2}{1+[z|^2}$$avec $z=x+iy$

D'où $$P(z)=(0,0,1)+\frac{2}{1+|z|^2}(\mathcal {Re}z,\mathcal {Im}z,-1)$$ $$\boxed{P(z)=\frac{2}{1+|z|^2}(\mathcal {Re}z,\mathcal {Im}z,-1+|z|^2)}$$

stfj

Inversons ce que nous voulons : $$Sym:(X,Y,Z)\to (X,Y,-Z)$$

stfj

J'ai un problème avec ma formule encadrée. $P(0)=(0,0,-2)$ d'après cette formule alors qu'on devrait obtenir $(0,0,-1)$. Je ne trouve pas l'erreur. 

Ensuite, une idée qui me paraît raisonnable est de calculer $P(\frac 1z)=\frac{2}{1+|z|^2}(\mathcal{Re}z,-\mathcal{Im}z,-1+|z|^2)$ mais cela ne me permet pas de conclure. Quelles sont mes erreurs ?

La troisième partie du documentaire de Ghys met à l'honneur Ludwig Schläfli. Les illustrations de Jos Leys sont géniales pour illustrer les cours de Troisième sur $\mathbb R^3$ ou sur l'étude du repérage sur la sphère ou...

Ici, Claire Voisin introduit montre en main en une heure de façon naturelle et parfaitement rigoureuse mathématiquement les transformations de Möbius à des lycéens.

stfj

Sinon, il y a une très élégante démonstration dans le §C. Représentation conforme du chapitre FONCTIONS ANALYTIQUES, écrit par Christian Houzel pour l'Encyclopedia Universalis.

stfj

Il y a une erreur dans ce *µ%!!! de film : ce n'est pas $\frac 1z$ mais bien $\frac1{\bar z }$ qui sauf erreur de ma part, n'est pas une transformation de Möbius !!! Je suis en pétard.

Remarques : 

- c'est $$\boxed{P(z)=\frac{2}{1+|z|^2}(\mathcal {Re}z,\mathcal {Im}z,\frac{-1+|z|^2)}{\color{red}2}}$$

J'ai vérifié que $$\forall z\in \mathbb C^*, P(\frac{1}{\bar z})=Sym(P(z)).\square$$

- concernant la démonstration de Houzel dans l'Encyclopedia Universalis, il rajoute bien "la symétrie d'axe réel".

stfj

Bonjour

D'après l'interprétation de l'inversion fournie par cette preuve, ne peut-on pas en déduire simplement que l'image d'une droite est en général un cercle ? Soit en effet $d$ une droite dans $\mathbb C$. Son image par $P$ sur la sphère de Riemann est l'intersection du plan passant par  $d$ et le pôle $N$, avec la sphère. Donc c'est un cercle. Par $Sym$, on obtient encore un cercle dans l'espace sur la sphère. Si l'on sait que l'image par $P$ d'un cercle sur la sphère est un cercle de $\mathbb C$, c'est gagné.

Comment démontrer ce point manquant récité ici?

Cordialement.