Questions sur TVI

courage

Bonsoir,

j'ai des questions s'il vous plait:

1) montrer que les deux équations admettent une solution dans $\mathbb{R}$: $1+sin(x)-x^2=0$ et $cos(x)=\frac{2}{(x+1)^2}=0$, je n'arrive pas à trouver les limites à l'infini de ces fonctions pour appliquer le TVI ? Est ce que je peux choisir un intervalle dans $\mathbb{R}$ ?

2) montrer que l'équation  $x^3+2x=2$ admet une solution dans $]0;1[ $, quelle est la différence entre$]0;1[$ et   $[0;1]$ pour le TVI ?

3)$f(x)=\frac{1}{x}+x$, $f'(x)=\frac{x^2-1}{x^2}$, dans un exercice ils ont dit que $f$ est strictement croissante sur $[1, +\infty[$. Pourquoi? J'arrive pas à comprendre ? pour moi $f$ est strictement croissante sur $]1, +\infty[$ car $f'$ s'annulle en $1$ donc $f$ est croissante sur $[1, +\infty[$ et $f$ est strictement croissante sur $]1, +\infty[$!!!!

Heuristique

Bonsoir,

1) Pour la première équation, $\sin$ est bornée donc les limites en $+\infty$ et $-\infty$ se trouvent en factorisant par $x^2$. Tu peux également regarder ce qui se passe sur un intervalle bien choisi. Je pense que ta deuxième équation n'est pas correcte, il y a 2 symboles $=$.

2) Cela ne change rien. Mais si tu montres que $0$ et $1$ ne sont pas solution, tu peux dire que ta solution dans $[0,1]$ est dans $]0,1[$.

3) Attention, tu confonds monotonie et signe de la dérivée. Ce n'est pas parce que $f'$ est nulle en un point $x$ que $f$ ne peut être strictement croissante sur un intervalle contenant $x$. Par exemple $x \mapsto x^3$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$ mais sa dérivée s'annule en $0$.

biely

Le 3) de Heuristique n’est malheureusement pas toujours précisé dans les manuels du lycée.

JLapin

courage a dit :

. Pourquoi? J'arrive pas à comprendre ? pour moi $f$ est strictement croissante sur $]1, +\infty[$ car $f'$ s'annulle en $1$ donc $f$ est croissante sur $[1, +\infty[$ et $f$ est strictement croissante sur $]1, +\infty[$!!!!

As-tu appris à dessiner des tableaux (signe de la dérivée et variations) ? Si oui, dessine ton tableau et statue sur les strictes monotonies qui t'intéressent par examen du tableau.

Pour t'en dire un peu plus, si tu avais $f(1)=f(\delta)$ pour un certain $\delta>1$, comme $f$ est croissante car de dérivée positive, tu aurais

$$\forall x\in [1,\delta], f(x)=f(1)$$

et donc $f'(\delta)=0$, ce qui est absurde. Donc $f(1)<f(\delta)$ pour tout $\delta>1$, ce qu'il te restait à établir.

courage

Heuristique pouvez vous me donner une fonction monotone et pas strictement monotone.

Dans le cours, on $f(x) \geq 0$ alors $f$ est croissante et si $f(x) > 0$ alors $f$ est strictement croissante

JLapin

Tu es en quelle classe ? N'as-tu pas également appris à exploiter un tableau pour répondre efficacement à ce type de question ?

Heuristique

Attention, tu confonds maintenant $f$ et sa dérivée $f'$ dans ton dernier message.

Dire qu'une fonction $f$ est croissante sur un intervalle $I$, c'est dire que pour tout $x,y \in I$, si $x \leqslant y$ alors $f(x) \leqslant f(y)$.

Dire qu'une fonction $f$ est strictement croissante sur un intervalle $I$, c'est dire que pour tout $x,y \in I$, si $x < y$ alors $f(x) < f(y)$.

Dans le cas où $f$ est dérivable, si on a $f'$ positive sur $I$ alors $f$ est croissante (attention à bien distinguer ici $f$ et $f'$).

Dans le cas où $f$ est dérivable, si on a $f'$ strictement positive sur $I$ alors $f$ strictement est croissante (attention à bien distinguer ici $f$ et $f'$).

Mais la réciproque n'est pas vraie. On peut très bien avoir $f$ strictement croissante alors que $f'$ s'annule. 

La phrase "Si Maurice est un chat alors c'est un félin" est vraie. Si tu croises un jour un chat qui s'appelle Maurice, tu pourras en déduire que c'est un félin. Mais la réciproque est fausse. Si tu croises un félin qui s'appelle Maurice, rien ne t'assure qu'il s'agit d'un chat. Maurice peut être un tigre ou un guépard. De même, si tu vois une fonction strictement croissante, rien ne t'assure qu'elle est dérivable ni que sa dérivée ne s'annule pas.

gebrane

J'ai appris au lycée si f est strictement croissante sur ]a,b[ et f continue en $a$ , alors f est strictement croissante sur [a,b[