Idéaux d'un produit tensoriel

Hypocrates

Quels sont les idéaux d'un produit tensoriel de deux algèbres ? Les produits tensoriels d'idéaux ? 

Math Coss

Hélas, c'est bien plus compliqué ! Pour un anneau aussi agréable que $\C[X]$, le produit tensoriel $\C[X]\otimes\C[X]$ est isomorphe à $\C[X,Y]$ (qui n'est pas principal, au passage). Tu devrais y trouver des exemples et contre-exemples.

Hypocrates

A-t-on un contre-exemple de deux algèbres simples dont le produit tensoriel n'est pas simple ?

Math Coss

Est-ce que \[\C\mathop{\otimes}\limits_\R\C\simeq \C\oplus\C\] fait l'affaire ?

Explication : \[\C\mathop{\otimes}\limits_\R\C\simeq\C\mathop{\otimes}\limits_\R\R[X]/(X^2+1)\simeq\C[X]/(X^2+1)\simeq\C[X]/(X-i)\oplus\C[X]/(X+i).\]

Hypocrates

Merci, ça marche. Peut-on trouver deux algèbres principales dont le produit tensoriel est principal à part des algèbres simples ?

Math Coss

$\C\mathop{\otimes}\limits_\R\R[X]$ ?
PS : euh, oui, je sais, c'est un peu tricher que faire ça...