emv d'une echantilon qui suit une loi normale.

Gabriel_04

Nous avons les observations $y_i=x_i+e_i$ v.a. indépendant avec $X\sim\mathcal{N}(\mu,\sigma^2)$ et $E_i\sim\mathcal{N}(0,\sigma_1^2)$ pour $ i\in\overline{1,n}$. Trouver l'estimateur du maximum de vraisemblance pour $\mu$, $\sigma^2$ et $\sigma_1^2$.

J'ai trouvé la log-vraisemblance

\[ \ell_n(\mu, \sigma^2, \sigma_1^2; y_1, y_2, \ldots, y_n) = -\frac{n}{2} \ln\left(2\pi(\sigma^2 + \sigma_1^2)\right) - \frac{1}{2(\sigma^2 + \sigma_1^2)} \sum_{i=1}^n (y_i - \mu)^2 \]

Nous avons:

 1.  \[ \frac{\partial \ell_n}{\partial \mu} = \frac{1}{\sigma^2 + \sigma_1^2} \sum_{i=1}^n (y_i - \mu) = 0 \] et \[ \hat{\mu} = \bar{y} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n y_i \].
 2. \[ \frac{\partial \ell_n}{\partial \sigma^2} = \frac{n}{2(\sigma^2 + \sigma_1^2)} - \frac{1}{2(\sigma^2 + \sigma_1^2)^2} \sum_{i=1}^n (y_i - \mu)^2 = 0 \]
 3. \[ \frac{\partial \ell_n}{\partial \sigma_1^2} = \frac{n}{2(\sigma^2 + \sigma_1^2)} - \frac{1}{2(\sigma^2 + \sigma_1^2)^2} \sum_{i=1}^n (y_i - \mu)^2 = 0 \].
Mais pour les variances, comment dois-je les estimer ?

Soc

Il ne faut pas crier... et tu as oublié de finir l'autre exercice!

Gabriel_04

Soc a dit :

Il ne faut pas crier... et tu as oublié de finir l'autre exercice!

Bonjour. Personne ne crie... Quant au dernier exercice, j'y reviendrai dès que le temps me le permettra.

Soc

SI, TU CRIAIS! Mais toi ou un modérateur a édité le titre, ce qui est beaucoup mieux maintenant.

Gabriel_04

Soc a dit :

SI, TU CRIAIS! Mais toi ou un modérateur a édité le titre, ce qui est beaucoup mieux maintenant.

Vos messages n'ajoutent rien d'utile à ma question.

Soc

Un brin de politesse n'est jamais superflu.

Gabriel_04

Soc a dit :

Un brin de politesse n'est jamais superflu.

Très bien, merci, je n'avais pas l'intention de vous offenser. il m'arrive seulement d'oublier mon clavier en majuscule.