Intersection d'un cercle et d'une conique.

pappus

Bonjour à tous

On se donne une conique $\Gamma$ de foyer $F$.

Soit $\Gamma'$ un cercle passant par $F$ coupant $\Gamma$ en quatre points $P$, $Q$, $R$, $S$.

Montrer que la somme $\dfrac 1{FP}+\dfrac 1{FQ}+\dfrac 1{FR}+\dfrac 1{FS}$ ne dépend pas de $\Gamma'$.

Amicalement

pappus

pldx1

$\dfrac {2a}{b^2}$

pappus

Bonjour à tous

On se doute un peu que ce théorème est vrai pour toute conique et en particulier pour les paraboles.

Amicalement

pappus

pldx1

Comme on se doute de ce que ce théorème s'applique aussi aux paraboles, on a $$subs \! \left(a =\frac{p}{1-e^{2}}, b =\frac{p}{\sqrt{1-e^{2}}}, \frac{2 a}{b^{2}}\right)= \dfrac 2 p$$ So what ?

pldx1

Et pour une hyperbole, on se doute de ce qu'il convient d'utiliser des rayons vecteurs algébriques.

$ \dfrac {1}{distance(F, A)} + \dfrac {1}{ distance(F, B )} -\dfrac {1}{ distance(F, C)} - \dfrac {1}{ distance(F, D)}$

john_john

Bonsoir à tous,
si l'on prend des représentations polaires : $r=p/(1+e\cos\vartheta)$ pour la conique et $r=a\cos\vartheta+b\sin\vartheta$ pour le cercle, il s'agit de calculer (je prends des longueurs algébriques) $(4+e\sum\cos\vartheta_k)/p$, cette somme de cosinus (vu les relations entre coefficients et racines) égale $-2/e$, de sorte que la somme demandée par pappus est $2/p$.

pappus

Mon cher john_john

Cet exercice est le numéro 32, page 37 du tome 1 du Koehler où il est proposé sans solution.

Voici l'énoncé exact:

Si un cercle passant par un foyer coupe une conique en quatre points, la somme des inverses des rayons vecteurs des points d'intersection est égale à $\dfrac {2a}{b^2}$, quels que soient le rayon et le centre du cercle.

A comparer avec l'énoncé que j'en ai tiré et qui est trivialement faux pour pour une hyperbole pour des questions de signe!

Il faut effectivement travailler avec des rayons vecteurs algébriques comme le dit pldx1.

Sur sa figure, il donne le même signe aux segments pointillés et le signe opposé aux segments non pointillés.

Il faut faire le bon choix de signe pour tomber sur $\dfrac 2p$ et non sur $-\dfrac 2p$.

J'aurais plutôt écrit $\dfrac 1{d(F,C)}+\dfrac 1{d(F,D)}-\dfrac 1{d(F,A)}-\dfrac 1{d(F,B)}$

Ici $p$ est le paramètre de la conique (latus rectum pour nos amis anglais?).

Page 381, le Lebossé-Hémery affirme: le paramètre d'une conique est égal à la longueur de la demi-corde focale perpendiculaire à l'axe focal de cette conique.

Mon énoncé n'est donc vrai que pour les ellipses et les paraboles.

Quant à ta "preuve", elle me semble bien floue et me laisse un peu sur ma faim.

Tu parles de relations entre coefficients et racines, il y a donc un polynôme (de degré $4$) sous roche, lequel?

J'ai ma petite idée sur cette question!

Amitiés

pappus

john_john

Bonsoir, pappus,
je vais rédiger cela demain, quoique l'essentiel soit déjà dit !
Bonne nuit ! j__j

pappus

Mon cher john_john

Il faut écrire l'équation aux $\rho$ des points d'intersection de la conique et du cercle, obtenue en éliminant $\theta$ entre leurs équations polaires focales:

$\rho=\dfrac p{1+e\cos(\theta)}$ et $\rho=a\cos(\theta)+b\sin(\theta)$

J'ai trouvé:

$$e^4\rho^4+4ae^2\rho^3+(-4ae^2p-4b^2e^2+4b^2+4a^2)\rho^2-8(a^2+b^2)p\rho+4(a^2+b^2)p^2=0$$

Le reste est trivial!

Amitiés

pappus

john_john

Bonjour, pappus,
je n'ai pas encore rédigé ce que j'avais promis (mais tu m'as devancé), quoiqu'il reste une petite difficulté que je tenais à régler : si $r=f(\vartheta)$ et $r=g(\vartheta)$ sont deux équations polaires, on peut avoir intersection lorsque $f(\vartheta)=g(\vartheta)$ mais aussi lorsque $f(\vartheta)=-g(\vartheta+\pi)$. Si l'équation en $r$ était bicarrée, cela arrangerait tout, mais ce n'est pas le cas.

pappus

Bonjour john_john

Si on ne veut pas d'ennuis techniques difficiles à expliquer, il vaut mieux s'en tenir prudemment aux cas de l'ellipse et de la parabole pour lesquels les rayons de vecteurs algébriques restent positifs.

Dans le cas de l'hyperbole, il faudrait regarder les cas où le cercle la coupe sur une même branche ou sur deux branches différentes, j'avoue que cela m'assomme!

Amitiés

pappus