Équation différentielle $y'' + (y')^3\,(\exp(y) - x) = 0$

TomasV

Bonjour
Il s'agit de trouver les solutions de $y'' + (y')^3.(\exp(y) - x) = 0$.
Il faut clairement un changement de variable pour obtenir des solutions non constantes mais après en avoir essayé une demi-douzaine, ça n'aboutit pas et je n'arrive pas à trouver la bonne astuce. Ce qui a le mieux marché est de poser y = ln (u+x) mais il reste un terme récalcitrant qui ne s'intègre pas. Quelqu'un a l'idée d'une astuce qui marche ?

Heuristique

Bonjour,

Je n'ai aucune idée de si mon conseil a une quelconque chance d'aboutir mais as-tu essayé de diviser par $(y')^2$ (lorsque cela est possible) puis d'intégrer ?

TomasV

Oui, c'était la 1e idée même si je me doutais que des manipulations de l'équation ne mèneraient nulle part. En divisant par (y')²  il y a un terme x.y' qui , en intégrant par parties , laisse trainer l'intégrale de y dont je ne peux rien faire. Je pense qu'il faut obtenir une expression simplifiée du exp(y) - x mais comme j'ai dit au début en posant y = ln(u+x) ne suffit pas - il faut quelque chose de plus subtil.

lale

Si on cherche non pas y fonction de x, mais x fonction de y , on obtient une équation différentielle linéaire  à coefficients constants .
En tout cas $y=ln(2x)$ est solution pour x positif

TomasV

En fait la piste était bonne mais au lieu de y=ln(u+x) j'aurais du poser y = ln (Kx) ce qui donne trivialement K=2 et y=ln(2x).
Ce qui est curieux c'est qu'en posant y = ln (u+x) je n'ai pas réussi à trouver u = x.
En tout cas merci à ceux qui ont essayé d'aider.

YvesM

Bonjour,
On cherche les solutions de l'équation différentielle du second ordre et non linéaire $\displaystyle y''+y'^3 (e^y-x) = 0.$
On choisit de considérer la fonction $x$ de la variable $y$. On calcule alors $\displaystyle \dot{x} = {d x \over dy} = {1 \over y'}$ puis $\displaystyle \ddot{x} = {d x\over d y} {d \over d x}  {1 \over y'} = -{y'' \over y'^3}.$ On reporte pour trouver $\displaystyle y'^3 (-\ddot{x}+e^y - x) = 0$ et donc $\displaystyle y' = 0$ ou $\displaystyle \ddot{x}+x = e^y$ qui sont des équations différentielles, en $y$ et en $x$ respectivement, du premier ordre et linéaires. On a donc $\displaystyle y(x) = c_0$ ou $\displaystyle x(y) =c_1 \cos y + c_2 \sin y + {e^y \over 2}$ avec $c_0,c_1,c_2$ dans $\R.$