cubique de 15 points

RHOM

Salut à tous 

Soient $ABC$ un triangle, $P,Q$ deux points $(\not \in AB,BC,CA)$  ;

$R_1=AP\cap BQ,R_2=AP\cap CQ, R_3=BP\cap CQ$;

$S_1=AQ\cap BP,S_2=AQ\cap CP, S_3=BQ\cap CP$

$U=  R_1S_1\cap R_2  S_2$;

$P'=AR_3\cap BS_2,Q'=AS_3\cap BR_2$

$A'=AU\cap BC ,B'=BU\cap AC ,C'=CU\cap AB$

Prouver que les 15 points $A,B,C,P',Q' ,R_1,R_2,R_3,S_1,S_2,S_ 3,U,A',B',C' $ sont concubiques.

cordialement

RH HAS

Rescassol

Bonsoir,

Encore plein de points alignés.
La méthode de Vassillia devrait encore fonctionner ici.
On verra demain.

Cordialement,
Rescassol

pldx1

$$\left[\mathit{pkcub},
\left[\begin{array}{c}
p u  
\\
 q v  
\\
 r w  
\end{array}\right],
\left[\begin{array}{c}
\left(q w +v r \right) p u  
\\
 \left(w p +r u \right) q v  
\\
 \left(p v +u q \right) r w 
\end{array}\right]
\right] $$

Rescassol

Bonjour,

Que signifie $pkcub$ ?

Cordialement,
Rescassol

pldx1

$\def\pivk{p\mathcal{K}}\def\nonk{n\mathcal{K}}$ $pkcub$ veut dire: pldx1 a fait une faute frappe en programmant $identkub$, la procédure d'identication des cubiques. Il s'agit en fait de $\pivk $= pivotal isocubic, et de $\nonk$= non pivotal isocubic. Plus de détail dans le papier de Gibert sur les isocubiques.

Cordialement, Pierre.

Rescassol

Bonsoir,

Je n'ai pas l'impression que les 15 points soient cocubiques, mais j'en ai 13:

Cordialement,
Rescassol

RHOM

Salut à tous

@rescassol j'ai rectifié: les 15 points sont $A,B,C,$$\color{red}P′,Q′$,$R1,R2,R3,S1,S2,S3,U,A′,B′,C′$

Rescassol

Bonsoir,

$P'$ et $Q'$ ne sont pas plus que $P$ et $Q$ sur la cubique que j'ai tracée.

Cordialement,
Rescassol

Rescassol

Bonsoir

En posant $P=[p;\space q;\space r]$ et $Q=[u;\space v;\space w]$, la cubique a pour équation:
$qrvw(pw+ru)x^2y + pruw(pv+qu)y^2z + pquv(qw+rv)z^2x$

$- pruw(qw+rv)xy^2  - pquv(pw+ru)yz^2 - qrvw(pv+qu)zx^2=0$

Cordialement,
Rescassol

RHOM

sorry!!!

  il y' avait une typo $ \color{red}  R_2=AP\cap CQ, S_2=AQ\cap CP$

 

cordialement

RH HAS

Rescassol

Bonjour,

Tu intervertis $R_2$ et $S_2$ qui étaient déjà sur ma cubique, ça ne change rien à ce que j"ai dit.
D'autre part, tu ne montres pas $U,A',B',C'$.

Cordialement,
Rescassol

Rescassol

Bonjour,

Ah ben si,, ça marche, j'avais oublié de recalculer $P'=[pruv;\space pqvw;\space qruw]$ et $Q'=[pquw;\space qruv;\space prvw]$:

Cordialement,
Rescassol

Rescassol

Bonjour,

Le code complet:

%  RHOM - 20 Octobre 2024 - cubique de 15 points

clear all, clc

A=[1; 0; 0]; B=[0; 1; 0]; C=[0; 0; 1]; % Sommets du triangle ABC

syms p q r u v w x y z real

% R1=AP∩BQ,R2=AP∩CQ,R3=BP∩CQ
% S1=AQ∩BP,S2=AQ∩CP,S3=BQ∩CP

P=[p; q; r]; Q=[u; v; w]; % Deux points quelconques P et Q
R1=Wedge(Wedge(A,P),Wedge(B,Q)); % R1=[r*u; q*w; r*w]
R2=Wedge(Wedge(A,P),Wedge(C,Q)); % R2=[q*u; q*v; r*v]
R3=Wedge(Wedge(B,P),Wedge(C,Q)); % R3=[p*u; p*v; r*u]
S1=Wedge(Wedge(A,Q),Wedge(B,P)); % S1=[p*w; r*v; r*w]
S2=Wedge(Wedge(A,Q),Wedge(C,P)); % S2=[p*v; q*v; q*w]
S3=Wedge(Wedge(B,Q),Wedge(C,P)); % S3=[p*u; q*u; p*w]

U=SimplifieBary(Wedge(Wedge(R1,S1),Wedge(R2,S2)));
% U = [p*u*(q*w+r*v); q*v*(p*w+r*u); r*w*(p*v+q*u)]
NulU=Factor(Wedge(R3,S3)*U) % Vérification: U est aussi sur (R3 S3)

Ap=[0; q*v*(p*w+r*u); r*w*(p*v+q*u)]; % Triangle cévien A'B'C' de U
Bp=[p*u*(q*w+r*v); 0; r*w*(p*v+q*u)];
Cp=[p*u*(q*w+r*v); q*v*(p*w+r*u); 0];

Pp=Wedge(Wedge(A,R3),Wedge(B,S2)); % P'=[p*r*u*v, p*q*v*w, q*r*u*w]
Qp=Wedge(Wedge(A,S3),Wedge(B,R2)); % Q'=[p*q*u*w, q*r*u*v, p*r*v*w]

% A,B,C,R1,R2,R3,S1,S2,S3,P′,Q′,U,A′,B′,C′ cocubiques ?

Facth=p^3*q^4*r^6*u^6*v^4*w^3*(p*v+q*u)^2*(p*v-q*u)*(p*w+r*u)^2*(q*w+r*v)^2*(q*w-r*v)*(p^2*r*v^2*w+p*q^2*u*w^2+p*q*r*u*v*w+q*r^2*u^2*v);
h(x,y,z)=Factor(CoCubiquesBary(A,B,C,R1,R2,R3,Ap,Bp,Cp,[x; y; z])/Facth);
Factk=p^6*q^4*r^3*u^3*v^4*w^6*(p*v+q*u)^2*(p*v-q*u)*(p*w+r*u)^2*(q*w+r*v)^2*(q*w-r*v)*(p^2*q*v*w^2+p*q*r*u*v*w+p*r^2*u*v^2+q^2*r*u^2*w);
k(x,y,z)=Factor(CoCubiquesBary(A,B,C,S1,S2,S3,Ap,Bp,Cp,[x; y; z])/Factk);
Nulhk=Factor(h(x,y,z)-k(x,y,z)) % Nulhk=0 donc h(x,y,z)=k(x,y,z)
h(x,y,z)=collect(h(x,y,z),[x y z]); % On trouve:
h(x,y,z)=q*r*v*w*(p*w+r*u)*x^2*y - q*r*v*w*(p*v+q*u)*x^2*z - p*r*u*w*(q*w+r*v)*x*y^2 + p*q*u*v*(q*w+r*v)*x*z^2 + p*r*u*w*(p*v+q*u)*y^2*z - p*q*u*v*(p*w+r*u)*y*z^2;
 
NulU=Factor(h(U(1),U(2),U(3))) % NulU=0 donc U est sur la cubique

NulP=Factor(h(P(1),P(2),P(3))) % Non nul, donc P n'est pas sur la cubique
NulQ=Factor(h(Q(1),Q(2),Q(3))) % Non nul, donc Q n'est pas sur la cubique
NulPp=Factor(h(Pp(1),Pp(2),Pp(3))) % NulPp=0 donc P' est sur la cubique
NulQp=Factor(h(Qp(1),Qp(2),Qp(3))) % NulQp=0 donc Q' est sur la cubique

Cordialement,
Rescassol

pldx1

Bonjour, $\def\etc{,\:\mathrm{etc}} \def\where{\qquad\mathrm{where}\;} \def\bmul{\underset{b}{*}}$

 Les notations proposées par RHOM ne me parlent pas sufisamment. Je vais donc utiliser: \[ R_{a}=(B\wedge P)\wedge(C\wedge Q),S_{a}=(B\wedge Q)\wedge(C\wedge P) \] et circulairement. On obtient les alignements $AR_{b}S_{c}\etc$.

Les droites $R_{j}S_{j}$ concourent en un point $U$ et les $3+6+1$ points sont cocubiques sur \[ \left[\mathit{\pivk},W,U\right]\where W\simeq\left[\begin{array}{c} pu\\ qv\\ wr \end{array}\right],U\simeq\left[\begin{array}{c} \left(qw+vr\right)pu\\ \left(wp+ru\right)qv\\ \left(pv+uq\right)wr \end{array}\right] \] 

On sait qu'une telle pivotale isocubique est le lieu des points $M$ tels que $M,M^{*},U$ sont alignés lorsque $M\bmul M^{*}=W$. En particulier, $\pivk$ contient les ceviens du pivot $U$.

 Par ailleurs, les trois droites $AR_{a},BR_{b},CR_{c}$ sont concourantes, et de même les trois droites $AS_{a},BS_{b},CS_{c}$. Ces deux points sont: \[ P',Q'\simeq\left[\dfrac{1}{q\,w},\dfrac{1}{r\,u},\dfrac{1}{p\,v}\right],\left[\dfrac{1}{r\,v},\dfrac{1}{p\,w},\dfrac{1}{q\,u}\right] \] On vérifie que $P'\bmul Q'\simeq W$, tandis que $P',Q',U$ sont alignés. Et donc ces deux points supplémentaires sont sur la cubique. 

Cordialement, Pierre

Rescassol

Bonjour,

Tout n'est pas très clair pour moi.
Que signifie la notation $\left[\mathit{\pivk},W,U\right]$ ? A quoi est égal $\mathit{\pivk}$ ?
Qu'est ce que $M^*$ ?
Qu'est ce que $M\bmul M^{*}$ en particulier ce $b$ en dessous ?

Cordialement,
Rescassol

pldx1

Bonjour,

Rescassol a dit: Qu'est ce que $M\bmul M^{*}$ en particulier ce $b$ en dessous ?

Cette notation désigne le "produit barycentrique", obtenu en multipliant coordonnée par coordonnnée. On peut construire un tel objet à grands coups de "pappus, pappa, pappum, le fameux opérateur $\wedge$. C'est ainsi que la transformation isogonale se caractérise par $M\bmul M^*\simeq K=$X(6), qui est donc une involution à la Cremona.

Rescassol a dit: Que signifie la notation $\left[\mathit{\pivk},W,U\right]$ ? A quoi est égal $\mathit{\pivk}$ ?

La référence sur les isocubiques est
@Misc{gibert09:isocubics,
Author = {Jean-Pierre Ehrmann and Bernard Gibert},
Title = {Special Isocubics in the Triangle Plane},
year = 2005,
Edition = {[revised 2012-09-05]},
month = mar,
xmonth = {31 } # jul,
Pages = 120,
eprint = {https://bernard-gibert.fr/files/Resources/SITP.pdf},
}
Le regretté Jean-Pierre Ehrmann a été un pilier de ce forum sous le pseudonyme @Poulbot. 

En résumé "ultra-rapide", $\left[\pivk,W,U\right]$ désigne une cubique $\mathcal K$ invariante par isoconjugaison vis à vis du pôle $W$, i.e. $M\bmul M^*\simeq W$, et qui, de plus, admet un pivot, point commun de toutes les droites $MM^*$.

Cordialement, Pierre.

Rescassol

Bonsoir,

Effectivement, ça donne la même équation:

U=[p*u*(q*w+r*v); q*v*(p*w+r*u); r*w*(p*v+q*u)];
W=[p*u; q*v; r*w]; M=[x; y; z];
Eq=numden(Factor(det([M U W./M])));
Eq=collect(Eq,[x y z])

Nul=Factor(Eq-h(x,y,z)) % Nul=0 donc c'est la même équation

Cordialement,
Rescassol

RHOM

salut à tous

je présente ma sol. avec un peu de retard vu que 'je suis  un peu occupé'...

RHOM a dit :

Soient $ABC$ un triangle, $P,Q$ deux points $(\not \in AB,BC,CA)$  ;

$R_1=AP\cap BQ,R_2=AP\cap CQ, R_3=BP\cap CQ$;

$S_1=AQ\cap BP,S_2=AQ\cap CP, S_3=BQ\cap CP$

$U=  R_1S_1\cap R_2  S_2$;

$P'=AR_3\cap BS_2,Q'=AS_3\cap BR_2$

$A'=AU\cap BC ,B'=BU\cap AC ,C'=CU\cap AB$

Prouver que les 15 points $A,B,C,P',Q' ,R_1,R_2,R_3,S_1,S_2,S_ 3,U,A',B',C' $ sont concubiques.

je vais utiliser les  deux résultats suivants :

$1)$ Etant  donné  un triangle $ABC$ et deux points $P,P'$ (hors des côtés)  il est toujours possible  de trouver une $K$-isoconjugaison   telle  que $P,P'$ soient conjugués.

$2)$ soit $ABC$ un triangle , $U$ un point;  notons $ M'$ , le $K$-conjugué de $M$ 

l 'ensemble des points $M$ tels que $M,M',U$ sont alignés est une cubique qui passe  par $A,B,C,U $ et les pieds des $U$-ceviennes.

______________________________________________________________________________________________

considérons  $h$, la $K$-isoconjugaison  pour laquelle $P,Q$ sont conjugués  i.e. $h(P)=Q$.

on en déduit

$P_i,R_i$ sont aussi conjugués pour $i=1,2,3$ de même que $P',Q'$

 en plus appliquons Pappus ( projective)  avec $R_2,P,R_1$ et $S_1,Q,S_2$ on trouve $S_3,R_3,U$ sont alignés;

de $2)$ il s'en suit  que $A,B,C,R_1,R_2,R_3,S_1,S_2,S_3,U$  sont sur une  cubique qui contient aussi $A',B',C'$;

il reste à montrer que $ P',Q', U$ sont alignés:

 En utilisant Menelaus 3 fois ( si nécessaire je détaille ce point)  on trouve $C,P',R_1$  sont alignés

 de même $C,Q',S_1$ sont alignés;

on a $R_1 R_2 R_3 $ et $S_1S_2S_3$ sont en perspective par rapport à $U$ donc $R_1R_3\cap S_1S_3,R_2R_3\cap S_2S_3,R_1R_2\cap S_1S_2$ sont alignés i.e. $R_1R_3\cap S_1S_3\in AC$

ainsi  $P'R_1R_3$ et $ Q'S_1S_3$ sont  en perspective puisque $S_1Q'\cap R_1P'=C,S_3Q'\cap R_3P'=A$

il en resulte $U\in $P'Q'$.

cordialement

RH HAS