Limite monotone

Hypocrates

Une limite monotone de fonctions $\cal C^1$ est-elle dérivable presque partout ? 

JLapin

En bricolant un peu l'exemple usuel de Weierstrass, tu peux fabriquer une série de fonctions $\sum f_n$ où chaque $f_n$ est positive, de classe $C^1$, mais la somme (limite de la suite croissante des sommes partielles) sera dérivable nulle part.

lesmathspointclaires

@JLapin : Hypocrates parle d'une limite monotone, toi aussi puisque tu parles de sommes partielle de fonctions positives,  mais ça m'etonne un peu... tu peux préciser^^?

JLapin

Pour tout $x\in \R$, la suite $(S_n(x))$ converge en croissant. C'est le sens que je donne à la formulation un peu cryptique de la question posée.

lesmathspointclaires

Oui j'ai tout de suite modifié mais ça m'etonne tellement que ça existe que j'ai cru que tu n'avais pas relevé le "monotone". On est d'accord que la limite est croissante aussi... et il me semblait qu'une fonction croissante était dérivable pp, je vais un peu réfléchir^^

JLapin

Attention, les fonctions $S_n$ ne sont pas croissantes dans mon exemple. C'est la suite $(S_n)_{n\in\N}$ qui l'est.

 Après on peut choisir d'interpréter différemment la question initialement posée.

lesmathspointclaires

Aux temps pour moi! Je ne sais pas pourquoi j'ai voulu que la fonction soit monotone... désolé pour le dérangement

Hypocrates

Une autre question dans le même style : une limite monotone de fonctions $\cal C^1$ dont les dérivées tendent simplement vers une fonction bornée est-elle dérivable presque partout ?