birapports égaux ?

stfj

[Edit]

Bonjour,

Soit $a,b,c,d,e,f \in \mathbb C$ [cocycliques ] tels que $af, be, cd $ concourent. On souhaite montrer  que $$[f,d,e,c]=[a,c,b,d]$$

https://www.geogebra.org/classic/uwt6yvuf

Je songe à associer les affixes de Morley $a:1:\frac1a,\, b:1: \frac1b$, (etc) mais manque de pratique avec cette méthode. Peut-être l'occasion de mieux la connaître.

Cordialement.

Rescassol

Bonjour,

syms a b c d e f

X=Factor(det([1 a*f -a-f; 1 b*e -b-e; 1 c*d -c-d]))
Y=Factor(Birapport(a,c,b,d)-Birapport(f,d,e,c))
% On trouve:
% X = a*b*e-a*c*d-a*b*f+b*c*d+a*c*f-b*c*e+a*d*f-b*d*e-a*e*f+c*d*e+b*e*f-c*d*f
% Y = X * (c-d)/((a-d)*(b-c)*(c-f)*(d-e))
% Donc X=0 <==> Y=0

Cordialement,
Rescassol

stfj

sagemath via

______________________

var('a b c e f z')

pA=vector([a,1,1/a])
pB=vector([b,1,1/b])
pC=vector([c,1,1/c])
pE=vector([e,1,1/e])
pF=vector([f,1,1/f])

AF=pA.cross_product(pF)
BE=pB.cross_product(pE)
C=AF.cross_product(BE)
CpC=pC.cross_product(C)

M=vector([z,1,1/z])
d=solve(CpC*M==0,z)[0].rhs()
print (factor( (d-c)/(f-c)/((d-e)/(f-e)) -((c-d)/(a-d))/((c-b)/(a-b))  ))

__________________________

me renvoit $0$

lesmathspointclaires

@stfj : je n'arrive pas à lire la figure ni à agrandir, mais j'ai l'impression qu'il y a un cercle... il n'est pas dans les hypothèses pourtant ?
@Rescassol : je n'ai qu'à peine commencé à feuilleter le manuel Sage*, les six variables du début de ton code sont réelles (real) ? 

* je n'ai pas encore regardé Matlab

stfj

J'ai édité : [cocycliques]

lesmathspointclaires

On est dans la configuration du théorème de Desargues 

stfj

J'ai une autre idée : on envoie $(a,b,c,C)$ sur $(a,b,c, \infty)$. Alors $f=-\frac1a,\,e=-\frac1b,\,f=-\frac1c$. Et $$[f,d,e,c]\doteq\frac{\frac{d-c}{f-c}}{\frac{d-e}{f-e}}=\frac{\frac{d-c}{-\frac1a+\frac1b}}{\frac{-\frac1c+\frac1b}{-\frac1a+\frac1b}}=[a,c,b,d]$$

Comme le birapport est conservé, on obtient le résultat.

Rescassol

Bonjour,

>  les six variables du début de ton code sont réelles (real)
C'est une erreur, j'ai rectifié.
Ce sont des complexes de module $1$, donc $\overline{a}=\dfrac{1}{a}$ etc...
L'équation complexe de $(af)$ par exemple est $z+af\overline{z}-(a+f)=0$, d'où la première ligne de la matrice dont je prends le déterminant.

Cordialement,
Rescassol

lesmathspointclaires

Ok merci de m'avoir sorti de ces doutes inconfortables^^.
Je pense qu'on peut généraliser un poil, en remplaçant $af$,$be$, $cd$ concourantes par "chaque paire appartient à un cercle, de sorte que l'intersection des trois cercles est de cardinal 2"