Le groupe des triangles non équilatéraux

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Soit $T=T_-\cup T_+$ l'ensemble des triplets du plan affine munis d'une orientation. On a $T_+\cap T_-$ les triangles plats. Les éléments de $T$ sont donc des triangles orientés dont les sommets sont indexés, ce qui revient à munir chaque triangle d'une base et d'une orientation.  $\Delta$ est l'ensemble des triangles basés orientés équilatéraux.
Deux triangles sont comédians ssi ils ont un même base et la même médiane relative à cette base.
On note $M$ la relation d'équivalence associée. $S$ est la relation "avoir la même ellipse de Steiner".
 $V$,$E_+$, $P_+$ les relations relatives aux quotients de $T$  resp.  les translations, les rotations, les homothéties de rapport positif. 

Je vous propose plusieurs résultats :  
1) Pour tout $ABC\in T_+$ de base $AB$, on note $ABC^*=(AB^2:BC^2:CA^2)$ ses coordonnées dans le repère barycentrique $(1,j,j^2)$ du plan complexe ($j$ étant une racine cubique non triviale). Montrer que pour tout cercle $C$ du plan complexe centré en $0$, il existe $e\in \mathbb R_+^*$ tel que l'image par "étoile"  des triangles dont l'ellipse de Steiner a pour excentricité $e$ est $C$. En d'autres termes, l'image par "étoile" d'une $S$-classe est un cercle centré en $0$. Les triangles plats correspondent au cercle inscrit dans le repère $(1,j,j^2)$
1bis) que vaut $e$ en fonction du rayon ? (je n'ai pas encore la réponse)
2) L'image par "étoile" d'une $M$-classe est une droite (projective) passant par $0$, i.e une partie de $P_1(\mathbb C)$ d'argument constant. Les réels sont associés aux triangles isocèles en leur base.
2bis) Que vaut l'argument en fonction de l'angle formé par la base et sa médiane. (je n'ai pas la réponse).
4) Cela définit une action simplement transitive de $(\mathbb C^*,.)$ sur $(T\setminus \Delta)/(V,E_+,P_+)$, $T_-$ étant l'image de $T_+$ par l'isomorphisme $z\mapsto 1/z$, on note $[ABC[*=1/]ABC]^*$
4bis) A quoi correspond l'addition complexe ? (je n'ai pas la réponse)
5) Si $ABC^*=-A'B'C'^*$ avec $A',B',C'$ pied des médianes (nommées de façon cohérente avec les "primes")
6) Soit $[BCA[$, et $[B'C'A'[$, $B'' $ centre de gravité de $[AB'C[$ et définitions circulaires, on note $[B''C''A''[^*=[BCA[^*\otimes [B'C'A'[^*$.  Exprimer $[B''C''A''[*$ dans le repère barycentrique $([B'CA[^*,[BC'A[^*,[BCA'[)$, je pense que c'est $[BCA[^*\otimes 1/[B'C'A'[^*$, mais pas encore démontré (peut-être invoquer la 3-transitivité des homographies complexes)
7) Et si $[AB'C[^*=[BC'A[^*=[CA'B[^*$, on note $[B''C''A''[^*=[BCA[^*\times [BC'A[^*$
Montrez que $((T\setminus \Delta)/(V,E_+,P_+),\times)$ est un groupe isomorphe à $(\mathbb C^*,.)$.  (ça prouve 4) si 6) est vrai. 
8) Théorème de Napoléon non équilatéral : si $([B'CA[^*=[BC'A[^*=[BCA'[)=:[t[$ alors $[BCA[^*\otimes [B'C'A'[^*=[t[^*$. (Si $B'C'A'$ est équilatéral c'est le théorème de Napoléon terminologie Anglophone)

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Là où le 7) est la multiplication par $a+bJ^2+cJ$, le 6) correspond à la multiplication par une matrice quelconque. La représentation du fil "le rond des triangles" https://les-mathematiques.net/vanilla/discussion/2339245/le-rond-des-triangles#latest correspond au fait de placer non pas les trois représentant  (mod J) d'une  CSD de triangles sur chaque  côté de $ABC$  mais une classe pour chaque triangle, chaque colonne est l'affixe des côtés d'un triangles (i.e les différences des affixes des sommets)