Une somme remarquable

Jean-Louis Ayme

Bonjour,

1. ABC un triangle acutangle comme indiqué sur la figure

2. 0 le cercle circonscrit

3. I le centre du cercle inscrit à ABC

4. D le second point d'intersection de (AI) avec 0

5 M le milieu de [BC]

6. P le symétrique de I par rapport à M

7 N le second point d'intersection de (PD) avec 0.

Question  : NA = NB + NC  (d'après la figure donnée ; on peut généraliser...)

Sincèrement
Jean-Louis

jelobreuil

Bonjour Jean-Louis, bonjour à tous,

Voici la figure :

Bien amicalement, Jean-Louis B.

Rescassol

Bonjour,

%  Jean-Louis Ayme - 21 Octobre 2024 - Une somme remarquable

clear all, clc

syms a b c real

% Notations de Conway
Sa=(b^2+c^2-a^2)/2; Sb=(c^2+a^2-b^2)/2; Sc=(a^2+b^2-c^2)/2;

A=[1; 0; 0]; B=[0; 1; 0]; C=[0; 0; 1]; % Sommets du triangle ABC
BC=[1, 0, 0]; CA=[0, 1, 0]; AB=[0, 0, 1]; % Côtés du triangle ABC

%-----------------------------------------------------------------------

syms t real

O=[a^2*Sa; b^2*Sb; c^2*Sc]; I=[a; b; c];
D=[a^2; -b*(b+c); -c*(b+c)];
M=[0; 1; 1];
P=SymetriqueBary(M,I); % P=[-a; a+c; a+b]
N=Barycentre([P D],[1 t]);
NulN=Factor(Cocycliques(A,B,C,N,a,b,c))
% b*c*(b-2*a+c)*t - (b-a+c)*(a^2-b^2+b*c-c^2) = 0 donc:
N=Barycentre([P D],[1 (b-a+c)*(a^2-b^2+b*c-c^2)/(b*c*(b-2*a+c))]);
N=SimplifieBary(N); % N=[-a*(a-b)*(a-c); b*(a-b)*(b-c); -c*(a-c)*(b-c)]

NA2=Factor(Distance2(N,A,a,b,c));
NB2=Factor(Distance2(N,B,a,b,c));
NC2=Factor(Distance2(N,C,a,b,c));

X=NB2/NA2; % X=(a-c)^2/(b-c)^2
Y=NC2/NA2; % Y=(a-b)^2/(b-c)^2
% On a bien (a-c)/(b-c) - (a-b)/(b-c) = 1
% Donc, si c<b<a alors NA=NB+NC
% Autres cas à voir

Cordialement,
Rescassol

Jean-Louis Ayme

Merci Jean-Louis B et Rescassol...

Jean-Louis Ayme

Bonjour,

pour commencer...le théorème de Ptolémée...


Sincèrement
Jean-Louis