Inégalité de Poincaré-Wirtinger

APf

Bonjour,
Dans la forme standard de l’inégalité de Poincaré-Wirtinger (PW) : $\Omega$ est un ouvert connexe et bornée de $\R^N$ avec par exemple $\partial \Omega\in C^1$. Donc il existe alors une constante $C_{\Omega}>0$  telle que pour tout $u\in H^1(\Omega)$ on a $||u-\bar{u}||_{L^2}\leq C_{\Omega}||\nabla u||_{L^2}$. Je sais que plus généralement cela est vrai dans les espaces de Sobolev $W^{1,p}$. Mais ma question est la suivante : si ma fonction est de classe  $C^\infty$ sur $\Omega$  et de plus harmonique, je travaille avec une boule $B(a,R)\subset \overline{B(a,R)}\subset \Omega$ , puis-je appliquer l’inégalité de Poincaré-Wirtinger à cette fonction ? Cela devrait nécessiter, en un certain sens, que « $C^{2}(\Omega)\subset H^{1}(\Omega)$ », de sorte que « $\forall u\in H^1\implies \forall u\in C^2$ » en particulier, je puisse l’appliquer PW…
Merci d’avance