trois droites des centres concourantes

jelobreuil

Bonne nuit ou bonjour à tous,

Voici encore un concours de trois droites ...

Soit un triangle $ABC$, $DEF$ son triangle orthique et les points $A'$ et $A'_1$ symétriques du sommet $A$ par rapport à $F$ et $E$ respectivement, et $B'$ et $B'_1$, $C'$ et $C'_1$ définis circulairement. $A'$ et $B'_1$ appartiennent donc à la droite $AB$, $B'$ et $C'_1$ à la droite $BC$ et $C'$ et $A'_1$ à la droite $CA$.

En prenant un point sur chacune de ces droites par triplet, on peut définir quatre paires de triplets de ces points, donc quatre paires de cercles associés à ces triplets.

Les droites des centres de trois de ces paires (verte, rouge et mauve sur la figure) sont concourantes. La quatrième paire (en tireté noir) est celle des cercles $(A'B'C')$ et $(A'_1B'_1C'_1)$, pour lesquels les triplets de points sont définis par des symétries de même "sens de parcours" sur le triangle $ABC$.

Le point $O$ est le point d'intersection des droites rouge et mauve, et $j$ est la droite verte. La distance $Oj$ est nulle d'après Geogebra ...

Bien amicalement, Jean-Louis B.