Une partie d'un triangle

Ludwig

Bonsoir,

On se donne un point $M$ dans un triangle $ABC$. Déterminer l'ensemble des points $S$ tels que $MA+MB+MC \geq SA+SB+SC$ (une telle partie est grossièrement représentée ci-dessous) :

(si $M$ est le point de Fermat cette zone est réduite à ce point).

Ludwig

Ah oui... on peut écrire directement une équation de la frontière, désolé, j'étais plongé dans un programme informatique. Mais on peut sûrement en tirer un problème (?)

Ludwig

Voici un problème : calculer l'aire de la zone associée au point $M$.

On prendra $A$, $B$ et $C$ sur le cercle trigonométrique et $M$ un point quelconque du plan.

Rescassol

Bonsoir,

Voilà une figure et le fichier Géogébra associé (enlever le .txt).
On a le contour central (en rouge) avec trois racines carrées, et la courbe verte apès quelques élévations au carré; elle contient le contour central et elle fait beaucoup ramer Géogébra.

Cordialement,
Rescassol

Ludwig

Bonsoir @Rescassol,

J'ai en effet eu du mal à ouvrir ta figure... On pouvait construire la courbe autrement, par exemple en entrant son équation cartésienne, ou en simplifiant des expressions trigonométriques. Et alors GGB gère très bien.

Un calcul intégral "direct" ne permet pas à mon avis de déterminer l'aire de la courbe centrale. Mais on pourrait utiliser sa définition géométrique pour en venir à bout ?

Rescassol

Bonsoir,

Oui, c'st nettement plus fluide comme ça.
J'étais en coordonnées barycentriques.
je n'ai pas essayé en Morley.
Pour l'aire, je n'ai pas trop d'idée.

Cordialement,
Rescassol